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Movimiento de una partícula atada a una cuerda que se enrolla en un cilindro horizontal.

Se ata una partícula de masa m al extremo de una cuerda de longitud L, inextensible y de masa despreciable. El otro extremo se fija a la parte superior de un cilindro de radio R. La cuerda se mantiene inicialmente tensa en posición horizontal tal como se muestra en la figura.

Se suelta y la cuerda se enrolla completamente en el cilindro o bien, la cuerda se enrolla parcialmente hasta que su tensión se hace cero. En el segundo caso, supondremos que la partícula se desprende de la cuerda describiendo una trayectoria parabólica.

Cuando la partícula cae, en el instante t la parte de la cuerda que está enrollada en el cilindro es la longitud Rφ del arco de una circunferencia de radio R. Describiremos el movimiento de la partícula en términos del ángulo φ.

Coordenadas polares

La posición de una partícula es (x, y) en coordenadas rectangulares y (r, θ) en coordenadas polares. La relación es

x=r·cosθ, y=r·sinθ

Expresamos la velocidad de la partícula en coordenadas polares

${\displaystyle v=\frac{dr}{dt}=\widehat{r}\frac{dr}{dt}+r\frac{d\widehat{r}}{dt}}$

Calculamos las componentes rectangulares de los vectores unitarios r y θ.

${\displaystyle \begin{array}{l}\widehat{r}=\widehat{i}\cos \theta +\widehat{j}\sin \theta \\ \widehat{\theta }=-\widehat{i}\sin \theta +\widehat{j}\cos \theta \end{array}}$

vemos que

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d\widehat{r}}{dt}=\left(-\widehat{i}\sin \theta +\widehat{j}\cos \theta \right)\frac{d\theta }{dt}=\widehat{\theta }\frac{d\theta }{dt}\\ \frac{d\widehat{\theta }}{dt}=\left(-\widehat{i}\cos \theta -\widehat{j}\sin \theta \right)\frac{d\theta }{dt}=-\widehat{r}\frac{d\theta }{dt}\end{array}}$

Las expresión del vector velocidad en coordenadas polares es

${\displaystyle v=\frac{dr}{dt}\widehat{r}+r\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }}$

Las expresión del vector aceleración es:

${\displaystyle \begin{array}{l}a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}r}{d{t}^2}\widehat{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\widehat{r}}{dt}+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }+r\frac{d\theta }{dt}\frac{d\widehat{\theta }}{dt}=\\ \frac{d^{2}r}{d{t}^2}\widehat{r}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\widehat{\theta }+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\widehat{r}=\\ \left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)\widehat{r}+\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\widehat{\theta }\end{array}}$

Para describir el movimiento de la partícula adoptamos el sistema de referencia que se muestra en la figura

Ecuaciones de la dinámica

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

• El peso, mg
• La tensión de la cuerda, T

Las ecuaciones del movimiento en la dirección radial r y en la dirección θ son, respectivamente

${\displaystyle \begin{array}{l}m\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)=mg\sin \theta -T\cos \delta \\ m\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)=mg\cos \theta -T\sin \delta \end{array}}$

Donde sinδ=R/r y cosδ=(L-Rφ)/r

Despejamos la tensión T de la segunda ecuación y la sustituimos en la primera

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{T}{m}=\frac{r}{R}\left\{g\cos \theta -\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\right\}\\ \left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)=g\sin \theta -\frac{r}{R}\left\{g\cos \theta -\left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)\right\}\frac{(L-R\varphi )}{r}\end{array}}$

Esta es la ecuación diferencial del movimiento de la partícula en términos de r y θ  y el ángulo φ que como veremos se simplifica notablemente al expresarla únicamente en términos de la variable φ.

El arduo trabajo algebraico consiste en expresar r y θ y sus derivadas en términos del ángulo φ y sus derivadas.

Como vemos en la figura

${\displaystyle \begin{array}{l}\{\begin{array}{l}r\sin \theta =(L-R\varphi )\sin \varphi -R\cos \varphi \\ r\cos \theta =(L-R\varphi )\cos \varphi +R\sin \varphi \end{array}\\ \tan \theta =\frac{(L-R\varphi )\tan \varphi -R}{(L-R\varphi )+R\tan \varphi }{r}^2={\left(L-R\varphi \right)}^2+R^2\end{array}}$

Expresamos las derivadas con respecto del tiempo t de r y θ en términos de φ y sus derivadas.

${\displaystyle \begin{array}{l}r\frac{dr}{dt}=-R(L-R\varphi )\frac{d\varphi }{dt}\\ r^2\frac{d\theta }{dt}={\left(L-R\varphi \right)}^2\frac{d\varphi }{dt}\end{array}}$

A continuación, las derivadas segundas

${\displaystyle \begin{array}{l}r\frac{d^{2}r}{d{t}^2}=-R(L-R\varphi )\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}+\frac{R^4}{r^2}{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\\ r^2\frac{d^2\theta }{d{t}^2}={\left(L-R\varphi \right)}^2\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}-\frac{2R^3}{r^2}\left(L-R\varphi \right){\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\end{array}}$

Las componentes de la aceleración

${\displaystyle \begin{array}{l}\left(\frac{d^{2}r}{d{t}^2}-r{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)=-\frac{R}{r}(L-R\varphi )\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}+\frac{1}{r}\left(R^2-{\left(L-R\varphi \right)}^2\right){\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\\ \left(r\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta }{dt}\right)=\frac{{\left(L-R\varphi \right)}^2}{r}\frac{d^2\varphi }{d{t}^2}-\frac{2R}{r}(L-R\varphi ){\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\end{array}}$

Finalmente, expresamos la tensión de la cuerda y la ecuación del movimiento en términos del ángulo φ y sus derivadas.

