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La lluvia que cae en un vagón de ferrocarril

En los cursos de Física General se ilustra la aplicación de la definición de fuerza F=dp/dt con el problema del vagón de ferrocarril que incrementa su masa a razón constante, debido a la lluvia que cae uniformemente.

Cuando no se aplican fuerzas

Se resuelve un problema cuyo enunciado es similar al siguiente:

Un vagón de ferrocarril que está abierto por arriba, se mueve a lo largo de vías rectilíneas con velocidad v0. En un momento dado, comienza a llover verticalmente, incrementándose la masa del vagón a razón constante de f kg/s. Sabiendo que la masa inicial del vagón es m0 kg. Calcular

La solución del problema es

La masa del vagón en el instante t es

m=m0+f·t

Como la fuerza sobre el vagón es nula F=0, el momento lineal se mantiene constante.

F=dp/dt, si F=0, p=cte

Al incrementarse la masa del vagón disminuye su velocidad.  La velocidad v del vagón en el instante t es

m0·v0=(m0+f·tv

v= m 0 v 0 m 0 +f·t

Tenemos una situación equivalente, cuando un cuerpo de masa m0 que lleva una velocidad inicial v0 choca inelásticamente con pequeño cuerpo de masa Δm en reposo. La velocidad v1 después del primer choque es

mv0=(mm)v1

Si el cuerpo resultante de masa m0m se vuelve a encontrar con otro pequeño cuerpo de masa Δm en reposo. La velocidad v2 después del segundo choque es

m0v0=(m0m)v1=(m0+2Δm)v2.

después de n choques consecutivos, el cuerpo tendrá una masa (m0+n·Δm), y su velocidad será

v n = m 0 v 0 m 0 +n·Δm

En la expresión anterior el término f·t es el incremento de la masa del vagón. En ésta, Δm es el incremento de la masa del cuerpo como resultado de sus choques inelásticos

a= dv dt = m 0 v 0 f ( m 0 +f·t ) 2

Aunque la fuerza sobre el vagón es cero, la aceleración no es nula.

Integrando la expresión de la velocidad obtenemos la posición x del vagón en función del tiempo

dx dt = m 0 v 0 m 0 +f·t   0 x dx = 0 t m 0 v 0 m 0 +f·t dt x= m 0 v 0 f ln m 0 +f·t m 0

Al aumentar su masa m, el vagón disminuye la velocidad v. Para que el vagón se mueva con velocidad constante v0, es necesario aplicar una fuerza F tal que

F= dp dt = d(m v 0 ) dt = dm dt v 0 =f· v 0

Cuando se aplican fuerzas.

Vamos a estudiar en este apartado, el movimiento de un vagón cuya masa inicial es m0 y cuya velocidad inicial es v0, que incrementa su masa a razón constante de f kg/s. Sobre el vagón se ejerce una fuerza F mediante una máquina de tren conectada al vagón y además, estudiaremos el efecto de la fuerza de rozamiento cuyo coeficiente es μ.

Las fuerzas que actúan sobre el vagón son:

 La ecuación del movimiento del vagón es

dp dt =Fμ( m 0 +f·t)g

En el instante t=0, la velocidad inicial es v0, y el vagón parte del origen x=0.

p 0 p dp = 0 t (Fμ m 0 gμgf·t)dt p= p 0 +(Fμ m 0 g)t 1 2 μgf· t 2

La velocidad v del vagón en el instante t es

v= m 0 v 0 +(Fμ m 0 g)tμfg t 2 /2 m 0 +f·t

La velocidad se hace cero cuando el numerador lo sea, es decir, en el instante t, tal que

t= (Fμ m 0 g)+ ( Fμ m 0 g ) 2 +2μfg m 0 v 0 μfg

Si el vagón parte del reposo v0=0, el tiempo que tarda en pararse es

t= 2(Fμ m 0 g) μfg

El tiempo es positivo (el vagón se mueve) si F> μm0g. (la fuerza de rozamiento inicial)

La posición x del vagón en función del tiempo t es

0 x dx = 0 t m 0 v 0 +(Fμ m 0 g)tμfg t 2 /2 m 0 +f·t dt

Para resolver la integral, se divide primero el numerador entre el denominador, calculando el cociente y el resto de la división. El resultado final es

x= μg 4 t 2 + Fμ m 0 g/2 f t+ m 0 f ( v 0 Fμ m 0 g/2 f )ln m 0 +ft m 0

Casos particulares

v= m 0 v 0 m 0 +f·t x= m 0 v 0 f ln m 0 +f·t m 0

v= m 0 v 0 +Ft m 0 +f·t x= F f t+ m 0 f ( v 0 F f )ln m 0 +ft m 0

La velocidad v se hace constante e igual a v0 cuando F=f·v0, entonces x=v0·t

Ejemplos

Ejemplo1:

Sea F=0, y μ=0

 La velocidad en el instante t=50 s es

v= 50·0.1 50+0.7·40 =0.064m/sx= 50·0.1 0.7 ln 50+0.7·40 50 =3.18m

Ejemplo 2:

Sea μ=0

La velocidad v0 es constante cuando la fuerza F=f·v0=0.7·0.1=0. 07 N

Cuando F es más pequeña que este valor, el vagón se frena, y cuando es más grande se acelera

Ejemplo 3:

Sea μ=0.1

Introducimos el valor de la fuerza F que sea mayor que la fuerza de rozamiento inicial  μm0g=0.1·50·9.8=49 N

Por ejemplo, F=60 N

Observamos que el vagón parte del reposo, se acelera, hasta que alcanza una velocidad máxima y luego, se decelera hasta que se para.  El tiempo que tarda en pararse es

t= 2(6049) 0.1·0.7·9.8 =32.07s

En este tiempo, el vagón se ha desplazado

x= 0.1·9.8 4 32.07 2 + 6049/2 0.7 32.07+ 50 0.7 ( 0 6049/2 0.7 )ln 50+0.7·32.07 50 =31.0m

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el movimiento del vagón arrastrado o no por la máquina según que la fuerza F sea positiva o nula, respectivamente.

La masa del vagón se incrementa con el tiempo, debido a la caída de la lluvia, que se representa por el movimiento vertical de puntos de color azul.

Referencias

 Lapidus I. R. Problem: the rain in the plain falls mainly on the train. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, Enunciado pág 644, solución pág 697.

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