• Inicio
• Métodos numéricos
• Raíces de una ecuación

Raíces de una ecuación cúbica

Algunas páginas del Curso Interactivo de Física describen situaciones físicas en las que es necesario obtener las raíces reales de una ecuación cúbica.

Descripción

El programa interactivo, calcula las raíces de la ecuación cúbica a partir de las fórmulas que aparecen en Numerical Recipes in C.

Dada la ecuación cúbica

x³+ax²+bx+c=0

Se calcula

${\displaystyle Q=\frac{a^2-3b}{9}R=\frac{2a^3-9ab+27c}{54}}$

 Si R²<Q³ entonces la ecuación tiene tres raíces reales

${\displaystyle \theta =\arccos \left(\frac{R}{\sqrt{Q^3}}\right)\{\begin{array}{l}{x}_1=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta }{3}\right)-\frac{a}{3}\\ x_2=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta +2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}\\ x_3=-2\sqrt{Q}\cos \left(\frac{\theta -2\pi }{3}\right)-\frac{a}{3}\end{array}}$

En caso contrario, R²≥Q³ tenemos una raíz real y dos complejas.

${\displaystyle \begin{array}{l}A=-\mathrm{sgn}(R){\left[\left|R\right|+\sqrt{R^2-Q^3}\right]}^{1/3}\\ B=\{\begin{array}{l}Q/AA\ne \text{0}\\ \text{0}A=\text{0}\end{array}\end{array}}$

La ríz real y las dos complejas conjugadas son:

${\displaystyle \{\begin{array}{l}{x}_1=(A+B)-\frac{a}{3}\\ x_2=-\frac{1}{2}(A+B)-\frac{a}{3}+i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B)\\ x_3=-\frac{1}{2}(A+B)-\frac{a}{3}-i\frac{\sqrt{3}}{2}(A-B)\end{array}}$

Referencias

Press W. H., Teukolsky S. A., Vetterling W. T., Flannery B. P. Numerical Recipes in C, Second edition, Special functions. Chapter 5, Evaluation of functions, 5.6. Quadratic and Cubic Equations.

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García