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Determinación de la velocidad límite

La experiencia demuestra, que cuando un imán se deja caer en el interior de un tubo metálico, la velocidad límite constante se alcanza casi instantáneamente.

Esta velocidad dependerá de la conductividad del material del que está hecho el tubo, de su radio interior y exterior. De la masa del imán y de los valores de las componentes del campo magnético en la sección del tubo metálico y a lo largo del tubo.

El campo magnético creado por el imán ejerce una fuerza sobre las corrientes inducidas en el tubo, de acuerdo con la tercera ley de Newton, las corrientes inducidas ejercen una fuerza igual y de sentido contrario en el imán. En este apartado, calculamos la fuerza que ejerce el campo magnético producido por el imán sobre las corrientes inducidas en la pared del tubo.

Consideremos un tubo metálico hecho de un material de conductividad σ, de radio interior c, de radio exterior b, de radio medio a=(b+c)2, y espesor δ=b-c.

El campo magnético producido por el imán tiene dos componentes, una componente radial B_y y la otra a lo largo del eje vertical, B_z. La fuerza sobre una porción dl de corriente inducida de intensidad I es

dF=I(u_t×B)dl

• La componente B_z del campo produce una fuerza cuya dirección es radial,

• La componente B_y produce una fuerza cuya dirección es vertical

La fuerza resultante sobre la espira es vertical, anulándose por simetría en la dirección radial.

dF_z=IB_ydl=JB_y·dV

donde J es la densidad de corriente y dV=2πy·dy·dz es el elemento de volumen, véase la figura más arriba.

• La ley de Ohm se expresa J=σE,  donde σ es la conductividad del material del tubo

• La ley de Faraday, se expresa E=v×B

E=-vk×(B_yj+B_zk)=vB_yi

j es un vector unitario en la dirección radial e i es un vector unitario en la dirección tangencial (de la corriente)

${\displaystyle d{F}_z=(2\pi y)\sigma v{B}_y^{2}dy·dz}$

Para calcular una integral doble, tenemos que conocer el valor de la componente radial B_y del campo magnético producido por el imán en la sección del tubo y a lo largo del tubo.

1. La primera aproximación, es la de suponer que el imán se comporta como un dipolo magnético, la fuerza de frenado se expresa

${\displaystyle d{F}_z=\frac{9{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{8\pi }\frac{z^2{y}^3}{{\left(y^2+z^2\right)}^5}dy·dz}$

Primero se integra la variable y, calculando la fuerza que ejerce un anillo de altura dz. La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas de todas los anillos, integrando respecto de z. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

${\displaystyle F_z=\frac{9{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{8\pi }{\displaystyle \underset{z_1}{\overset{z_2}{\int }}{\displaystyle \underset{c}{\overset{b}{\int }}\frac{z^2{y}^3}{{\left(y^2+z^2\right)}^5}dy·dz}}}$

Donde c y b son los radios interior y exterior del tubo metálico, y z₁ y z₂ los límites de la región del tubo metálico donde se producen las corrientes inducidas.

Para resolver la integral se realizan dos aproximaciones más:

2. El espesor δ=b-a del tubo metálico es pequeño, la componente radial del campo B_y no cambia sustancialmente en la sección del tubo metálico situada a una distancia z del imán, su valor constante se toma para el radio medio del tubo,  y=a=(b+c)/2. La sección del tubo es un anillo radio interior c y exterior b cuya área es πb²-πc²=2πaδ

${\displaystyle d{F}_z=(2\pi a\delta )\sigma v{B}_y^{2}dz=(2\pi a\delta )\sigma v{\left(\frac{3{\mu }_0\mu }{4\pi }\frac{za}{{\left(a^2+z^2\right)}^{5/2}}\right)}^{2}dz=\frac{9{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{8\pi }{a}^3\delta \frac{z^2}{{\left(a^2+z^2\right)}^5}dz}$

3. La longitud del tubo es infinita z₁=-∞ y z₂=+∞

${\displaystyle F_z=\frac{9{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{8\pi }{a}^3\delta {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{z^2}{{\left(a^2+z^2\right)}^5}dz}}$

Queda por resolver la integral definida. Primero, integramos por partes

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{z^2}{{\left(a^2+z^2\right)}^5}dz}=\frac{-z}{8{\left(a^2+z^2\right)}^5}+\frac{1}{8}{\displaystyle \int \frac{dz}{{\left(a^2+z^2\right)}^4}}}$

Hacemos el cambio de variable

z=a·tanθ, dz=a·dθ/cos²θ

${\displaystyle \frac{1}{8}{\displaystyle \int \frac{dz}{{\left(a^2+z^2\right)}^4}}=\frac{1}{8a^7}{\displaystyle \int {\cos }^6·d\theta }}$

