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Movimiento de un imán en un tubo metálico vertical

Para una demostración práctica de la ley de Lenz se usan imanes cilíndricos que se dejan caer verticalmente en un tubo de cobre o de aluminio. Se puede comprobar experimentalmente que la fuerza que se opone al peso es proporcional a la velocidad del imán. La misma situación que hemos encontrado en el movimiento vertical de una varilla en el seno de un campo magnético uniforme.

m dv dt =mgkv

La constante de proporcionalidad k depende del cuadrado del momento magnético del imán y de otros factores como el diámetro interior del tubo, espesor, su conductividad, etc.

Supongamos que un imán cilíndrico desciende con su polo Sur (color azul) delante y el polo Norte (de color rojo) detrás. En un imán las líneas del campo magnético salen del polo Norte y entran en el polo Sur.

En  la figura, se ilustra la aplicación de la ley de Lenz para explicar el origen de la fuerza retardadora sobre el imán en términos de las corrientes inducidas en el tubo de metal.

  1. Durante el descenso del imán, el flujo del campo magnético se incrementa en la región próxima al polo Sur del imán. Se origina en el tubo una corriente inducida que se opone al incremento de flujo, en el sentido indicado en la parte (1) de la  figura.
  2. El flujo del campo magnético disminuye en la región próxima al polo Norte, se origina en el tubo una corriente inducida que se opone a la disminución del flujo, en el sentido indicado en la parte (1) de la figura

El momento magnético del imán y el de las corrientes inducidas está representado en la parte (2) de la figura.

En la figura (3), mostramos la equivalencia entre corrientes (espiras o solenoides) e imanes, de modo que la corriente inducida por delante del polo Norte equivale a un imán de polaridad opuesta, por lo que se repelen. Sin embargo, la corriente inducida por detrás del imán tiene la misma polaridad por lo que se atraen.

El imán que desciende por el tubo metálico es repelido por delante y atraído por detrás. Esta es la explicación cualitativa de la fuerza de frenado en términos de la ley de Lenz.

Modelo electromecánico

Vamos a elaborar un modelo que explique las características esenciales del movimiento del imán en un tubo metálico vertical. En este modelo sustituimos el tubo metálico que tiene un radio interior y un radio exterior, por un conjunto de espiras del mismo radio a, separadas una distancia d. El imán se mueve a lo largo del eje vertical común de las espiras. Supondremos que cada espira presenta una resistencia R al paso de la corriente inducida. En la figura, se muestran las corrientes inducidas que se generan en el tubo por delante y por detrás del imán.

No consideraremos los efectos de la autoinducción de cada espira, ni la inducción mutua entre espiras.

En las páginas tituladas “Demostración de la ley de Faraday”, hemos estudiado la corriente inducida producida en una espira, cuando un imán se mueve a lo largo de su eje con velocidad constante. La corriente inducida no afecta al movimiento del imán.

En esta página, vemos a estudiar un ejemplo algo más complicado. El imán se sitúa a cierta altura, se libera y cae bajo la acción de la gravedad hacia las espiras a lo largo de su eje. Se originan corrientes inducidas en las espiras próximas que van a modificar el movimiento del imán.

Efecto de una espira

En primer lugar, vamos a ver el efecto de una espira

Fuerzas sobre el imán

El campo magnético producido por una espira de radio a por la que circula una corriente eléctrica de intensidad I, en un punto z de su eje es

B z = μ 0 I 2 a 2 ( z 2 + a 2 ) 3/2

Consideramos el imán como un dipolo de momento μ= μk

La energía potencial de un dipolo de momento magnético μ en un campo magnético B que tiene la dirección del eje Z es el producto escalar

U=-μ·B=-μ·Bz

Como B es variable a lo largo del eje de la espira, el dipolo magnético experimenta una fuerza

F z = U z = 3μ μ 0 I a 2 2 z ( z 2 + a 2 ) 5/2

Si la corriente I en la espira es negativa (en el sentido de las agujas del reloj) la fuerza es repulsiva (las corrientes se repelen si tienen sentido contrario y se atraen, si tienen el mismo sentido).

Aplicamos la segunda ley de Newton al movimiento del imán

m d 2 z d t 2 =mg 3μ μ 0 I a 2 2 z ( z 2 + a 2 ) 5/2

Ecuación del circuito (espira)

Si consideramos que el imán es un dipolo magnético de momento magnético μ=iπa2, el campo magnético producido por el imán tiene la siguientes componentes. En la figura, se muestran las líneas de campo magnético producido por el imán.

B y = μ 0 ·μ 4π r 3 ( 3yz r 2 ) B z = μ 0 ·μ 4π r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )

El flujo del campo producido por el imán a través de una espira de radio a es.

Φ= S BdS = S ( B y j ^ + B z k ^ )dS k ^ = S B z ·dS

Dado que el plano de la espira es perpendicular al eje Z, el flujo de la componente Y del campo es nulo.

