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Fuerza sobre un circuito cerrado

Vamos a calcular las fuerzas que actúan sobre un circuito cerrado que transporta una corriente constante y que está situado en un campo magnético uniforme perpendicular al plano que contiene el circuito.

1. Consideremos el ejemplo de la figura, un circuito formada por una porción semicircular de radio R y su diámetro.

Supondremos que el campo magnético B es uniforme perpendicular al plano del circuito y apunta hacia el lector. La corriente constante de intensidad i circula en el sentido de las agujas del reloj

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre una porción dl de una corriente es dF=i(u_t×B)dl

• Fuerza sobre la porción rectilínea AC

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el elemento de corriente de longitud dx tiene:

• por módulo, dF=i(1·B·sin90º)·dx=iB·dx

• dirección, perpendicular al plano determinado por u_t y B,  el eje Y

• sentido, positivo.

La fuerza sobre todos los elementos de corriente tienen la misma dirección y sentido. La resultante tiene

• por módulo, ${\displaystyle F_{AC}={\displaystyle \underset{-R}{\overset{R}{\int }}iB·dx}=2iBR}$

• dirección, el eje Y

• sentido, positivo

En forma vectorial, F_AC=2iBRj

• Fuerza sobre la porción semicircular ABC

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el elemento de corriente de longitud dl=R·dθ tiene:

• por módulo, dF=i(1·B·sin90º)·dl=iBR·dθ

• dirección, perpendicular al plano determinado por u_t y B,  radial

• sentido, hacia el centro

Hallamos las componentes rectangulares de la fuerza dF,

dF_x=-dF·cosθ=-iBR·cosθ ·dθ
dF_y=-dF·sinθ=-iBR·sinθ ·dθ

Calculamos las componentes de la fuerza resultante.

Por simetría, la componente F_x debe ser nula, sin necesidad de calcular la integral

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}-iBR\cos \theta ·d\theta =}{-iBR\sin \theta |}_0^{\pi }=0\\ F_y={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}-iBR\sin \theta ·d\theta =}{iBR\text{cos}\theta |}_0^{\pi }=-2iBR\end{array}}$

En forma vectorial, F_ABC=-2iBRj

• La fuerza resultante sobre el circuito ABCA es nula

 F=F_AC+ F_ABC =2iBRj-2iBRj=0

2. Vamos a generalizar este resultado, probando con un circuito cerrado de una forma más irregular

Consideremos el circuito ABCDA, recorrido en sentido horario por una corriente de intensidad i. Vamos a calcular la fuerza que ejerce el campo magnético B, uniforme, perpendicular al plano del circuito y dirigido hacia el lector sobre cada una de las porciones del circuito.

 

• La porción AB, es un cuarto de circunferencia de radio r.

En el apartado anterior, calculamos la fuerza sobre un elemento de corriente de longitud dl=r·dθ y las componentes de dicha fuerza. Calculamos ahora, las componentes de la fuerza resultante

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x={\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{\pi }{\int }}-iBr\cos \theta ·d\theta =}{-iBr\sin \theta |}_{\pi /2}^{\pi }=iBr\\ F_y={\displaystyle \underset{\pi /2}{\overset{\pi }{\int }}-iBr\sin \theta ·d\theta =}{iBr\text{cos}\theta |}_{\pi /2}^{\pi }=-iBr\end{array}}$

En forma vectorial, F_AB=iBri+iBrj

• La porción BC es un segmento rectilíneo vertical de longitud R-r

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre esta porción de corriente tiene

• por módulo, F_BC=iB(R-r)

• dirección, perpendicular al plano determinado por u_t y B,  eje X

• sentido, positivo

En forma vectorial, F_BC=iB(R-r)i

• La porción CD, es un cuarto de circunferencia de radio R.

En el apartado anterior, calculamos la fuerza sobre un elemento de corriente de longitud dl=R·dθ y las componentes de dicha fuerza

Calculamos ahora, las componentes de la fuerza resultante

${\displaystyle \begin{array}{l}{F}_x={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}-iBR\cos \theta ·d\theta =}{-iBR\sin \theta |}_0^{\pi /2}=-iBR\\ F_y={\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}-iBR\sin \theta ·d\theta =}{iBR\text{cos}\theta |}_0^{\pi /2}=-iBR\end{array}}$

En forma vectorial, F_CD=-iBRi-iBRj

• La porción DA es un segmento rectilíneo vertical de longitud R+r

La fuerza que ejerce el campo magnético sobre esta porción de corriente tiene

• por módulo, F_DA=iB(R+r)

• dirección, perpendicular al plano determinado por u_t y B,  eje Y

• sentido, positivo

En forma vectorial, F_DA=iB(R-r)j

La fuerza resultante es

F= F_AB+ F_BC+ F_CD + F_DA=iBri+iBrj +iB(R-r)i -iBRi-iBRj +iB(R-r)j=0

3. En general, la fuerza que ejerce el campo magnético sobre una corriente cerrada es nula.

${\displaystyle F={\displaystyle \oint i(u_t\times B)dl}=i\left({\displaystyle \oint u_{t}dl}\right)\times B=i\left({\displaystyle \oint dl}\right)\times B}$

La integral entre paréntesis es nula, ya que la suma de todos los vectores desplazamiento diferenciales dl de un camino cerrado es nula, salimos de un punto y regresamos al mismo punto, no hay un desplazamiento neto.

Así pues, hemos demostrado que la resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético uniforme sobre un circuito cerrado de forma cualesquiera, es nula. El campo magnético es perpendicular al plano que contiene el circuito cerrado, aunque no tiene que serlo, necesariamente.

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