Movimiento de un pistón

El sistema biela-manivela de una máquina motriz (máquina de vapor, motor térmico) se compone de una biela AB cuyo extremo A llamado pie de biela, se desplaza a lo largo de una recta, mientras que el otro extremo B, llamado cabeza de biela, articulado en B con una manivela OB describe una circunferencia de radio OB. El pie de biela está articulado en una pieza denominada patín solidaria con el pistón que se desplaza entre dos guías. El pistón describe un movimiento oscilatorio que como vamos a ver no es armónico simple, aunque se puede aproximar bastante a éste.

Descripción del movimiento

Supongamos que la manivela tiene radio r, y la biela tiene una longitud l (l>2r). La manivela gira con velocidad angular constante ω, y el pistón oscila. La posición del pistón respecto del centro de la rueda es

$x_{e} = r \cdot \cos θ + \sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} θ} + d$

Si situamos el origen en la posición en la posición del pistón para θ=90º.

$x_{O} = \sqrt{l^{2} - r^{2}} + d$

Posición del pistón

$x = x_{e} - x_{O} = r \cdot \cos θ + \sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} θ} - \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

Si la manivela se mueve con velocidad angular ω constante, la posición del pistón en función del tiempo es

$x = r \cdot \cos (ω t) + \sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)} - \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

El valor máximo se obtiene para ωt=0, y vale

$x = r + l - \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

El valor mínimo se obtiene para ωt=π,

$x = - r + l - \sqrt{l^{2} - r^{2}}$

En la figura, se representa la posición x del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo)

x=r·sin(ω·t+π/2)=r·cos(ω·t)

El valor máximo se obtiene para ωt=0, y vale x=+r
El valor mínimo se obtiene para ωt=π, y vale x=-r

Velocidad

Derivando la posición x con respecto al tiempo obtenemos la velocidad

$v = \frac{d x}{d t} = - r ω \sin (ω t) (1 + \frac{r \cos (ω t)}{\sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)}})$

En la figura, se representa la velocidad v del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo)

v=-r·ω·sin(ω·t)

Aceleración

Derivando la velocidad v con respecto al tiempo obtenemos la aceleración

$\begin{array}{l} a = \frac{d v}{d t} = - r ω^{2} \cos (ω t) (1 + \frac{r \cos (ω t)}{\sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)}}) - \\ r ω \sin (ω t) (\frac{- r ω \sin (ω t) \sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)} + r \cos (ω t) \frac{r^{2} ω \cos (ω t) \sin (ω t)}{\sqrt{l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)}}}{l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)}) = \\ - r ω^{2} \cos (ω t) + \\ \frac{- r^{2} ω^{2} \cos^{2} (ω t) (l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)) + r^{2} ω^{2} \sin^{2} (ω t) (l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t)) - r^{4} ω^{2} \cos^{2} (ω t) \sin^{2} (ω t)}{{(l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t))}^{3 / 2}} \end{array}$

Simplificando se llega al resultado

$a = \frac{d v}{d t} = - r ω^{2} (cos (ω t) + \frac{r (l^{2} \cos (2 ω t) + r^{2} \sin^{4} (ω t))}{{(l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t))}^{3 / 2}})$

En la figura, se representa la aceleración a del pistón en función del tiempo (color azul) y el MAS (color rojo)

a=-r·ω²·cos(ω·t)

Aceleración nula, máxima velocidad

La velocidad es máxima cuando la aceleración es cero. Para calcular los ángulos ω·t para los cuales la aceleración es cero, hay que resolver la ecuación

$cos (ω t) {(l^{2} - r^{2} \sin^{2} (ω t))}^{3 / 2} = - r (l^{2} \cos (2 ω t) + r^{2} \sin^{4} (ω t))$

Las operaciones que hay que realizar son las siguientes

Se sustituye sin²(ωt)=1-cos²(ωt) y cos(2ωt)= cos²(ωt) - sin²(ωt) =2 cos²(ωt)-1

$cos (ω t) {(l^{2} - r^{2} + r^{2} {cos}^{2} (ω t))}^{3 / 2} = - r (2 (l^{2} - r^{2}) \cos^{2} (ω t) - (l^{2} - r^{2}) + r^{2} \cos^{4} (ω t))$

Se eleva al cuadrado ambos miembros

${cos}^{2} (ω t) {(l^{2} - r^{2} + r^{2} {cos}^{2} (ω t))}^{3} = r^{2} {(2 (l^{2} - r^{2}) \cos^{2} (ω t) - (l^{2} - r^{2}) + r^{2} \cos^{4} (ω t))}^{2}$

y después de realizar algunas operaciones algebraicas se llega a la ecuación

$r^{4} {cos}^{6} (ω t) + r^{2} (l^{2} - 3 r^{2}) {cos}^{4} (ω t) - (l^{2} - r^{2}) (l^{2} + 3 r^{2}) {cos}^{2} (ω t) + r^{2} (l^{2} - r^{2}) = 0$

