Longitud de una elipse.

Una elipse está caracterizada por su semieje mayor a y su semieje menor b.

La ecuación de una elipse es

$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

La longitud de un pequeño arco de una curva es,

$\sqrt{d x^{2} + d y^{2}} = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x$

La longitud del perímetro de la elipse es cuatro veces la longitud de la parte de la elipse comprendida en un cuadrante.

$L = \oint \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x = 4 \int_{0}^{a} \sqrt{1 + \frac{b^{2} x^{2}}{a^{2} (a^{2} - x^{2})}} d x = \frac{4}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{\frac{a^{4} - a^{2} x^{2} + b^{2} x^{2}}{(a^{2} - x^{2})}} d x$

Haciendo el cambio de variable x=asenθ, dx=acosθ·dθ

$L = \frac{4}{a} \int_{0}^{π / 2} \sqrt{a^{4} - a^{2} (a^{2} - b^{2}) \sin^{2} θ} d θ = 4 a \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} \sin^{2} θ} d θ$

Donde e se denomina excentricidad de la elipse. A esta integral se la denomina integral elíptica completa de segunda especie.

$e = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a} = \frac{c}{a}$

c es la semidistancia focal

Una fórmula aproximada de la longitud de la elipse es

$L \approx π (3 (a + b) - \sqrt{(3 a + b) (a + 3 b)})$

En el programa interactivo, más abajo se introduce los valores de los semiejes a y b de la elipse y el programa nos proporciona la longitud L de la elipse.

Actividades

Se introduce

El semieje mayor a de la elipse, actuando en la barra de desplazamiento titulada Semieje mayor a.
El semieje menor a de la elipse, actuando en la barra de desplazamiento titulada Semieje menor b.

Se pulsa el botón titulado Calcular

El semieje menor b tiene que ser menor o igual que el semieje mayor a, en caso contrario, el programa no prosigue.

Comparar el resultado obtenido mediante este programa que emplea una rutina que calcula la integral elíptica completa de segunda especie, con la fórmula aproximada mencionada al final del apartado..

ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Código

Calcular la longitud de una elipse de semiejes a y b

$L = 4 a \int_{0}^{π / 2} \sqrt{1 - e^{2} \sin^{2} θ} d θ e = \frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

//aplicación, longitud de la elipse
	double a=3.0;
	double b=2.0; 
	double e=Math.sqrt(a*a-b*b)/a;
	double longitud=4*a*Eliptica.segunda(Math.PI/2, e);
	System.out.println((double)Math.round(longitud*1000)/1000);