Movimiento de una partícula atada a una cuerda que se enrolla en un cilindro horizontal.
Se ata una partícula de masa m al extremo de una cuerda de longitud L, inextensible y de masa despreciable. El otro extremo se fija a la parte superior de un cilindro de radio R. La cuerda se mantiene inicialmente tensa en posición horizontal tal como se muestra en la figura.
Se suelta y la cuerda se enrolla completamente en el cilindro o bien, la cuerda se enrolla parcialmente hasta que su tensión se hace cero. En el segundo caso, supondremos que la partícula se desprende de la cuerda describiendo una trayectoria parabólica.
Cuando la partícula cae, en el instante t la parte de la cuerda que está enrollada en el cilindro es la longitud Rφ del arco de una circunferencia de radio R. Describiremos el movimiento de la partícula en términos del ángulo φ.
Coordenadas polares
La posición de una partícula es (x, y) en coordenadas rectangulares y (r, θ) en coordenadas polares. La relación es
x=r·cosθ, y=r·sinθ
Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares
Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios r y θ.
vemos que
Las expresión del vector velocidad en coordenadas polares es
Las expresión del vector aceleración es:
Para describir el movimiento de la partícula adoptamos el sistema de referencia que se muestra en la figura
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Ecuaciones de la dinámica
Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:
- El peso, mg
- La tensión de la cuerda, T
Las ecuaciones del movimiento en la dirección radial r y en la dirección θ son, respectivamente
Donde sinδ=R/r y cosδ=(L-Rφ)/r
Despejamos la tensión T de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera
Esta es la ecuación diferencial del movimiento de la partícula en términos de r y θ y el ángulo φ que como veremos se simplifica notablemente al expresarla únicamente en términos de la variable φ.
El arduo trabajo algebraico consiste en expresar r y θ y sus derivadas en términos del ángulo φ y sus derivadas.
Como vemos en la figura
Expresamos las derivadas con respecto del tiempo t de r y θ en términos de φ y sus derivadas.
A continuación, las derivadas segundas
Las componentes de la aceleración
Finalmente, expresamos la tensión de la cuerda y la ecuación del movimiento en términos del ángulo φ y sus derivadas.
Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, φ=0, dφ/dt=0.
Una vez que conocemos el ángulo φ en función del tiempo, las coordenadas polares r y θ de la partícula se calculan del siguiente modo.
A continuación, la abscisa x y la ordenada y de la partícula
x=r·cosθ
y=r·sinθ
Conservación de la energía
Ponemos el nivel cero de energía potencial en el origen.
La energía inicial de la partícula es Ei=mgR
La energía final de la partícula es
Expresamos r, θ y sus derivadas en términos de φ y sus derivadas
La tensión T de la cuerda es una función del ángulo φ.
La tensión de la cuerda se anula cuando
Se resuelve por procedimientos numéricos esta ecuación trascendente.
La cuerda alcanzará la tensión nula siempre que no se enrolle completamente, es decir, Rφ<L. El primer término de la igualdad ha de ser negativo, por lo que se tiene que igualar a la rama negativa de tan(φ/2), es decir, el ángulo 180<φ<360, tal como se aprecia en la figura.
En la figura representamos la recta y=(3/2)(φ-L/R) y la función y=tan(φ/2) para L=6 m y R=1 m.
Denominamos longitud crítica de la cuerda Lc a aquella que se enrolla completamente en el cilindro y a la vez, alcanza la tensión cero en el punto de contacto de la partícula.
Como vemos en la figura, la recta y=(3/2)(φ-L/R) y la función y=tan(φ/2) se cortan en el punto de tangencia. En el punto de corte la pendiente de la función es 3/2.
Introducimos el valor del ángulo φ en la ecuación trascendente y despejamos el cociente L/R.
- Cuando la longitud L de la cuerda es menor que Lc la cuerda se enrolla completamente en el cilindro
- Cuando la longitud L de la cuerda es mayor que Lc la cuerda alcanza la tensión T=0
Tiro parabólico
Cuando la cuerda alcanza la tensión cero, supondremos que se corta y la partícula se mueve bajo la acción del peso, describiendo un tiro parabólico.
Se calcula la posición inicial x0, y0 de la partícula en el momento en el que la tensión es cero.
x0=r·cosθ
y0=-r·sinθ
Se calculan las componentes de la velocidad inicial
Expresamos v0x y v0y en términos del ángulo φ y sus derivadas
Las ecuaciones del movimiento de la partícula bajo la acción de su propio peso son:
Actividades
Se introduce
- La longitud L de la cuerda actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud cuerda
- Se ha fijado el radio del cilindro en R=1 m
- Se pulsa el botón titulado Empieza
Observamos el movimiento de la partícula:
- Cuando la cuerda se enrolla completamente en el cilindro
- Cuando se alcanza la tensión cero de la cuerda y la partícula describe a partir de ese momento una trayectoria parabólica.