Medida del coeficiente de rozamiento estático.

El objetivo de esta página, es analizar el movimiento de los tres cuerpos que forman el sistema que aparece en la figura.

Un cuerpo A cuelga de una cuerda que pasa a través de una polea de masa despreciable y que está unida a un bloque B que puede deslizar a lo largo de un plano horizontal. Sobre el bloque B se coloca un cuerpo C. Se supone que el rozamiento entre el cuerpo B y el plano horizontal es despreciable. Mientras que existe un rozamiento entre el cuerpo C y el cuerpo B.

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Este ejercicio puede servir como experiencia simulada para medir el coeficiente de rozamiento estático. Se va variando la masa del cuerpo A, es decir, la aceleración del sistema, hasta observar que el cuerpo C comienza a deslizar sobre el cuerpo B. Con los datos de las masas de los tres cuerpos calculamos la aceleración del sistema y a partir de este dato determinamos el coeficiente de rozamiento estático.

Descripción

En la figura, vemos el diagrama de fuerzas, a partir del cual obtenemos las ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos en las distintas situaciones

Cuando el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B.
Ambos tienen la misma aceleración a que la del cuerpo A

roza11.gif (1557 bytes) Movimiento del cuerpo A

m_Ag-T=m_A·a

Movimiento del cuerpo B

T-F_r=m_B·a

Movimiento del cuerpo C

F_r=m_C·a

La fuerza de rozamiento F_r es la que hace que el cuerpo C esté ese mueva con el cuerpo B: el cuerpo B ejerce una fuerza F_r sobre el cuerpo C dirigida hacia la derecha. Por el Principio de Acción y Reacción el cuerpo C ejerce una fuerza igual y de sentido contrario sobre el cuerpo B.

De éstas ecuaciones obtenemos la aceleración a y la fuerza F_r de rozamiento entre los cuerpos B y C.

$a = \frac{m_{A} g}{m_{A} + m_{B} + m_{C}}$

Cuando el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B

Cuando F_r=m_C·a alcance el valor máximo μ _sN o bien, μ _sm_Cg, el cuerpo C va a empezar a deslizar sobre el cuerpo B. μ _s es el coeficiente de rozamiento estático.

Incrementando la masa de A, incrementamos la aceleración, en el momento en el que el cuerpo C va a empezar a deslizar se cumple que

a=μ_sg

Calculamos la aceleración crítica a, a partir de los valores de las masas m_A, m_B y m_Cen la fórmula anterior y a continuación, obtenemos el valor del coeficiente de rozamiento estático.

Cuando el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B

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Cuando se incrementa aún más la masa de A, se incrementa la aceleración a, el cuerpo C desliza sobre el cuerpo B, el valor de la fuerza de rozamiento disminuye y vale ahora

F_r=μ_km_C·g

Donde μ_k es el coeficiente de rozamiento por deslizamiento.

Las aceleraciones a del cuerpo B y la aceleración a' del cuerpo C ya no son las mismas

Movimiento del cuerpo A, m_Ag-T=m_A·a

Movimiento del cuerpo B, T-F_r=m_B·a

Movimiento del cuerpo C, F_r=m_C·a’

Fuerza de rozamiento, F_r=μ_km_C·g

$a = \frac{m_{A} - μ_{k} m_{C}}{m_{A} + m_{B}} g a' = μ_{k} g$

Como la aceleración a de B, es mayor que la aceleración a’ de C, la aceleración relativa de C respecto de B, es a’-a. Desde el punto de vista de un observador situado en B, el cuerpo C se mueve hacia atrás con una aceleración |a’-a|.

roza13.gif (941 bytes) El cuerpo C tarda en llegar al final del cuerpo B un tiempo t, dado por

$x = \frac{1}{2} | a' - a | t^{2}$

donde x es la distancia recorrida del cuerpo C sobre el cuerpo B.

La velocidad con respecto al Laboratorio del cuerpo C cuando abandona el cuerpo B será

$v_{C} = a' t$

donde t es el tiempo que C está deslizando sobre B.

