Movimiento de dos bloques superpuestos (I)

Supongamos un bloque C que está sobre otro bloque B. El bloque C está unido por una cuerda que pasa por una polea a un bloque A, tal como se muestra en la figura.

Se deja caer el bloque A y se observa el movimiento del bloque B sobre el plano horizontal y del bloque C sobre el bloque B.

El bloque B de longitud L dispone de dos topes situados en sus extremos, que hacen que cuando el bloque C llegue a dichos extremos el bloque B y el C se muevan con la misma velocidad.

Supondremos que la polea tiene masa despreciable de modo que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos. Supondremos también que los coeficientes estático y cinético de rozamiento entre las superficies en contacto tienen el mismo valor. El coeficiente de rozamiento entre el bloque C y el bloque B sobre el que desliza vale μ_BC.El coeficiente entre el bloque B y el plano horizontal sobre el que desliza vale μ_B

Descripción

En la figura se muestran las fuerzas sobre los tres bloques

Sobre el bloque A actúan dos fuerzas:

El peso m_Ag
La tensión de la cuerda T

Sobre el bloque C actúan

El peso m_Cg
La tensión de la cuerda T
La reacción de la superficie sobre la que descansa N_BC
La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento del bloque sobre dicha superficie f_BC

Sobre el bloque B actúan

El peso m_Bg
La reacción de la superficie sobre la que descansa N_B
Por el principio de acción y reacción el bloque B ejerce una fuerza N_BC sobre el bloque C y éste ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre el bloque B
Del mismo modo, bloque B ejerce una fuerza f_BC sobre el bloque C y éste ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre el bloque B
La fuerza de rozamiento que se opone al deslizamiento del bloque sobre la superficie horizontal f_B

Los bloques están en equilibrio en la dirección vertical de modo que

N_BC=m_Cg

N_B=m_Cg+N_BC=(m_C+m_B)g

El bloque C desliza sobre el bloque B si la fuerza de rozamiento f_BC alcanza su valor máximo μ_BC·N_BC= μ_BC·m_Cg

El bloque B desliza sobre el plano horizontal si la fuerza de rozamiento f_B alcanza su valor máximo μ_B·N_B= μ_B·(m_C+m_B)g

Vamos a considerar las distintas situaciones

Equilibrio

Si m_Ag < μ_BC·m_Cg el bloque C permanece en reposo y la fuerza de rozamiento vale f_BC= m_Ag
Si f_BC< μ_B·(m_C+m_B)g el bloque B permanece en reposo y la fuerza de rozamiento f_B= f_BC

Dinámica

Cuando el bloque A se mueve su aceleración es a_A

m_Ag-T=m_Aa_A

Si m_Ag ≥ μ_BC·m_Cg el bloque C se mueve y la fuerza de rozamiento entre los bloques B y C alcanza su valor máximo f_BC= μ_BC·m_Cg

La aceleración del bloque C, a_C es

T- μ_BC·m_Cg=m_Ca_C

Como los bloques A y C están unidos por una cuerda, sus aceleraciones son iguales a_C= a_A

$a_{C} = a_{A} = \frac{m_{A} - μ_{B C} m_{C}}{m_{A} + m_{C}} g$

Cuando f_BC≥ μ_B·(m_C+m_B)g el bloque B se mueve arrastrado por el bloque C, la fuerza de rozamiento entre el bloque B y el plano horizontal alcanza su valor máximo f_B= μ_B·(m_C+m_B)g, la aceleración del bloque B es

$a_{B} = \frac{μ_{B C} m_{C} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{B}} g$

Cuando f_BC< μ_B·(m_C+m_B)g el bloque B no se mueve a_B=0 y la fuerza de rozamiento vale f_B=μ_BC·m_Cg,

Si m_Ag < μ_BC·m_Cg

La fuerza de rozamiento entre el bloque C y el bloque B es f_BC= m_Ag, el bloque C queda pegado al bloque B.

Si f_BC≥ μ_B·(m_C+m_B)g, el bloque B se mueve y arrastra consigo al bloque C. La ecuación del movimiento de los bloques B y C es
T- μ_B·(m_C+m_B)g =(m_B+m_C)a_BC

Como la ecuación del movimiento del bloque A es
m_Ag-T=m_Aa_A

La aceleración de los bloques A, B y C es la misma e igual a
$a_{A} = a_{B} = a_{C} = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g$

Si f_B< μ_B·(m_C+m_B)g, todos los bloques permanecen en reposo, la fuerza de rozamiento entre el bloque B y el plano horizontal vale f_B=f_BC=m_Ag

Si μ_B es pequeño, como ocurre en la experiencia de laboratorio, el bloque B es arrastrado por el bloque C.

Si el rozamiento entre las superficies BC es grande, el bloque C queda pegado al bloque B y todos los bloques se mueven con la misma aceleración.

Los bloques parten del reposo y se desplazan horizontalmente, sus posiciones al cabo de un cierto tiempo t son.