Empleamos la relación trigonométrica

${\displaystyle {\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}}$

La integral se convierte en

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{8}{\displaystyle \int \frac{dz}{{(a^2+z^2)}^4}}=\frac{1}{8a^7}{\displaystyle \int {\cos }^6·d\theta }=\frac{1}{64a^7}{\displaystyle \int (1+{\cos }^{3}2\theta +3{\cos }^{2}2\theta +3\cos 2\theta )d\theta }\\ {\displaystyle \int {\cos }^{2}2\theta ·d\theta ={\displaystyle \int \frac{1+\cos 4\theta }{2}}}d\theta =\frac{1}{2}\theta +\frac{1}{8}\sin 4\theta \\ {\displaystyle \int {\cos }^{3}2\theta ·d\theta ={\displaystyle \int (1-{\sin }^{2}2\theta )·d\theta =}}\frac{1}{2}\text{sin2}\theta -\frac{1}{6}{\sin }^{3}2\theta \end{array}}$

El resultado final es

${\displaystyle \frac{1}{8}{\displaystyle \int \frac{dz}{{\left(a^2+z^2\right)}^4}}=\frac{1}{8a^7}{\displaystyle \int {\cos }^6·d\theta }=\frac{1}{64a^7}\left(\frac{5}{2}\theta +2\sin 2\theta +\frac{3}{8}\sin 4\theta -\frac{1}{6}{\sin }^{3}2\theta \right)}$

Ahora calculamos la integral definida

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{z^2}{{\left(a^2+z^2\right)}^5}dz}={\frac{-z}{8{\left(a^2+z^2\right)}^5}|}_{-\infty }^{\infty }+{\frac{1}{64a^7}\left(\frac{5}{2}\theta +2\sin 2\theta +\frac{3}{8}\sin 4\theta -\frac{1}{6}{\sin }^{3}2\theta \right)|}_{-\pi /2}^{\pi /2}=\\ \frac{1}{64a^7}\frac{5}{2}\left(\frac{\pi }{2}-\frac{-\pi }{2}\right)=\frac{5\pi }{128a^7}\end{array}}$

Recuérdese que al hacer el cambio de variable z=a·tanθ,  los límites de integración cambian de z=-∞, z=+∞, a θ=-π/2, θ=+π/2.

La expresión final de la fuerza es

${\displaystyle F_z=\frac{9{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{8\pi }{a}^3\delta \frac{5\pi }{128a^7}=\frac{45{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{1024a^4}\delta }$

El imán parte del reposo, cae a través del tubo metálico y rápidamente alcanza la velocidad límite constante. En este régimen, el peso se iguala a la fuerza de rozamiento, la velocidad v límite constante vale entonces.

${\displaystyle mg=\frac{45{({\mu }_0\mu )}^2\sigma v}{1024a^4}\delta v=\frac{1024(mg)a^4}{45{({\mu }_0\mu )}^2\sigma \delta }}$

Ejemplo (MacLatchy)

• Imán de masa m=6.12 g y de momento magnético μ=0.67 A·m²

• El tubo de cobre tiene una radio interior de c=7.29 mm y un radio exterior de b=7.96 mm. El radio medio a=(c+b)/2=7.625 mm, y el espesor δ=0.67 mm. La conductividad del cobre es σ=5.08·10⁷ Ω^-1·m^-1

• Teniendo en cuenta que μ₀=4π·10^-7 en unidades S.I.

Obtenemos v=19.13 cm/s, el valor medido es 12.7 cm/s

Balance energético

En el apartado anterior, hemos calculado la fuerza de frenado del imán F_z que es proporcional a la velocidad v del imán y la velocidad límite constante con la que cae cuando la fuerza de frenado se iguala al peso, F_z=mg.

Es conveniente imaginar que el tubo metálico de radio medio a y espesor δ está uniformemente subdividido en anillos paralelos de longitud l.

Cuando el imán empieza a moverse el flujo magnético que atraviesa cada anillo empieza a cambiar. De acuerdo a la ley de Faraday, se induce una corriente dentro del anillo. Como hemos visto en los apartados anteriores

• Cuando el imán se aleja de un anillo, el campo magnético producido por la corriente inducida, lo atrae.
• Cuando el imán se acerca a un anillo, el campo magnético producido por la corriente inducida, lo repele.

La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas producidas por todas las corrientes, que como hemos visto es de sentido contrario a la velocidad del imán y su módulo es una función de dicha velocidad por lo que lo frenará. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

Desde el punto de vista energético, cuando el imán se mueve con velocidad constante, su energía cinética no cambia, la disminución de la energía potencial gravitatoria se convierte en calor producido por las corrientes inducidas en la pared del tubo metálico. En el estado estacionario, la variación de energía potencial en la unidad de tiempo mgv se convierte en energía disipada por efecto Joule en la resistencia que opone el tubo a las corrientes inducidas.

