El dipolo eléctrico

El dipolo eléctrico es un tipo de distribución de carga que se presenta frecuentemente como veremos en la página dedicada a los dieléctricos.

Un dipolo eléctrico está formado por dos cargas, una positiva +Q y otra negativa -Q del mismo valor, separadas una distancia d.

El potencial en el punto P distante r₁ de la carga –Q y r₂ de la carga +Q es

$V = \frac{Q}{4 π ε_{0}} (\frac{1}{r_{2}} - \frac{1}{r_{1}})$

Expresamos r₁ y r₂ en función de r y θ , que es la posición del punto P expresada en coordenadas polares.

$\begin{array}{l} r_{1}^{2} = r^{2} + d^{2} + 2 r d \cos θ \\ r_{2}^{2} = r^{2} + d^{2} - 2 r d \cos θ \end{array}$

Teniendo en cuenta que d es pequeño frente a r, podemos obtener una buena aproximación empleando el desarrollo en serie

${(1 + x)}^{- 1 / 2} = 1 - \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - ...$

para expresar de forma aproximada los cocientes r/r₁ y r/r₂.

$\frac{r}{r_{1}} = {(1 + \frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{2 d}{r} \cos θ)}^{\frac{- 1}{2}} \approx 1 - \frac{1}{2} (\frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{2 d}{r} \cos θ) + \frac{3}{8} {(\frac{d^{2}}{r^{2}} + \frac{2 d}{r} \cos θ)}^{2} + ...$

Despreciando los términos de orden superior a d²/r²

$\begin{array}{l} \frac{r}{r_{1}} \approx 1 - \frac{d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{2 r^{2}} (3 \cos^{2} θ - 1) \\ \frac{r}{r_{2}} \approx 1 + \frac{d}{r} \cos θ + \frac{d^{2}}{2 r^{2}} (3 \cos^{2} θ - 1) \end{array}$

El potencial se expresa en función de r y θ

$V = \frac{Q}{4 π ε_{0} r} (\frac{r}{r_{2}} - \frac{r}{r_{1}}) \approx \frac{2 Q d}{4 π ε_{0} r^{2}} \cos θ$

Es interesante destacar, que el potencial debido a un dipolo disminuye con la inversa del cuadrado de la distancia r, mientras que para una carga puntual disminuye con la inversa de r.

Componentes del campo eléctrico

dipolo1.gif (2362 bytes) Las componentes de E en coordenadas polares se pueden calcular a partir del gradiente de V expresado en coordenadas polares

$E = - \frac{\partial V}{\partial r} \hat{r} - \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial θ} \hat{θ}$

Las componentes del campo eléctrico E son

$\begin{array}{l} E_{r} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{4 Q d}{r^{3}} \cos θ \\ E_{θ} = \frac{1}{4 π ε_{0}} \frac{2 Q d}{r^{3}} \sin θ \end{array}$

La intensidad del campo eléctrico disminuye como el cubo de la distancia r.

Definimos momento dipolar al vector p, cuyo módulo es p=Qd, el producto de la carga Q por la separación d, y que se dirige desde la carga negativa a la positiva.

Actividades

Se introduce

El módulo de p (en unidades arbitrarias), en el control de selección titulado momento dipolar

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

Observar las líneas de fuerza (en color blanco) y las equipotenciales (en color azul claro) de un dipolo.

Las equipotenciales se han trazado de modo que su separación es de 10 unidades arbitrarias de energía potencial.

Las líneas de fuerza y equipotenciales son similares a las obtenidas en el applet del sistema de dos cargas, cuando las cargas son iguales y opuestas.

LineasApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1