En el momento en el que el cuerpo C abandona el bloque B, la aceleración del sistema formado por los bloques A y B cambia,

Movimiento del cuerpo A, m_Ag-T=m_A·a

Movimiento del cuerpo B, T=m_B·a

$a = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} g$

El cuerpo C abandona el cuerpo B

roza14.gif (1322 bytes) Ahora el cuerpo C que tiene una velocidad inicial v_C dirigida hacia la derecha, se mueve bajo la sola influencia de su peso. Describe, por tanto, un movimiento curvilíneo bajo la aceleración constante de la gravedad, o un tiro parabólico.

El tiempo que tarda en llegar al plano horizontal es

$h = \frac{1}{2} g t^{2}$

donde h es la altura del bloque B.

La distancia que recorre horizontalmente es

x=v_Ct

El cuerpo C desliza sobre el plano horizontal

roza15.gif (941 bytes) Una vez que el cuerpo C entra en contacto con el plano horizontal, sobre el cuerpo C actúa una fuerza de rozamiento que hace que se pare al cabo de un cierto tiempo.

Suponemos que la fuerza de rozamiento entre el plano horizontal y el bloque C, es la misma que entre el bloque C y el bloque B. El cuerpo C, con una velocidad inicial horizontal v_C, se parará después de haber recorrido una distancia x, dada por

$\begin{array}{l} 0 = v_{C} - μ_{k} g t x = v_{C} t - \frac{1}{2} μ_{k} g t^{2} \\ x = \frac{v_{C}^{2}}{2 μ_{k} g} \end{array}$

Ejemplos

Supongamos que los coeficientes de rozamiento son:

Coeficiente estático μ_s=0.34
Coeficiente cinético μ_k=0.25

Las masas de los bloques B y C están fijadas por el programa interactivo

Masa del bloque B, m_B=2.5 kg
Masa del bloque C, m_C=1.5 kg

La masa del bloque A se puede cambiar.

Ejemplo 1

Masa del bloque A, m_A=1.3 kg

Observamos que el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B, la aceleración vale

$a = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{1.3}{1.3 + 2.5 + 1.5} 9.8 = 2.40 {m/s}^{2}$

La fuerza de rozamiento F_r que hace que el cuerpo C se mueva con aceleración a es

F_r=m_C·a=1.5·2.4=3.60 N

Que es inferior a la máxima μ_s·N=μ_s·m_C·g=0.34·1.5·9.8=5.0 N

Ejemplo 2

Masa del bloque A, m_A=6.3 kg

Si suponemos que el cuerpo C está en reposo sobre el cuerpo B, la aceleración vale

$a = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{6.3}{6.3 + 2.5 + 1.5} 9.8 = 5.99 {m/s}^{2}$

La fuerza de rozamiento F_r que que hace que el cuerpo C se mueva con aceleración a es

F_r=m_C·a=1.5·5.99=8.99 N

Que como vemos es superior al máximo valor μ_s·N=μ_s·m_C·g=0.34·1.5·9.8=5.0 N

El cuerpo C desliza sobre el bloque B.

La fuerza que actúa sobre el cuerpo C es la de rozamiento F_r= μ_k·N= μ_k·m_C·g=0.25·1.5·9.8=3.67 N, y su aceleración vale a'= μ_k·g=0.25·9.8=2.45 m/s²

La aceleración de los bloques A y B valen ahora

$a = \frac{m_{A} - μ_{k} m_{C}}{m_{A} + m_{B}} g = \frac{6.3 - 0.25 \cdot 1.5}{6.3 + 2.5} = 6.60 {m/s}^{2}$

El bloque C desliza hacia atrás con una aceleración de a-a'=4.15 m/s² sobre el bloque B. Como el bloque B mide 0.5 m de largo, tarda un tiempo t₁=0.49 s en abandonarlo con una velocidad de v_C=a'·t₁=2.45·0.49=1.20 m/s

En este tiempo el bloque B se habrá desplazado

$x_{B} = \frac{1}{2} a t_{1}^{2} = \frac{1}{2} 6.60 \cdot {0.49}^{2} = 0.79 m$

y tendrá una velocidad de v_B=a·t₁=6.60·0.49=3.24 m/s

El cuerpo C se habrá desplazado

$x_{C} = \frac{1}{2} a_{C} t_{1}^{2} = \frac{1}{2} 2.45 \cdot {0.49}^{2} = 0.30 m$

A partir de este instante, la aceleración del sistema formado por el bloque A y el B cambia y vale

$a = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B}} g = \frac{6.3}{6.3 + 2.5} 9.8 = 7.02 {m/s}^{2}$

El cuerpo C describe una trayectoria parabólica hasta que llega al suelo.

