Velocidad de fase y velocidad de grupo

En un medio dispersivo las ondas de diferentes frecuencias se propagan con distinta velocidad. En un prisma de vidrio, las componentes del espectro visible (rojo, naranja, amarillo, verde, azul y violeta) se propagan con velocidad ligeramente distintas. Como consecuencia los ángulos de desviación de las distintas radiaciones que salen del prisma son ligeramente distintos y podemos apreciar los colores de la luz blanca.

Las ondas del sonido se propagan en el aire prácticamente con la misma velocidad. Si las notas de alta frecuencia se propagasen con distinta velocidad que las de baja frecuencia, alcanzarían nuestros oídos en diferentes instantes y la música interpretada por una orquesta no sería armoniosa.

Superposición de dos ondas armónicas.

Vamos a estudiar la superposición de dos ondas armónicas que se propagan a lo largo del eje X, hacia la derecha, con velocidades v₁= ω₁/k₁ y v₂= ω₂/k₂, respectivamente

Las ecuaciones de las ondas armónicas de la misma amplitud Ψ₀

Ψ₁=Ψ₀sink₁(x-v₁t)= Ψ₀sin(k₁x-ω₁t)

Ψ₂=Ψ₀sink₂(x-v₂t)= Ψ₀sin(k₂x-ω₂t)

ω es la frecuencia angular y k el número de onda.

$\begin{array}{l} Ψ_{1} + Ψ_{2} = 2 Ψ_{0} \sin \frac{1}{2} ((k_{1} + k_{2}) x - (ω_{1} + ω_{2}) t) \cos \frac{1}{2} ((k_{1} - k_{2}) x - (ω_{1} - ω_{2}) t) = \\ 2 Ψ_{0} \cos (k_{p} x - ω_{p} t) \sin (k_{m} x - ω_{m} t) \\ k_{m} = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2}) ω_{m} = \frac{1}{2} (ω_{1} + ω_{2}) k_{p} = \frac{1}{2} (k_{1} - k_{2}) ω_{p} = \frac{1}{2} (ω_{1} - ω_{2}) \end{array}$

Se puede interpretar como la propagación de una onda a lo largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v_m= ω_m/k_m. A esta velocidad se la denomina de fase.

La amplitud modulada o variable con el tiempo de la onda es

2Ψ₀cos(k_px-ω_pt)

la velocidad de propagación de la envolvente es v_g= ω_p/k_p y se denomina velocidad de grupo.

$v_{g} = \frac{ω_{1} - ω_{2}}{k_{1} - k_{2}} = \frac{Δ ω}{Δ k}$

Para las ondas que se propagan en un medio particular, existe una relación entre la frecuencia angular ω y el número de onda k, conocida como relación de dispersión. Cuando el intervalo de frecuencias Δω centrado en ω_m es pequeño, podemos escribir

$v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{d (k v)}{d k} = v + k \frac{d v}{d k}$

La modulación o señal se propaga con una velocidad de grupo v_g que puede ser mayor, igual o menor que la velocidad de fase v_m.

En los medios no dispersivos la velocidad de propagación es independiente de la longitud de onda dv/dk=0, por ejemplo en el vacío.

En los medios dispersores ω=kv=kc/n, c es la velocidad de la luz en el vacío y n es el índice de refracción del medio

$v_{g} = \frac{d ω}{d k} = \frac{c}{n} - \frac{k c}{n^{2}} \frac{d n}{d k} = v (1 - \frac{k}{n} \frac{d n}{d k})$

En los medios ópticos el índice de refracción aumenta al disminuir la longitud de onda dn/dk>0, de modo que v_g<v.

Actividades

En el programa interactivo se compara la velocidad de fase y la velocidad de grupo resultado de la superposición de dos ondas armónicas de frecuencias ω₁ y ω₂ y números de onda, k₁ y k₂, respectivamente

$v_{m} = \frac{ω_{1} + ω_{2}}{k_{1} + k_{2}} v_{g} = \frac{ω_{1} - ω_{2}}{k_{1} - k_{2}} = \frac{Δ ω}{Δ k}$

Se selecciona el botón de radio titulado.

Fase. Las frecuencias angulares son iguales, ω₁ =ω₂, la velocidad de grupo es v_g=0

Fase+Grupo, las frecuencias angulares son distintas.

Grupo, es un caso especial en el que la velocidad de fase v_m=0, pero no es la de grupo v_g.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se dibuja en color verde la amplitud modulada y se observa la velocidad de grupo o aquella con la que viaja un pico o un valle.

Se observa la velocidad de fase de la onda a través del movimiento horizontal de un punto de color rojo.

Referencias

Hecht-Zajac. Optica. Addison- Wesley Iberoamericana (1986).págs. 214-218