Dinámica de un sistema de partículas

El centro de masa.

El Sistema de Referencia del Centro de Masa (sistema-C) es especialmente útil para describir las colisiones comparado con el Sistema de Referencia del Laboratorio (sistema-L) tal como veremos en próximas páginas.

Movimiento del Centro de Masas

En la figura, tenemos dos partículas de masas m₁ y m₂, como m₁ es mayor que m₂, la posición del centro de masas del sistema de dos partículas estará cerca de la masa mayor.

$x_{c m} = \frac{m_{1} x_{1} + m_{2} x_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

En general, la posición r_cm del centro de masa de un sistema de N partículas es

$r_{c m} = \frac{\sum_{1}^{N} m_{i} r_{i}}{\sum_{1}^{N} m_{i}}$

La velocidad del centro de masas v_cm se obtiene derivando con respecto del tiempo

$v_{c m} = \frac{\sum_{1}^{N} m_{i} v_{i}}{\sum_{1}^{N} m_{i}} = \frac{P}{M}$

En el numerador figura el momento lineal total y en el denominador la masa total del sistema de partículas.

De la dinámica de un sistema de partículas tenemos que

$\frac{d P}{d t} = F_{e x t} M \frac{d v_{c m}}{d t} = F_{e x t}$

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la fuerza externa aplicada al sistema.

En un sistema aislado F_ext=0 el centro de masas se mueve con velocidad constante v_cm=cte.

El Sistema de Referencia del Centro de Masas

Para un sistema de dos partículas

$v_{c m} = \frac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}$

La velocidad de la partícula 1 respecto del centro de masas es

$v_{1 c m} = v_{1} - v_{c m} = \frac{m_{2} (v_{1} - v_{2})}{m_{1} + m_{2}}$

La velocidad de la partícula 2 respecto del centro de masas es

$v_{2 c m} = v_{2} - v_{c m} = - \frac{m_{1} (v_{1} - v_{2})}{m_{1} + m_{2}}$

En el sistema-C, las dos partículas se mueven en direcciones opuestas.

Momento lineal

Podemos comprobar fácilmente que el momento lineal de la partícula 1 respecto al sistema-C es igual y opuesto al momento lineal de la partícula 2 respecto del sistema-C

p_1cm=m₁v_1cm
p_2cm=m₂v_2cm
p_1cm=-p_2cm

Energía cinética

La relación entre las energías cinéticas medidas en el sistema-L y en el sistema-C es fácil de obtener

$E_{k} = E_{k c m} + \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) v_{c m}^{2}$

El primer término, es la energía cinética relativa al centro de masas. El segundo término, es la energía cinética de una partícula cuya masa sea igual a la del sistema moviéndose con la velocidad del centro de masa. A este último término, se le denomina energía cinética de traslación del sistema.

En un sistema de partículas podemos separar el movimiento del sistema en dos partes:

el movimiento de traslación con la velocidad del centro de masa
el movimiento interno relativo al centro de masas.

En las siguientes páginas, mostraremos la importancia de centro de masas en la descripción del movimiento de un sistema de dos partículas que interactúan a través de un muelle elástico.

Energía de un sistema de partículas

Supongamos que la partícula de masa m₁ se desplaza dr₁, y que la partícula de masa m₂ se desplaza dr₂, como consecuencia de las fuerzas que actúan sobre cada una de las partículas.

El trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la primera partícula es igual al producto escalar

(F₁+F₁₂)·dr₁

Del mismo modo, el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m₂ será

(F₂+F₂₁)·dr₂

Teniendo en cuenta que el trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula modifica la energía cinética de la partícula, es decir, la diferencia entre la energía cinética final y la inicial.

$\begin{array}{l} \int (F_{1} + F_{12}) \cdot d r_{1} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} \\ \int (F_{2} + F_{21}) \cdot d r_{2} = \frac{1}{2} m_{2} v_{2 f}^{2} - \frac{1}{2} m_{2} v_{2 i}^{2} \end{array}$

Sumando miembro a miembro, podemos escribir el trabajo como suma del trabajo de las fuerzas exteriores más el trabajo de las fuerza interiores o de interacción mutua. Se tiene en cuenta que las fuerzas interiores F₁₂=-F₂₁ son iguales y de sentido contrario

$\int F_{1} \cdot d r_{1} + \int F_{2} \cdot d r_{2} + \int F_{12} (d r_{1} - d r_{2}) = {(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2})}_{f} - {(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2})}_{i}$

Las fuerzas interiores F₁₂ y F₂₁ realizan trabajo siempre que haya un desplazamiento relativo de la partícula 1 respecto de la 2, ya que dr₁-dr₂=d(r₁-r₂)=dr₁₂

Normalmente, la fuerza F₁₂ es conservativa (es de tipo gravitatorio, eléctrico, muelle elástico, etc.) El trabajo de una fuerza conservativa es igual a la diferencia entre la energía potencial inicial y final.

$\int F_{12} \cdot d r_{12} = {(E_{p})}_{i} - {(E_{p})}_{f}$

Denominando trabajo de las fuerzas exteriores a la suma

$W_{e x t} = \int F_{1} \cdot d r_{1} + \int F_{2} \cdot d r_{2}$

Tendremos

$W_{e x t} = {(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + E_{p})}_{f} - {(\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + E_{p})}_{i}$

Entre paréntesis tenemos una cantidad que es la suma de la energía cinética de las dos partículas que forman el sistema y de la energía potencial que describe la interacción entre las dos partículas. A esta cantidad la denominamos energía U del sistema de partículas.

W_ext=U_f-U_i

El trabajo de las fuerzas exteriores es igual a la diferencia entre la energía del sistema de partículas en el estado final y la energía del sistema de partículas en el estado inicial.

Para un sistema de dos partículas, hay una sola interacción de la partícula 1 con la 2 descrita por la fuerza interna conservativa F₁₂ o por la energía potencial E_p12. La energía del sistema U se escribe

$U = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + E_{p 12}$

Para un sistema formado por tres partículas hay tres interacciones, de la partícula 1 con la 2, la 1 con la 3 y la 2 con la 3, descritas por las fuerzas internas conservativas F₁₂, F₂₃, F₁₃ o por sus correspondientes energías potenciales. La energía del sistema es

$U = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + \frac{1}{2} m_{3} v_{3}^{2} + E_{p 12} + E_{p 13} + E_{p 23}$

Sistema aislado

Para un sistema aislado, F_ext=0, el trabajo W_ext de las fuerzas exteriores es cero, la energía U del sistema de partículas se mantiene constante. Para un sistema de dos partículas cuya interacción mutua está descrita por la energía potencial E_p12.

$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + E_{p 12} = cte$

La fuerza exterior F_extes conservativa

El trabajo de la fuerza exterior es igual a la diferencia entre de energía potencial inicial y la final

W_ext=E_pi-E_pf

Tenemos por tanto que U_i+E_pi=U_f+E_pf=cte

Para un sistema de dos partículas bajo la acción de la fuerza conservativa peso, la conservación de la energía se escribirá

$\frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} + E_{p 12} + m_{1} g x_{1} + m_{2} g x_{2} = cte$