Como la altura del bloque B es de 0.25 m el tiempo que tarda en llegar al suelo es t₂=0.23 s.

El desplazamiento del cuerpo C en este tiempo será v_C·t₂=1.20·0.23=0.27 m

La posición del cuerpo C cuando toca el suelo será la suma de ambos desplazamientos

x_C=0.30+0.27=0.57 m

Esta es la posición del cuerpo C en el instante t₁+t₂=0.49+0.23=0.72 s.

El cuerpo C desliza con rozamiento sobre el suelo hasta que se para.

La velocidad inicial del cuerpo C es v_C. El tiempo que tarda en parase

$t_{3} = \frac{v_{C}}{μ_{k} g} = \frac{1.2}{0.25 \cdot 9.8} = 0.49 s$

El desplazamiento del móvil C durante este tiempo es de 0.29 m

La posición de C en el instante t₁+t₂+t₃=0.49+0.23+0.49=1.21 s. es

x_C=0.57+0.29=0.86 m

El desplazamiento del bloque B desde el instante t₁=0.49 s en el que se desprende el bloque C al instante t=1.21 s en el que se para el bloque C vale

$v_{B} (t - t_{1}) + \frac{1}{2} a {(t - t_{1})}^{2} = 3.24 \cdot 0.72 + \frac{1}{2} 7.02 \cdot {0.72}^{2} = 4.15 m$

La posición del cuerpo B será x_B=0.79+4.15=4.94 m. Esta posición no aparece en la simulación ya que el máximo desplazamiento de B es de 2.3 m.

Ejemplo 3

Determinación del coeficiente de rozamiento estático

Se modifica la masa de A hasta observar que el bloque C comienza a moverse sobre el bloque B. Por ejemplo, observamos que el bloque C no se mueve cuando la masa de A, m_A=2.0, y observamos que el bloque C se mueve cuando m_A=2.1 kg.

Si refinamos un poco las medidas, veremos que el bloque C no se mueve cuando m_A=2.05 y se mueve cuando m_A=2.06.

La aceleración crítica del sistema tomando m_A=2.05 es

$a = \frac{m_{A}}{m_{A} + m_{B} + m_{C}} g = \frac{2.05}{2.05 + 2.5 + 1.5} 9.8 = 3.32 {m/s}^{2}$

El coeficiente de rozamiento estático valdrá entonces a=μ_sg, por lo que μ_s=0.34, que es el dato que nos ha suministrado el programa interactivo.

Actividades

Cada vez que se pulsa el botón titulado Nuevo, el programa interactivo genera números al azar, que representan a los coeficientes de rozamiento estático y cinético entre el cuerpo C y el bloque B .

Las masas de los bloques B y C vienen fijadas por el programa en 2.5 y 1.5 kg respectivamente. La masa de A se puede cambiar para modificar la aceleración del sistema. A continuación, se pulsa el botón Empieza.

Para medir el coeficiente de rozamiento estático, se pulsa el botón Empieza. Si el bloque C no se mueve sobre el bloque B, incrementamos la masa de A y volvemos a pulsar el botón Empieza y así sucesivamente, hasta que el bloque empiece a deslizar.

Activando la casilla titulada Vectores, se representan los vectores fuerza que actúan sobre el bloque C . Podemos apreciar como aumenta la fuerza de rozamiento a medida que aumenta la aceleración del sistema mientras el bloque C está en reposo sobre el bloque B.

Cuando la fuerza de rozamiento alcanza el valor máximo, el bloque C empieza a deslizar sobre el bloque B, ambos bloques B y C tienen entonces distinta aceleración. El bloque C desliza hacia atrás visto por un observador situado en el bloque B.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.