Medida de la intensidad del campo magnético

En esta página vamos a estudiar, algunas aplicaciones de la ley de Faraday que nos permiten medir la intensidad del campo magnético en una región del espacio.

Medida de un campo magnético no uniforme

Es posible medir un campo magnético no uniforme mediante una bobina conectada a un galvanómetro balístico.

Cuando una pequeña bobina exploradora formada por N espiras de área S, se saca de una región en la que hay un campo magnético uniforme B hacia una región en la que no hay campo magnético, se produce una fem en la bobina.

El flujo cambia de Φ =B·NS a Φ =0 en un intervalo de tiempo pequeñoΔt. Aplicando la ley de Faraday, la fem inducida será

$V_{ε} = - \frac{0 - B N S}{Δ t} = \frac{B N S}{Δ t}$

Si se conecta la bobina exploradora a un galvanómetro balístico. La corriente inducida que circula por el circuito formado por la bobina exploradora y el galvanómetro es

i=V_ε /R

Donde R es la resistencia del circuito. La carga total q que pasa por el galvanómetro se obtiene integrando la intensidad de la corriente inducida

$q = \int_{0}^{Δ t} i \cdot d t = \frac{B N S}{R} B = \frac{q R}{N S}$

Como el galvanómetro balístico nos mide la carga q, conociendo los datos relativos a la bobina exploradora (área S y número de espiras N) podemos despejar el valor de la intensidad del campo magnético B en la región considerada.

Medida de un campo magnético uniforme

Un campo magnético uniforme se puede medir girando rápidamente media vuelta una bobina exploradora. La carga que pasa a través de la bobina se mide mediante un galvanómetro cuyo periodo de oscilación es mucho mayor que el tiempo que tarda la bobina en girar media vuelta.

El flujo en la situación inicial de la bobina es Φ =NS·B, y en la situación final es Φ’=-NS·B.

El flujo cambia en ΔΦ =-2NS·B en un pequeño intervalo de tiempo Δt. Aplicando la ley de Faraday, la fem vale

$V_{ε} = - \frac{Δ Φ}{Δ t} = \frac{2 N S B}{Δ t}$

Si la resistencia total del circuito es R. La carga que pasa por el galvanómetro se obtiene integrando la intensidad de la corriente inducida i=V_ε /R.

$q = \int_{0}^{Δ t} i \cdot d t = \frac{2 B N S}{R} B = \frac{q R}{2 N S}$

Medida de la componente horizontal del campo magnético terrestre

En la figura, se muestra un modelo simplificado del campo magnético terrestre, que en una primera aproximación, es el mismo que el de una esfera imantada uniformemente. Los polos geográfico y magnético de la Tierra no coinciden, e incluso a lo largo de la historia se han producido inversiones de los polos magnéticos.

Como puede apreciarse en la parte derecha de la figura, la componente horizontal (local) del campo magnético terrestre B_H se dirige siempre hacia el polo Norte.

Para medir esta componente, se pueden realizar distintos experimentos.

Primer método

Llamemos eje X a la dirección horizontal Norte-Sur. Producimos un campo magnético B, en la dirección del eje Y, cuya intensidad calculamos. Una brújula que se orientará en la dirección del campo magnético resultante. Midiendo el ángulo θ que forma el campo resultante con el eje X, obtenemos el valor de la componente horizontal B_H del campo magnético terrestre.

$\tan θ = \frac{B}{B_{H}}$

El valor que se ha medido de esta componente en España es del orden de 0.25·10^-4 T =0.25 gauss.

Segundo método

El segundo método se basa en la ley de Faraday.

Disponemos de una bobina rectangular formada por N espiras de área S Colocamos el eje de la bobina en la dirección Norte-Sur, y la giramos rápidamente 180º. La carga total producida por la fem inducida se puede medir mediante un galvanómetro balístico tal como se ha descrito en el aparatado anterior. Ahora bien, el osciloscopio es un instrumento presente en un laboratorio que se puede conectar a la bobina y así, se puede observar de forma directa el fenómeno de la inducción electromagnética.

La traza que se observa en la pantalla del osciloscopio es la representación gráfica de la fem en función del tiempo. La ley de Faraday es

$V_{ε} = - \frac{d Φ}{d t}$

Integramos respecto del tiempo entre los instantes t=0, y Δt. Siendo Δt el tiempo que tarda la espira en girar 180º, tal como se indica en la figura.

