Dinámica de fluidos

Fluidos ideales

El movimiento de un fluido real es muy complejo. Para simplificar su descripción consideraremos el comportamiento de un fluido ideal cuyas características son las siguientes:

1.-Fluido no viscoso. Se desprecia la fricción interna entre las distintas partes del fluido

2.-Flujo estacionario. La velocidad del fluido en un punto es constante con el tiempo

3.-Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo

4.-Flujo irrotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular del fluido respecto de cualquier punto.

Ecuación de la continuidad

Consideremos una porción de fluido en color amarillo en la figura, el instante inicial t y en el instante t+Δt.

En un intervalo de tiempo Δt la sección S₁que limita a la porción de fluido en la tubería inferior se mueve hacia la derecha Δx₁=v₁Δt. La masa de fluido desplazada hacia la derecha es Δm₁=ρ·S₁Δx₁=ρS₁v₁Δt.

Análogamente, la sección S₂ que limita a la porción de fluido considerada en la tubería superior se mueve hacia la derecha Δx₂=v₂Δt. en el intervalo de tiempo Δt. La masa de fluido desplazada es Δm₂=ρ S₂v₂Δt. Debido a que el flujo es estacionario la masa que atraviesa la sección S₁ en el tiempo Δt, tiene que ser igual a la masa que atraviesa la sección S₂ en el mismo intervalo de tiempo. Luego

v₁S₁=v₂S₂

Esta relación se denomina ecuación de continuidad.

En la figura, el radio del primer tramo de la tubería es el doble que la del segundo tramo, luego la velocidad del fluido en el segundo tramo es cuatro veces mayor que en el primero.

Ejemplo:

Cuando se abre poco a poco un grifo, se forma un pequeño chorro de agua, un hilo cuyo radio va disminuyendo con la distancia al grifo y que al final, se rompe formando gotas.

La ecuación de continuidad nos proporciona la forma de la superficie del chorrito de agua que cae del grifo, tal como apreciamos en la figura.

La sección trasversal del chorro de agua cuando sale del grifo es S₀, y la velocidad del agua es v₀. Debido a la acción de la gravedad la velocidad v del agua se incrementa. A una distancia h del grifo la velocidad es

$v^{2} = v_{0}^{2} + 2 g h$

Aplicando la ecuación de continuidad

$\begin{array}{l} S_{0} v_{0} = S v \\ π r_{0}^{2} v_{0} = π r^{2} v \end{array}$

Despejamos el radio r del hilo de agua en función de la distancia h al grifo.

$r = r_{0} \sqrt[4]{\frac{v_{0}^{2}}{v_{0}^{2} + 2 g h}}$

Ecuación de Bernoulli

Evaluemos los cambios energéticos que ocurren en la porción de fluido señalada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se señala la situación inicial y se compara la situación final después de un tiempo Δt. Durante dicho intervalo de tiempo, la cara posterior S₂ se ha desplazado v₂Δt y la cara anterior S₁ del elemento de fluido se ha desplazado v₁Δt hacia la derecha.

El elemento de masa Δm se puede expresar como Δm=ρ S₂v₂Δt=ρ S₁v₁Δt= ρ ΔV

Comparando la situación inicial en el instante t y la situación final en el instante t+Δt. Observamos que el elemento Δm incrementa su altura, desde la altura y₁ a la altura y ₂

La variación de energía potencial es

ΔE_p=Δm·gy₂-Δm·gy₁=ρ ΔV·(y₂-y₁)g

El elemento Δm cambia su velocidad de v₁ a v₂,

La variación de energía cinética es

$Δ E_{k} = \frac{1}{2} Δ m v_{2}^{2} - \frac{1}{2} Δ m v_{1}^{2} = \frac{1}{2} ρ Δ V (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$

El resto del fluido ejerce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior y sobre su cara posterior F₁=p₁S₁ y F₂=p₂S₂.

La fuerza F₁ se desplaza Δx₁=v₁Δt. La fuerza y el desplazamiento son del mismo signo

La fuerza F₂ se desplaza Δx₂=v₂Δt. La fuerza y el desplazamiento son de signos contrarios.