$x_{C} = \frac{1}{2} a_{C} t^{2} x_{B} = \frac{1}{2} a_{B} t^{2}$

Choque

Si a_C≠a_B el cuerpo C llega al extremo derecho o izquierdo del bloque B. Si L es la longitud del bloque, el tiempo que tarda en llega a dicho extremo es

$\frac{L}{2} = \frac{1}{2} | a_{c} - a_{B} | t_{0}^{2} t_{0} = \sqrt{\frac{L}{| a_{c} - a_{B} |}}$

con velocidades

$v_{C} = a_{C} t_{0} v_{B} = a_{B} t_{0}$

La velocidad común después del choque es

$\begin{array}{l} (m_{B} + m_{C}) v_{B C} = m_{B} v_{B} + m_{C} v_{C} \\ v_{B C} = \frac{m_{B} a_{B} + m_{C} a_{C}}{m_{B} + m_{C}} t_{0} \end{array}$

A partir de este momento las ecuaciones del movimiento del conjunto de los dos bloque B y C y del bloque impulsor A son

m_Ag-T=m_Aa

T-μ_B·(m_C+m_B)g=(m_C+m_B)a

$a = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{B} + m_{C})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}}$

Las posiciones posteriores de los bloques B y C son

$\begin{array}{l} x_{C} = \frac{1}{2} a_{C} t_{0}^{2} + v_{B C} (t - t_{0}) + \frac{1}{2} a {(t - t_{0})}^{2} \\ x_{B} = x_{C} + \frac{L}{2} a_{C} < a_{B} \\ x_{B} = x_{C} - \frac{L}{2} a_{C} > a_{B} \end{array}$

Ejemplo 1

Rozamiento: μ_BC=0.4, μ_B=0.7
Masa de los bloques: m_A=2, m_B=2, m_C=1

Se cumple que

m_Ag ≥ μ_BC·m_Cg

La aceleración de los bloques A y C es

$a_{C} = a_{A} = \frac{m_{A} - μ_{B C} m_{C}}{m_{A} + m_{C}} g = \frac{2 - 0.4 \cdot 1}{2 + 1} 9.8 = 5.227 {m/s}^{2}$

La fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo f_BC= μ_BC·m_Cg

Sin embargo, f_BC< μ_B·(m_C+m_B)g por lo que el cuerpo B permanece en reposo a_B=0

Al cabo de un tiempo

$t_{0} = \sqrt{\frac{L}{| a_{c} - a_{B} |}} = \sqrt{\frac{1.0}{5.2}} = 0.437 s$

el bloque C llega al extremo derecho del bloque B, su velocidad común es

$v_{B C} = \frac{m_{B} a_{B} + m_{C} a_{C}}{m_{B} + m_{C}} t_{0} = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 5.2}{2 + 1} \cdot 0.437 = 0.762 m/s$

La aceleración del bloque impulsor A y de los bloques B y C a partir de dicho instante es

$a = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{B} + m_{C})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{2 - 0.7 (2 + 1)}{2 + 2 + 1} 9.8 = - 0.196 {m/s}^{2}$

Los bloques se detienen al cabo de un tiempo Δt=3.88 s, en la posición

x_B=1.47 m.

Ejemplo 2

Rozamiento: μ_BC=0.7, μ_B=0.1
Masa de los bloques: m_A=0.8, m_B=2, m_C=1

Se cumple que

m_Ag ≥ μ_BC·m_Cg

La aceleración de los bloques A y C es

$a_{C} = a_{A} = \frac{m_{A} - μ_{B C} m_{C}}{m_{A} + m_{C}} g = \frac{0.8 - 0.7 \cdot 1}{0.8 + 1} 9.8 = 0.544 {m/s}^{2}$

La fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo f_BC= μ_BC·m_Cg

Como, f_BC> μ_B·(m_C+m_B)g por lo que el cuerpo B se mueve con aceleración a_B

$a_{B} = \frac{μ_{B C} m_{C} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{B}} g = \frac{0.7 \cdot 1 - 0.1 \cdot (1 + 2)}{2} 9.8 = 1.96 {m/s}^{2}$

Al cabo de un tiempo

$t_{0} = \sqrt{\frac{L}{| a_{c} - a_{B} |}} = \sqrt{\frac{1.0}{| 0.54 - 1.96 |}} = 0.840 s$

el bloque C llega al extremo izquierdo del bloque B, su velocidad común es

$v_{B C} = \frac{m_{B} a_{B} + m_{C} a_{C}}{m_{B} + m_{C}} t_{0} = \frac{2 \cdot 1.96 + 1 \cdot 0.54}{2 + 1} \cdot 0.84 = 1.251 m/s$

La aceleración del bloque impulsor A y de los bloques B y C a partir de dicho instante es

$a = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{B} + m_{C})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{0.8 - 0.1 (2 + 1)}{0.8 + 2 + 1} 9.8 = 1.289 {m/s}^{2}$

Los bloques continúan su movimiento acelerado

Ejemplo 3

Rozamiento: μ_BC=0.7, μ_B=0.1
Masa de los bloques: m_A=0.4, m_B=2, m_C=1

Se cumple que m_Ag < μ_BC·m_Cg el bloque C queda pegado al bloque B. La fuerza de rozamiento entre el bloque B y C es f_BC= m_Ag

Como, f_BC> μ_B·(m_C+m_B)g por lo que el cuerpo B se mueve arrastrando al cuerpo C con aceleración a_B

$a_{A} = a_{B} = a_{C} = \frac{m_{A} - μ_{B} (m_{C} + m_{B})}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{0.4 - 0.1 \cdot (1 + 2)}{0.4 + 2 + 1} 9.8 = 0.288 {m/s}^{2}$

Actividades

Se introduce

La masa m_A del bloque A, en el control de edición titulado Masa A
La masa m_B del bloque B, en el control de edición titulado Masa B
La masa del bloque C se ha fijado en el valor m_C=1 kg
El coeficiente de rozamiento μ_BC entre las superficies de los bloques B y C, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. roza. BC
El coeficiente de rozamiento μ_B entre el bloque B y el plano horizontal, actuando en la barra de desplazamiento titulada Coef. roza. B

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento de los bloques B y C, primero separadamente y luego, cuando van juntos una vez que el bloque C haya alcanzado uno de los extremos del bloque B.

En la parte superior del applet, se muestran los datos del tiempo t, y de las aceleración del bloque C, a_C y del bloque B, a_B.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Sullivan P., Novak J., Sancilio P.A block dragging a cart. The Physics Teacher 44, February 2006, pp. 114-116