
Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido
En estas páginas estudiamos el movimiento de caída de un cuerpo bajo la acción de su peso y de una fuerza de rozamiento. Los dos casos en los que es posible obtener expresiones analíticas para la evolución de la velocidad en función del tiempo y de la posición (altura) del móvil en función del tiempo.
- La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad
- La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad
Rangos de validez
La fórmula general de la fuerza de rozamiento es
Donde Cd se denomina coeficiente de arrastre, ρf es la densidad del medio, A es el área de la sección transversal al movimiento (en el caso de una esfera es π R2), y v es la velocidad.
El coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds, Re. Este número es importante para definir el comportamiento de un fluido y en particular, la transición del flujo laminar al turbulento. El número Re se define como
donde l representa la longitud del objeto medida a lo largo de su sección transversal (en el caso de una esfera es 2R), y η es la viscosidad dinámica del fluido.
Para un amplio intervalo de números Re, la forma funcional del coeficiente de arrastre Cd se puede escribir.
Para pequeños números Re<1, el primer término domina. La fuerza de rozamiento sobre un cuerpo de forma esférica de radio R la podemos escribir
Que es la conocida fórmula de Stokes. La fuerza de rozamiento sobre una esfera que se mueve despacio en un medio es proporcional a la velocidad.
El rango de validez de la fórmula de Stokes (Re<1) limita el radio R de la esfera que empleamos en la experiencia de la medida de la viscosidad de un fluido, para un fluido (aceite) y para un material (plomo) determinado. Conocidos los datos de la densidad del fluido ρf , su viscosidad η (medida por otros procedimientos alternativos) y la velocidad v de la esfera en dicho medio, el radio R de la esfera debe cumplir que
Para grandes números Re, en el intervalo 1000<Re<200000, el coeficiente de arrastre Cd es aproximadamente constante Cd≈ 0.4. La fuerza de rozamiento para una esfera de radio R vale
La fuerza de rozamiento es proporcional al cuadrado de la velocidad.
Vamos a resolver el problema del lanzamiento de un cuerpo de forma esférica verticalmente hacia arriba con velocidad inicial v0. Supondremos que el cuerpo tiene forma esférica de radio R, de masa m (o densidad del sólido ρ e), y que se mueve en un medio de densidad ρf . Tomaremos como medida de la aceleración de la gravedad g=9.81 m/s2
Movimiento en el vacío.
La única fuerza que actúa es el peso. El movimiento del cuerpo es uniformemente acelerado.
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. Fórmula de Stokes
Sobre el cuerpo actúan tres fuerzas, el peso, el empuje y la fuerza de
rozamiento.
La ecuación del movimiento en su movimiento ascendente es
Esta ecuación la podemos escribir de forma más sencilla
Hemos denominado a G la aceleración efectiva de la gravedad
Integrando esta ecuación con la condición inicial de que en el instante t=0, la velocidad v=v0.
Integrando nuevamente, obtenemos la posición del móvil (altura) en función del tiempo. En el instante inicial t=0, el cuerpo parte del origen x=0.
Cuando el cuerpo desciende no tenemos que volver a plantear la ecuación del movimiento ya que la velocidad cambia de signo.
Ejemplo
Un grano de arena de radio R=0.02 mm=0.00002 m se lanza verticalmente en el agua con una velocidad inicial de v0=0.01 m/s.
Datos: densidad de la arena ρe=2670 kg/m3, densidad del agua ρf = 1000 kg/m3, viscosidad η =0.001 kg/(m·s).
El valor de G=6.14 m/s2 y el de α =4213 s-1.
El número Re se mantiene inferior a 1, (en el instante inicial) por lo que se puede aplicar la fórmula de Stokes.
En el siguiente applet se compara el movimiento de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba en el vacío con la velocidad inicial v0=0.01 m/s (en azul) , y el movimiento vertical hacia arriba y hacia abajo del grano de arena en el agua (en rojo).
- Seleccionado el botón de radio titulado Posición, se representa la posición x en función del tiempo t.
- Seleccionado el botón de radio titulado Velocidad, se representa la velocidad v en función del tiempo t.
Podemos observar como el grano de arena adquiere rápidamente una velocidad constante.