${\displaystyle mgv={\displaystyle \sum _z{I}^2(z)R}}$

donde v es la velocidad límite constante, I(z) es la corriente inducida en el anillo situado en la posición z a lo largo del tubo vertical, R es la resistencia del anillo.

El problema que hemos de resolver es el cálculo de I(z), la distribución de corrientes en cada anillo.

Para calcular la intensidad de las corrientes inducidas I(z) tenemos que elegir un modelo de imán. El modelo de dipolo magnético es correcto solamente para puntos muy distantes del imán, pero no lo es para un imán cuyo tamaño es comparable al radio del tubo.

En la página titulada “Demostración de la ley de Faraday (I)” hemos considerado otro modelo de imán, el formado por dos cargas magnéticas q puntuales iguales y opuestas que distan d, la longitud del imán.

El campo magnético B en las proximidades de un polo magnético tiene una expresión similar a la del campo eléctrico de una carga puntual.

${\displaystyle B=\frac{{\mu }_{0}q}{4\pi r^2}\widehat{r}}$

apunta radialmente hacia fuera o hacia la carga según sea q positiva o negativa

Si el tubo tiene un radio medio a, y un espesor δ. El flujo del campo magnético producido por la carga magnética positiva través de una espira de radio a, para z+d>0, es

${\displaystyle \Phi ={\displaystyle \underset{S}{\int }B·dS}=-{\displaystyle \underset{S}{\int }B·dS}·\cos \theta }$

donde dS=2πy·dy es el área del anillo comprendido entre los radios y e y+dy.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\Phi }_{+q}(z)=-\frac{{\mu }_{0}q}{4\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{{(z+d)}^2+y^2}\frac{(z+d)}{\sqrt{{(z+d)}^2+y^2}}2\pi y·dy}=-\frac{{\mu }_{0}q}{2}(z+d){\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{y·dy}{{\left({(z+d)}^2+y^2\right)}^{3/2}}}\\ =-\frac{{\mu }_{0}q}{2}\left(1-\frac{z+d}{\sqrt{{(z+d)}^2+a^2}}\right)\end{array}}$

El flujo del campo magnético producido por la carga magnética negativa través de la espira de radio a, para z>0, es

${\displaystyle \begin{array}{l}{\Phi }_{-q}(z)=\frac{{\mu }_{0}q}{4\pi }{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{1}{z^2+y^2}\frac{z}{\sqrt{z^2+y^2}}2\pi y·dy}=\frac{{\mu }_{0}q}{2}z{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\frac{y·dy}{{\left(z^2+y^2\right)}^{3/2}}}\\ =\frac{{\mu }_{0}q}{2}\left(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)\end{array}}$

El flujo total es

${\displaystyle \Phi (z)={\Phi }_{+q}(z)+{\Phi }_{-q}(z)=\frac{{\mu }_{0}q}{2}\left(\frac{z+d}{\sqrt{{(z+d)}^2+a^2}}-\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}\right)}$

A medida que el imán cae, el flujo a través de la espira cambia, lo que produce una fem

${\displaystyle V_{\epsilon }=-\frac{d\Phi }{dt}=-\frac{dz}{dt}\frac{d\Phi }{dz}=v\frac{{\mu }_{0}q{a}^2}{2}\left(\frac{1}{{\left(z^2+a^2\right)}^{3/2}}-\frac{1}{{\left({(z+d)}^2+a^2\right)}^{3/2}}\right)}$

La intensidad es

I(z)=V_ε(z)/R

Donde R=ρ(2πa)/(δl), la longitud del anillo es 2πa¸la sección δl y la resistividad ρ=1/σ donde σ es la conductividad del material

La energía por unidad de tiempo disipada se obtiene evaluando la suma. En el límite continuo

${\displaystyle \begin{array}{l}P={\displaystyle \sum _z{I}^2(z)R}=v^2\frac{{\mu }_0^2{q}^2{a}^4}{4R}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left(\frac{1}{{\left(z^2+a^2\right)}^{3/2}}-\frac{1}{{\left({(z+d)}^2+a^2\right)}^{3/2}}\right)}^2\frac{dz}{l}}=\\ v^2\frac{{\mu }_0^2{q}^2\delta \sigma }{8\pi a^2}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{\left(\frac{1}{{\left(x^2+1\right)}^{3/2}}-\frac{1}{{\left({(x+d/a)}^2+1\right)}^{3/2}}\right)}^{2}dx}=v^2\frac{{\mu }_0^2{q}^2\delta \sigma }{8\pi a^2}f\left(\frac{d}{a}\right)\end{array}}$

Igualando la disminución de energía potencial en la unidad de tiempo mgv con la energía por unidad de tiempo disipada por efecto Joule en las pared del tubo vertical