Haciendo el cambio de variable z=cos²(ωt) se obtiene la ecuación cúbica

$z^{3} + \frac{(l^{2} - 3 r^{2})}{r^{2}} z^{2} - \frac{(l^{2} - r^{2}) (l^{2} + 3 r^{2})}{r^{4}} z + \frac{(l^{2} - r^{2})}{r^{2}} = 0$

Para calcular las raíces de la ecuación cúbica

z³+az²+bz+c=0

Calculamos los valores de Q y R dados por

$Q = \frac{a^{2} - 3 b}{9} = \frac{4}{9} l^{4} R = \frac{2 a^{3} - 9 a b + 27 c}{54} = \frac{11 l^{6} - 27 l^{4} r^{2}}{54 r^{6}}$

Si R²>Q³ tenemos una raíz real y dos complejas, en caso contrario, hay tres raíces reales. Supongamos que se cumple la primera condición. La condición R²>Q³ equivale a

27r⁴-33r²l²>5l⁴

Como r>l esta condición no se cumple

Como R²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales

$\begin{array}{l} θ = \arccos (\frac{R}{\sqrt{Q^{3}}}) = \arccos (\frac{11 l^{2} - 27 r^{2}}{16 l^{2}}) \\ z_{1} = - 2 \sqrt{Q} \cos (\frac{θ}{3}) - \frac{a}{3} = - \frac{4 l^{2}}{3 r^{2}} \cos (\frac{θ}{3}) - \frac{l^{2} - 3 r^{2}}{3 r^{2}} \\ z_{2} = - 2 \sqrt{Q} \cos (\frac{θ + 2 π}{3}) - \frac{a}{3} = - \frac{4 l^{2}}{3 r^{2}} \cos (\frac{θ + 2 π}{3}) - \frac{l^{2} - 3 r^{2}}{3 r^{2}} \\ z_{3} = - 2 \sqrt{Q} \cos (\frac{θ - 2 π}{3}) - \frac{a}{3} = - \frac{4 l^{2}}{3 r^{2}} \cos (\frac{θ - 2 π}{3}) - \frac{l^{2} - 3 r^{2}}{3 r^{2}} \end{array}$

Conocida las raíces de la ecuación cúbica z se calcula el ángulo ωt.

$ω t = \arccos \sqrt{z}$

De las tres raíces, una es negativa (no se puede hallar la raíz cuadrada), otra es mayor que la unidad (la raíz es también mayor que la unidad y no se puede calcular en arco coseno) y la tercera, la única válida, está comprendida entre 0 y 1.

La aceleración es nula en dos instantes

$\begin{array}{l} ω t_{1} = \arccos \sqrt{z_{3}} \\ ω t_{2} = 2 π - \arccos \sqrt{z_{3}} \end{array}$

Ejemplo:

Sea r=1.0 y l=2.0

R=5.037 Q=7.11

Comprobamos que R²<Q³ la ecuación cúbica tiene tres raíces reales

z₁=-5.172
z₂=4.028
z₃=0.1434

La velocidad es máxima (en módulo) o la aceleración es cero para

$\begin{array}{l} ω t_{1} = \arccos \sqrt{0.1434} = 1.81 rad = 67.7 º \\ ω t_{2} = 2 π - \arccos \sqrt{0.1434} = 5.10 rad = 292.3 º \end{array}$

Actividades

Se introduce

La longitud l de la biela, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud biela
El radio de la manivela se ha fijado en r=1 m
La velocidad angular de rotación se ha fijado en ω= 1rad/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos el movimiento del pistón y la representación gráfica de su posición en función del tiempo.

Se activa la casilla titulada Gráfica

Se selecciona un botón de radio

x, para representar la posición del pistón en función del tiempo compararla con el MAS x=r ·cos(ωt)
v, para representar la velocidad del pistón en función del tiempo compararla con el MAS v=-ωr·sen(ωt)
a, para representar la aceleración del pistón en función del tiempo compararla con el MAS a=-ω²r·cos (ωt)

Se pulsa el botón titulado Empieza

En estas dos últimas representaciones, se señala en el eje horizontal las posiciones angulares para las cuales la velocidad es máxima o la aceleración es cero.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Bacon R. H., The motion of a piston, Am. J. Phys. (10) 1942, pp. 145-147