Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido

En estas páginas estudiamos el movimiento de caída de un cuerpo bajo la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento. Los dos casos en los que es posible obtener expresiones analíticas para la evolución de la velocidad en función del tiempo y de la posición (altura) del móvil en función del tiempo.

Rangos de validez

La fórmula general de la fuerza de rozamiento es

$F_{r} = \frac{1}{2} C_{d} ρ_{f} A v^{2}$

Donde C_d se denomina coeficiente de arrastre, ρ_f es la densidad del medio, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es π R²), y v es la velocidad.

El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define como

$Re = \frac{ρ_{f} l v}{η}$

donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal (en el caso de una esfera es 2R), y η es la viscosidad dinámica del fluido.

Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de arrastre C_d se puede escribir.

$C_{d} \approx \frac{24}{Re} + \frac{6}{1 + \sqrt{Re}} + 0.4$

Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir

$F_{r} = \frac{1}{2} \frac{24}{Re} ρ_{f} (π R^{2}) v^{2} = 6 π η R v$

Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve despacio en un medio es proporcional a la velocidad.

El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1) limita el radio R de la esfera que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado. Conocidos los datos de la densidad del fluido ρ_f , su viscosidad η (medida por otros procedimientos alternativos) y la velocidad v de la esfera en dicho medio, el radio R de la esfera debe cumplir que

$\frac{2 R ρ_{f} v}{η} < 1$

Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<200000, el coeficiente de arrastre C_d es aproximadamente constante C_d≈ 0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale

$F_{r} = 0.2 ρ_{f} π R^{2} v^{2}$

La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.

Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v₀. Supondremos que el cuerpo tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido ρ _e), y que se mueve en un medio de densidad ρ_f . Tomaremos como medida de la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s²

Movimiento en el vacío.

La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado.

$\begin{array}{l} v = v_{0} - g t \\ x = v_{0} t - \frac{1}{2} g t^{2} \end{array}$

Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Fórmula de Stokes

stokes.gif (2260 bytes) Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, el peso, el empuje y la fuerza de rozamiento.

La ecuación del movimiento en su movimiento ascendente es

$m \frac{d v}{d t} = ρ_{f} \frac{4}{3} π R^{3} g - ρ_{e} \frac{4}{3} π R^{3} g - 6 π η R v$

Esta ecuación la podemos escribir de forma más sencilla

$\frac{d v}{d t} = - G - α v G = (1 - \frac{ρ_{f}}{ρ_{e}}) g α = \frac{9 η}{2 R^{2} ρ_{e}}$

Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad

Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v₀.

$v = (v_{0} + \frac{G}{α}) \exp (- α t) - \frac{G}{α}$

Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.

$x = \frac{G}{α^{2}} (1 + \frac{α v_{0}}{G}) (1 - \exp (- α t)) - \frac{G}{α} t$

Cuando el cuerpo desciende no tenemos que volver a plantear la ecuación del movimiento ya que la velocidad cambia de signo.

Ejemplo

Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el agua con una velocidad inicial de v₀=0.01 m/s.

Datos: densidad de la arena ρ_e=2670 kg/m³, densidad del agua ρ_f = 1000 kg/m³, viscosidad η =0.001 kg/(m·s).

El valor de G=6.14 m/s² y el de α =4213 s^-1.

El número Re se mantiene inferior a 1, (en el instante inicial) por lo que se puede aplicar la fórmula de Stokes.

$Re = \frac{1000 \cdot 2 \cdot 0.02 \cdot 10^{- 3} \cdot 0.01}{0.001} = 0.4$

En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v₀=0.01 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua (en rojo).

Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x en función del tiempo t.
Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad v en función del tiempo t.

Podemos observar como el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad constante.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.