El elemento diferencial de superficie dS, es el área de un anillo de radio y y de espesor dy, su valor es dS=y·dy

Φ= 0 a μ 0 ·μ 4π r 3 ( 3 z 2 r 2 1 )·2πy·dy Φ= π μ 0 ·μ 4π ( 3 z 2 0 a 2ydy ( y 2 + z 2 ) 5 0 a 2ydy ( y 2 + z 2 ) 3 )= μ 0 μ· a 2 2 ( a 2 + z 2 ) 3/2

Aplicando la ley de Faraday

V ε = dΦ dt = dΦ dz dz dt = 3 μ 0 μ a 2 2 z ( a 2 + z 2 ) 5/2 dz dt

La espira tiene una resistencia R. La espira es equivalente al circuito de la figura, cuya ecuación es Vε=IR

IR= 3 μ 0 μ a 2 2 z ( a 2 + z 2 ) 5/2 dz dt

Solución de la ecuación del movimiento

Sustituyendo la intensidad I en la ecuación del movimiento, obtenemos la ecuación diferencial

m d 2 z d t 2 =mg 9 (μ μ 0 ) 2 a 4 4R z 2 ( z 2 + a 2 ) 5 dz dt

Como dz/dt<0, la fuerza que ejerce sobre el imán el campo magnético producido por la corriente inducida de la espira se opone a la velocidad, es una fuerza de frenado, pero no es de la forma λv, ya que λ no es constante.

Para determinar la posición y velocidad del imán en función del tiempo, tenemos que resolver una ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales: en el instante t=0, z=z0, dz/dt=0. El imán parte del reposo desde la altura z0.

Escribimos la ecuación diferencial en forma adimensional, definiendo las nuevas variables x y τ.

z=xat=τ a g

La ecuación diferencial en términos de las variables adimensionales x, τ se escribe.

d 2 x d τ 2 =1 9 (μ μ 0 ) 2 4mR g a 7 x 2 ( x 2 +1 ) 5 dx dτ d 2 x d τ 2 =1k x 2 ( x 2 +1 ) 5 dx dτ

En este sistema de unidades, el peso equivale a una fuerza de una unidad y la fuerza que ejerce el campo magnético producido por la corriente inducida en la espira sobre el imán es

f e =k x 2 ( x 2 +1 ) 5 dx dτ

Donde x es la posición del imán respecto del centro de la espira. Como vemos esta fuerza disminuye rápidamente con x, por lo que solamente hemos de considerar el  efecto de las espiras más próximas al imán.

Efecto de un conjunto de espiras

Situando el origen en O, la posición de la espira j es yj, la posición del imán es y. La posición del imán respecto del centro de la espira es xj=y-yj

La resultante de las fuerzas que ejerce el campo magnético producido por las corrientes inducidas que circulan por las 2n espiras más próximas al imán por encima y por debajo valen

F e =k jn+1 j+n (y y i ) 2 ( (y y i ) 2 +1 ) 5 dy dτ

donde j es la espira más próxima que está por debajo del imán.

Todas las fuerzas tienen la misma dirección y sentido (opuesto a la velocidad) independientemente, de que la espira está por encima o por debajo del imán. Como hemos visto, esto se debe a que las corrientes inducidas en las espiras que están por debajo del imán tienen un sentido y las que están por encima, tienen sentido contrario.

La fuerza neta sobre el imán se calcula sumando las interacciones magnéticas de todas las espiras, que como vemos es una función de la velocidad del imán, y lo frenará. Cuando esta fuerza se iguala al peso, la aceleración será cero y el imán caerá con velocidad límite constante.

La ecuación del movimiento del imán es

d 2 y d τ 2 =1k jn+1 j+n (y y i ) 2 ( (y y i ) 2 +1 ) 5 dy dτ

Se resuelve esta ecuación diferencial por procedimientos numéricos, con las siguientes condiciones iniciales: en el instante adimensional τ=0, y=y0, dy/dτ=0. El imán parte del reposo desde la posición adimensional y0.

Actividades

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Empieza

El imán parte del reposo desde la altura y0=10. Se señala su polo norte en color rojo y el polo sur en color azul.

El tubo metálico se ha sustituido por espiras iguales situadas a una distancia de una unidad unas de las otras.

Observamos el movimiento de caída del imán, como incrementa su velocidad, pero tiende a hacia un valor medio constante a medida que transcurre el tiempo.

Al lado del imán se dibujan las fuerzas sobre el mismo:

En el programa interactivo se ha considerado más que suficiente el efecto de las 10 espiras más próximas al imán: cinco por encima y cinco por debajo de su posición actual.

Mediante el movimiento de puntos rojos situados en las espiras (portadores de carga positivos) se señala el sentido de la corriente inducida.

Podemos observar, que los puntos rojos se mueven más deprisa en las espiras más próximas al imán y muy poco, en las espiras más alejadas. La velocidad de los puntos rojos nos da una idea del valor de la intensidad de la corriente inducida en la espira.

En la gráfica situada a la derecha del applet, se representa:

Podemos observar que la velocidad media del imán tiende hacia un valor constante, aunque acelera y decelera cuando se mueve entre dos espiras consecutivas.

SolenoideApplet aparecerá en un explorador compatible JDK 1.1
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