${\displaystyle mgv=v^2\frac{{\mu }_0^2{q}^2\delta \sigma }{8\pi a^2}f\left(\frac{d}{a}\right)v=\frac{8\pi a^2(mg)}{{\mu }_0^2{q}^2\delta \sigma f(d/a)}}$

Aproximación dipolar

Cuando las dimensiones del imán son mucho más pequeñas que el radio del tubo, d<<a, la integral se puede resolver

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(\frac{1}{{(x^2+1)}^{3/2}}-\frac{1}{{({(x+d/a)}^2+1)}^{3/2}}\right)}^2={\left(\frac{{({(x+d/a)}^2+1)}^{3/2}-{(x^2+1)}^{3/2}}{{(x^2+1)}^{3/2}{({(x+d/a)}^2+1)}^{3/2}}\right)}^2\\ \approx \frac{{\left({(x^2+2xd/a+1)}^{3/2}-{(x^2+1)}^{3/2}\right)}^2}{{(x^2+1)}^6}\approx \frac{{\left({(x^2+1)}^{3/2}+\frac{3}{2}{(x^2+1)}^{1/2}\frac{2xd}{a}-{(x^2+1)}^{3/2}\right)}^2}{{(x^2+1)}^6}=\\ =\frac{9d^2{x}^2}{a^2{(x^2+1)}^5}\end{array}}$

Donde hemos empleado en la segunda línea, la aproximación (a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1·b+… cuando b<<a

${\displaystyle f\left(\frac{d}{a}\right)\approx {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{9d^2{x}^2}{a^2{(x^2+1)}^5}dx}=\frac{9d^2}{a^2}{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}\frac{x^2}{{(x^2+1)}^5}dx}=\frac{9d^2}{a^2}\frac{5\pi }{128}=\frac{45\pi d^2}{128a^2}}$

En el apartado anterior, hemos obtenido el resultado de esta integral

${\displaystyle v=\frac{8\pi a^2(mg)}{{\mu }_0^2{q}^2\delta \sigma f(d/a)}\approx \frac{1024a^4(mg)}{45{\mu }_0^2{(qd)}^2\delta \sigma }}$

Donde el producto q·d es el momento magnético μ del imán

Hemos obtenido la misma fórmula que en el apartado anterior, utilizando otro modelo y efectuando otras aproximaciones.

Cuando las dimensiones d del imán es comparable al radio a del tubo, es necesario calcular la función f(d/a) por integración numérica. En el programa interactivo, empleamos el procedimiento de Simpson y sustituimos los límites infinitos superior e inferior por -200 y +200 dividiendo dicho intervalo en 2000 partes.

Actividades

Se introduce

• El cociente d/a (longitud del imán/radio del tubo) actuando en la barra de desplazamiento titulada Cociente d/a.

Se pulsa el botón titulado Calcula

• Se representa la función f(d/a) en el intervalo 0<d/a<4

• Se calcula y se muestra en el eje de ordenadas el valor de f(d/a) calculado para un valor particular de d/a.

Ejemplo:

• El tubo es de cobre ρ=1.75·10^-8 Ω·m y de dimensiones. Radio a=7.85 mm, espesor δ=1.9 mm.

• El imán tiene una longitud de d=6.35 mm,

• De la medida del campo magnético en el eje del imán se deduce que las cargas magnéticas puntuales valen q=112.05.

En el programa interactivo, introducimos el valor del cociente d/a=0.809 y obtenemos f(d/a)=0.581, distinto del valor que se obtendría con la aproximación dipolar

${\displaystyle f\left(\frac{d}{a}\right)\approx \frac{45\pi d^2}{128a^2}=\frac{45\pi {0.809}^2}{128}=0.723}$

La velocidad límite constante del imán vale

${\displaystyle v=\frac{8\pi a^2(mg)}{{\mu }_0^2{q}^2\delta \sigma f(d/a)}v=\frac{8\pi ·{0.00785}^2·0.006·9.8·1.75·{10}^{-8}}{{(4\pi ·{10}^{-7}·112.05)}^2·0.0019·0.581}=7.3\text{m/s}}$

Experimentalmente, el imán recorre una longitud de 1.7 m en 22.9 s, la velocidad límite constante es v=7.4 m/s

El tiempo que emplearía cayendo libremente desde la misma altura sería

${\displaystyle 1.7=\frac{1}{2}9.8t^{2}t=0.59\text{s}}$

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1

Referencias

MacLatchy C. S., Backman P., Bogan L. A quantitative magnetic braking experiment. Am. J. Phys. 61 (12) December 1993, pp. 1096-1101

Levin Y, da Silveira F. L., Rizzato F. B., Electromagnetic braking: A simple quantitative model. Am. J. Phys. 74 (9) September 2006, pp. 815-817

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