$\int_{0}^{Δ t} V_{ε} d t = - \int_{0}^{Δ t} d Φ = Φ_{i} - Φ_{f}$

El primer miembro es el área bajo la curva V_ε, en función del tiempo, el segundo es la diferencia entre el flujo inicial y el final

Φ_i- Φ_f=NB_HS·cos0º-(NB_HScos180º)=2NB_HS

Siendo N el número de espiras, y S=a·b el área de cada una de ellas. Despejamos la componente horizontal del campo magnético B_H

$B_{H} = \frac{\int_{0}^{Δ t} V_{ε} d t}{2 N S} = \frac{área bajo la curva}{2 N a b}$

El área bajo la curva, fem en función del tiempo, se puede medir de varias maneras:

Ajustando la curva a una función del tipo seno, se mide en el osciloscopio el tiempo Δt, y el máximo V_m. La ecuación de la curva es

$V_{ε} = V_{m} \sin (\frac{π}{Δ t} t)$

Integrando obtenemos el área

$área = \int_{0}^{Δ t} V_{m} \sin (\frac{π}{Δ t} t) d t = \frac{2 V_{m}}{π} Δ t$

En la experiencia real, la bobina no tiene por que moverse con velocidad angular uniforme. En este caso, el área bajo la curva se puede obtener de forma aproximada poniendo una rejilla transparente encima de la representación gráfica de la función. Cuanto más fina sea la rejilla con mejor aproximación obtendremos el área bajo la curva.

En el “osciloscopio” que se ha simulado, podemos elegir una rejilla gruesa, en la que se han establecido las siguientes divisiones:

0.1 s horizontalmente
1.0 milivoltios verticalmente.

Seleccionando la rejilla fina, los valores anteriores se dividen por dos, de este modo podemos aproximarnos mucho mejor al valor exacto del área encerrada por la curva y el eje horizontal.

Actividades

Se introduce

La velocidad de giro de la espira en rpm (revoluciones por minuto) actuando sobre la barra de desplazamiento.
En el programa se ha fijado el número de espiras en N=1000, y la dimensiones a=20, b=30 cm de cada espira rectangular

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa genera aleatoriamente un valor de la componente horizontal del campo magnético terrestre comprendida entre 0.2 y 0.3 gauss.

Cuando se pulsa el botón Empieza, la bobina gira 180º con velocidad angular constante ω, tardando un tiempo Δt=π/ω.

El flujo disminuye, y se genera una corriente inducida, cuyo sentido se indica mediante el movimiento de las cargas representadas por puntos de color rojo. La fem en función del tiempo se traza en la pantalla del “osciloscopio”.

En el eje horizontal medimos el tiempo Δt, y el eje vertical medimos la fem máxima V_m (en milivoltios). Calculamos el área bajo la curva y a continuación, la componente horizontal del campo magnético terrestre.

Ejemplo:

Seleccionamos ω=40 rpm=40·2π/60=4π/3 rad/s.

El tiempo que tarda en completar media vuelta es Δt=π/ω=0.75 s. tal como podemos observar en la gráfica.
La fem máxima es aproximadamente V_m=6.25 mV

El área bajo la curva es

$área = \frac{2 \cdot 6.25 \cdot 10^{- 3}}{π} 0.75 = 2.99 \cdot 10^{- 3} V·s$

Despejamos la componente horizontal del campo magnético

$B_{H} = \frac{2.99 \cdot 10^{- 3}}{2 \cdot 1000 \cdot 20 \cdot 30 \cdot 10^{- 4}} = 2.49 \cdot 10^{- 5} T = 0.249 gauss$

Pulsamos el botón titulado Resultado, para comprobar que la respuesta 0.247 es muy próxima al valor calculado.

Para determinar el área, podemos contar el número de cuadrados de la rejilla gruesa o fina caben en la región delimitada por la curva y el eje horizontal. La mejor manera de hacerlo es imprimiendo una imagen tomada del applet.

Cuando se elige rejilla gruesa cada cuadrado mide 0.1s x 1mV=10^-4 V·s
Cuando se elige rejilla fina el área de cada cuadrado es 0.25·10^-4 V·s

Referencias

Smith, R. Recycling the Earth inductor. Am. J. Phys. 52 (3) March 1984, pp. 279-280.

Yuste M., Carreras C. Fuerzas entre imanes: un experimento casero para medir el campo magnético terrestre. Revista Española de Física, V-4, nº 3, 1990, págs. 73-79.