

El prisma de vidrio
Índice de refracción de un prisma. Laboratorio de Física. E.U. Ingeniería Técnica de Minas y Obras Públicas (Barakaldo)
El prisma es un instrumento de gran importancia en la historia de la Óptica. Newton demostró con el prisma que la luz blanca es una mezcla de varios colores y que la refracción depende del color tal como se aprecia en la figura.
En el programa interactivo al final de la página, se elige un color (una frecuencia o longitud de onda) y se traza el camino seguido por el rayo de luz que atraviesa el prisma. Se mide el ángulo de desviación y se determina el índice de refracción del vidrio para el color elegido.
Geometría del prisma
En al figura, se muestra un prisma de ángulo α hecho de un vidrio que tiene un índice de refracción n. Un rayo de luz de color rojo incide sobre la cara izquierda del prisma. El ángulo que forma el rayo incidente con la normal es θi1. Aplicamos la ley de Snell para trazar el rayo refractado
sinθi1=n·sin θt1.
θt1 es el ángulo que forma el rayo refractado con la normal a la cara izquierda del prisma. El rayo se ha desviado (θi1- θt1)
El rayo refractado llega a la cara derecha del prisma formado un ángulo θi2 con la normal. Aplicamos la ley de Snell para obtener la dirección del rayo refractado
n·sinθi2=sin θt2.
El rayo se ha desviado (θt2- θi2)
El ángulo que forma la prolongación del rayo incidente con el rayo que sale del prisma se denomina ángulo de desviación.
δ=(θi1- θt1)+ (θt2- θi2)= θi1+ θt2-α
ya que α= θt1+ θi2
Escribimos el ángulo de desviación δ en términos del ángulo de incidencia θi1, del índice de refracción n, y del ángulo del prisma α. Después de hacer algunas operaciones llegamos a la expresión
En la figura, se representa el ángulo de desviación δ en función del ángulo de incidencia θi1.
Mínima desviación
El ángulo de desviación presenta un mínimo δm para un cierto valor del ángulo de incidencia θi1. El mínimo se calcula igualando la derivada de δ respecto de θi1, a cero
Derivando la expresión anterior obtenemos una expresión muy larga, difícil de simplificar. Vamos a calcular la desviación mínima de otra forma, tal como se describe en el libro citado en las referencias. Como
De la aplicación de la ley de Snell a ambas caras del prisma tenemos las siguientes relaciones:
sinθi1=n·sin θt1.
cosθi1·dθi1=n·cos θt1·dθt1
n·sinθi2=sin θt2.
n·cosθi2·dθi2=cos θt2·dθt2
Como α= θt1+ θi2
dθt1=- dθi2
Combinando estas expresiones, obtenemos
Finalmente, de la condición de mínimo
Aplicando la ley de Snell
Como n≠1, la relación anterior es cierta para θi1=θt2 por lo que θi2=θt1
Cuando la desviación δ es mínima, el rayo atraviesa el prisma horizontalmente, tal como se muestra en la figura.
Como α= θt1+ θi2 y δ=θi1+ θt2-α
Aplicando la ley de Snell
El ángulo de incidencia θi1 para el cual se produce la desviación mínima es
Midiendo el ángulo de desviación mínima δm obtenemos el índice de refracción de la sustancia transparente. Para medir el índice de refracción de líquidos o gases se construye un prisma hueco cuyos lados son vidrios planos-paralelos, el hueco se llena con el líquido o con el gas a presión.
Ejemplo:
- Medimos el ángulo de desviación δ para calcular el índice de refracción del prisma n.
- Angulo del prisma, α=60º
- Angulo de incidencia, θi1=40º
- Ángulo de desviación para la luz roja λ=640 nm, δ=39.44º
- Medimos el ángulo de desviación mínima δm para calcular el índice de refracción del prisma n.
- Angulo de incidencia, θi1=49º.
- Ángulo de desviación mínima, δm=37.98º
Cambiamos el ángulo de incidencia grado a grado hasta encontrar la desviación mínima.
Comprobamos que el programa interactivo proporciona un valor correcto de la desviación mínima
Calculamos el índice de refracción
Actividades
Se introduce
- El ángulo del prisma α, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo prisma.
- El ángulo incidente θi1, actuando en la barra de desplazamiento titulada Angulo incidente.
Se pulsa el botón titulado Nuevo
- Se selecciona la longitud de onda de la luz moviendo con el puntero del ratón el pequeño círculo de color negro situado al lado de la representación del espectro visible.
Fijamos la longitud de onda y cambiamos el ángulo de incidencia, hasta encontrar el valor de la desviación mínima. A partir de este dato, calculamos el índice de refracción.
Fijamos el ángulo de incidencia y medimos el ángulo de desviación δ1 para la primera longitud de onda λ1=380 nm y el ángulo de desviación δ2 para la última λ2=780 nm del espectro visible. De este modo, calculamos el ángulo δ1-δ2 que se aprecia en la segunda figura de esta página.
Nota: los índices de refracción del prisma para cada longitud de onda del espectro visible se calculan empleando un polinomio de grado tres que mejor ajusta a los datos que se dan en la tabla más abajo.
Mueva con el puntero del ratón el pequeño círculo de color negro a la izquierda del applet
Indice de refracción
El índice de refracción n no es constante, sino que depende de la longitud de onda o de la frecuencia de la luz con la que se ilumina el prisma.
Por ejemplo, el índice de refracción del vidrio denominado Borosilicate Crown para las longitudes de onda del espectro visible, se proporcionan en la siguiente tabla.
Color | Longitud de onda nm | Indice de refracción |
Rojo | 640 | 1.50917 |
Amarillo | 589 | 1.51124 |
Verde | 509 | 1.51534 |
Azul | 486 | 1.51690 |
Violeta | 434 | 1.52136 |
Fuente: hypertextbook.com/facts/2005/JustinChe.shtml (junio 2008)
Para calcular el índice de refracción para cualquier otra longitud de onda del espectro visible se ajusta los datos de la tabla mediante el procedimiento de los mínimos cuadrados a un polinomio de grado m.
En el siguiente programa interactivo, se representan los datos experimentales mediante puntos de color rojo.
Se introduce
- El grado del polinomio en el control de selección titulado Grado polinomio.
Se pulsa el botón titulado Calcula
Se representa el polinomio que mejor ajusta, en color azul.
Moviendo con el puntero del ratón el pequeño círculo de color negro situado en el eje horizontal, podemos obtener los valores del índice de refracción de la longitud de onda seleccionada.
Mueva con el puntero del ratón el pequeño círculo de color negro situado en el eje horizontal
Referencias
Hetch-Zajac. Optica. Addison-Wesley Iberoamericana (1986), págs. 138-139