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{T}{m}=g\sin \varphi +(L-R\varphi ){\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\\ \frac{d^2\varphi }{d{t}^2}=\frac{R}{(L-R\varphi )}\left(\frac{g}{R}\cos \varphi +{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2\right)\end{array}}$

Resolvemos la ecuación diferencial por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, φ=0, dφ/dt=0.

Una vez que conocemos el ángulo φ en función del tiempo, las coordenadas polares r y θ de la partícula se calculan del siguiente modo.

${\displaystyle \theta =\arctan \left(\frac{(L-R\varphi )\sin \varphi -R\cos \varphi }{(L-R\varphi )\cos \varphi +R\sin \varphi }\right)r=\sqrt{{\left(L-R\varphi \right)}^2+R^2}}$

A continuación, la abscisa x y la ordenada y de la partícula

x=r·cosθ
y=r·sinθ

Conservación de la energía

Ponemos el nivel cero de energía potencial en el origen.

La energía inicial de la partícula es E_i=mgR

La energía final de la partícula es

${\displaystyle \begin{array}{l}{E}_f=\frac{1}{2}m\left(v_r^2+v_{\theta }^2\right)-mgr\sin \theta \\ E_f=\frac{1}{2}m\left({\left(\frac{dr}{dt}\right)}^2+r^2{\left(\frac{d\theta }{dt}\right)}^2\right)-mgr\sin \theta \end{array}}$

Expresamos r, θ y sus derivadas en términos de φ y sus derivadas

${\displaystyle \begin{array}{l}gR=\frac{{\left(L-R\varphi \right)}^2}{2}{\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2-g\left((L-R\varphi )\sin \varphi -R\cos \varphi \right)\\ {\left(\frac{d\varphi }{dt}\right)}^2=\frac{2g\left(R+(L-R\varphi )\sin \varphi -R\cos \varphi \right)}{{\left(L-R\varphi \right)}^2}\end{array}}$

La tensión T de la cuerda es una función del ángulo φ.

${\displaystyle \frac{T}{m}=\frac{g}{(L-R\varphi )}\left(3(L-R\varphi )\sin \varphi +2R-2R\cos \varphi \right)}$

La tensión de la cuerda se anula cuando

${\displaystyle \begin{array}{l}3(L-R\varphi )\sin \varphi +2R-2R\cos \varphi =0\\ \frac{3}{2}\left(\varphi -\frac{L}{R}\right)=\tan \left(\frac{\varphi }{2}\right)\end{array}}$

Se resuelve por procedimientos numéricos esta ecuación trascendente.

La cuerda alcanzará la tensión nula siempre que no se enrolle completamente, es decir, Rφ<L. El primer término de la igualdad ha de ser negativo, por lo que se tiene que igualar a la rama negativa de tan(φ/2), es decir, el ángulo 180<φ<360, tal como se aprecia en la figura.

En la figura representamos la recta y=(3/2)(φ-L/R) y la función y=tan(φ/2) para L=6 m y R=1 m.

Denominamos longitud crítica de la cuerda L_c a aquella que se enrolla completamente en el cilindro y a la vez, alcanza la tensión cero en el punto de contacto de la partícula.

Como vemos en la figura, la recta y=(3/2)(φ-L/R) y la función y=tan(φ/2) se cortan en el punto de tangencia. En el punto de corte la pendiente de la función es 3/2.

${\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{1}{2}\frac{1}{{\cos }^2(\varphi /2)}{\varphi }_c=250.5º=4.372\text{rad}}$

Introducimos el valor del ángulo φ en la ecuación trascendente y despejamos el cociente L/R.

${\displaystyle \frac{L_c}{R}={\varphi }_c-\frac{2}{3}\tan \left(\frac{{\varphi }_c}{2}\right)\frac{L_c}{R}=5.315}$

• Cuando la longitud L de la cuerda es menor que L_c la cuerda se enrolla completamente en el cilindro
• Cuando la longitud L de la cuerda es mayor que L_c la cuerda alcanza la tensión T=0

Tiro parabólico

Cuando la cuerda alcanza la tensión cero, supondremos que se corta y la partícula se mueve bajo la acción del peso, describiendo un tiro parabólico.

Se calcula la posición inicial x₀, y₀ de la partícula en el momento en el que la tensión es cero.

x₀=r·cosθ
y₀=-r·sinθ

Se calculan las componentes de la velocidad inicial

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=v_r\cos \theta -v_{\theta }\sin \theta =\left(\frac{dr}{dt}\right)\cos \theta -r\left(\frac{d\theta }{dt}\right)\sin \theta \\ v_{0x}=-v_r\sin \theta -\cos \theta =-\left(\frac{dr}{dt}\right)\sin \theta -r\left(\frac{d\theta }{dt}\right)\cos \theta \end{array}}$

Expresamos v_0x y v_0y en términos del ángulo φ y sus derivadas

${\displaystyle \begin{array}{l}{v}_{0x}=-(L-R\varphi )\frac{d\varphi }{dt}\sin \varphi \\ v_{0y}=-(L-R\varphi )\frac{d\varphi }{dt}\cos \varphi \end{array}}$

Las ecuaciones del movimiento de la partícula bajo la acción de su propio peso son:

${\displaystyle \begin{array}{l}x=x_0+v_{0x}t\\ y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}(-g)t^2\end{array}}$

Actividades

Se introduce

• La longitud L de la cuerda actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud cuerda
• Se ha fijado el radio del cilindro en R=1 m
• Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento de la partícula:

• Cuando la cuerda se enrolla completamente en el cilindro
• Cuando se alcanza la tensión cero de la cuerda y la partícula describe a partir de ese momento una trayectoria parabólica.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García