El trabajo de las fuerzas exteriores es W_ext=F₁ Δx₁- F₂ Δx₂=(p₁-p₂) ΔV

El teorema del trabajo-energía nos dice que el trabajo de las fuerzas exteriores que actúan sobre un sistema de partículas modifica la energía del sistema de partículas, es decir, la suma de las variaciones de la energía cinética y la energía potencial del sistema de partículas

W_ext=E_f-E_i=(E_k+E_p)_f-(E_k+E_p)_i=ΔE_k+ΔE_p

Simplificando el término ΔV y reordenando los términos obtenemos la ecuación de Bernoulli

$p_{1} + ρ g y_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + ρ g y_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$

Efecto Venturi

Cuando el desnivel es cero, la tubería es horizontal. Tenemos entonces, el denominado tubo de Venturi, cuya aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería.

La ecuación de continuidad se escribe

v₁S₁=v₂S₂

Que nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es mayor que la velocidad del fluido en el tramo que tiene mayor sección. Si S₁>S₂, se concluye que v₁<v₂.

La en la ecuación de Bernoulli con y₁=y₂

$p_{1} + \frac{1}{2} ρ v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} ρ v_{2}^{2}$

Como la velocidad en el tramo de menor sección es mayor, la presión en dicho tramo es menor.

Si v₁<v₂ se concluye que p₁>p₂ El líquido manométrico desciende por el lado izquierdo y asciende por el derecho

Podemos obtener las velocidades v₁ y v₂ en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p₁-p₂ en el manómetro.

$v_{2} = S_{1} \sqrt{\frac{2 (p_{1} - p_{2})}{ρ (S_{1}^{2} - S_{2}^{2})}}$

Ejemplo:

Determinar la velocidad del agua en ambos tramos de la tubería, sabiendo que:

Radio del tramo izquierdo de la tubería, 20 cm.
Radio del tramo derecho de la tubería, 5 cm.
Medida de la diferencia de presión, 1275 Pa.

Los datos son:

S₁=π (0.2)²m², S₂=π (0.05)² m², ρ =1000 kg/m³, y p₁-p₂=1275 Pa.

Empleando la expresión anterior, obtenemos el valor de v₂=1.6 m/s. Calculamos v₁ a partir de la ecuación de continuidad (v₁S₁=v₂S₂) obteniendo v₁=0.1 m/s ó 10 cm/s.

Podemos comprobarlo en el programa interactivo introduciendo los siguientes datos:

Radio del tramo izquierdo de la tubería, 20 cm.
Velocidad del fluido en el tramo izquierdo, 10 cm/s
Diferencia de alturas entre los dos tramos, 0

Actividades

Se introduce

El radio del tramo izquierdo de la tubería, actuando en la barra de desplazamiento titulada Radio.
El radio del tramo derecho está fijado en 5 cm.
El valor de la velocidad del tramo izquierdo, actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad.
El desnivel, (un número positivo, nulo o negativo) o diferencia de alturas entre los dos tramos, en el control de edición titulado Desnivel.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El valor de la velocidad en el tramo derecho se obtiene aplicando la ecuación de continuidad. Si el radio del tramo izquierdo es el doble que el radio del tramo derecho, la velocidad en el tramo derecho es cuatro veces mayor que en el izquierdo, es decir, mientras que la sección anterior S₁ del elemento de fluido se desplaza10 cm, la sección posterior S₂ se desplaza 40.

A continuación, nos fijaremos en los cambios energéticos.

A medida que el elemento de fluido (coloreado de amarillo) se mueve hacia la derecha su energía cambia. En la parte inferior izquierda del applet, se muestra la variación de energía cinética, de energía potencial y el trabajo de las fuerzas exteriores (que ejerce el resto del fluido sobre el elemento de fluido considerado). Las fuerzas exteriores se señalan mediante flechas. Como podemos comprobar la suma de las variaciones de energía cinética y potencial nos da el trabajo de las fuerzas exteriores.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Grubelnik V., Marhl M., Drop formation in a falling stream of liquid. Am. J. Phys. 73 (5) May 2005, pp. 415-419