Conductor esférico en un campo eléctrico uniforme

Una esfera conductora está situada en un campo eléctrico uniforme, determinar la distribución de carga en la superficie del conductor. La solución a este problema es mucho más compleja que el procedimiento de las imágenes que hemos descrito en la página anterior, por lo que solamente se darán los resultados.

La ley de Gauss se puede expresar de forma diferencial o de forma integral. Cuando se expresa la ley de Gauss en forma diferencial en un espacio en el que la densidad de carga libre es cero, tenemos la ecuación de Laplace.

Campo eléctrico

Se resuelve la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con las siguientes condiciones de contorno

V=0 para r=R, en la superficie de la esfera
V=-E₀x cuando x es grande y la influencia del campo eléctrico de la esfera es despreciable. (Recuérdese que el potencial disminuye en la dirección del campo eléctrico uniforme E₀).

inducida5.gif (1215 bytes) El campo eléctrico total, es la suma del campo eléctrico uniforme más el campo producido por un dipolo de momento dipolar p=4π ε₀E₀R³ situado en el centro de la esfera.

Las componentes del campo eléctrico en coordenadas polares son

$E_{r} = E_{0} (1 + \frac{2 R^{3}}{r^{3}}) \cos θ E_{θ} = - E_{0} (1 - \frac{R^{3}}{r^{3}}) \sin θ$

Potencial

El potencial en un punto P de coordenadas (r, θ ) es

$V = - E_{0} (1 - \frac{R^{3}}{r^{3}}) r \cos θ$

Como vemos cumple que cuando r se hace grande, el potencial V tiende a –E₀rcosθ =-E₀x, y para r=R, el potencial es V=0.

Carga inducida

La densidad superficial de carga inducida en la esfera conductora es el producto de ε₀ veces el valor de E_r para r=R.

σ =3ε₀E₀cosθ

La carga inducida neta q en la esfera conductora se obtiene multiplicando la densidad de carga por el elemento de superficie esférica comprendido entre θ y θ +dθ , sumando para todos los ángulos comprendidos entre 0 y π.

$q = \int_{0}^{π} σ 2 π R^{2} \sin θ d θ = 0$

la carga neta q=0 es cero.

Actividades

En el applet se muestra las líneas de fuerza y equipotenciales de un campo eléctrico uniforme paralelo al eje X (horizontal) y una esfera conductora conectada a tierra.

Se introduce

el valor del campo eléctrico E₀, en el control de selección titulado Campo.
el radio R de la esfera se ha fijado en la unidad.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos como se perturba el campo cuando se introduce una esfera conductora en el espacio en el que existe un campo eléctrico uniforme.

Pulsando en la casilla titulada Carga inducida obtenemos una imagen de la distribución de carga inducida, es decir, de la variación de la densidad de carga σ en función del ángulo θ . Los puntos de color rojo representan las cargas positivas y los azules las cargas negativas.

Al aplicar un campo eléctrico, los portadores de carga negativa de la esfera conductora se mueve en el sentido contrario al campo, hacia la izquierda, dejando la parte derecha del conductor cargada positivamente. Tenemos de este modo un dipolo, formado por una distribución espacial y simétrica de dos cargas iguales y opuestas. La densidad de carga positiva es máxima para θ =0, y la densidad de carga negativa es máxima para θ =π . La densidad de carga es nula para θ =π /2. Como vemos no hay líneas de fuerza que lleguen o salgan de esta posición.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

Lorrain P. Corson D. Campos y ondas electromagnéticas. Selecciones Científicas (1972), págs. 179-18