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Solución analítica

La ecuación del movimiento es

${\displaystyle \begin{array}{l}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-2k\left(1-\frac{l_0}{\sqrt{x^2+l_0^2}}\right)x\\ \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{2k}{m}x\left\{1-{\left(1+{\left(\frac{x}{l_0}\right)}^2\right)}^{-1/2}\right\}\end{array}}$

Cuando x<<l₀ la ecuación diferencial se aproxima a

${\displaystyle \frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{k}{m{l}_0^2}{x}^3=0}$

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la partícula parte de la posición x=A, con velocidad nula, v=dx/dt=0

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}·\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}\\ v\frac{dv}{dx}=-\frac{k}{m{l}_0^2}{x}^3\end{array}}$

Integramos esta ecuación diferencial

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{0}{\overset{v}{\int }}vdv}=-\frac{k}{m{l}_0^2}{\displaystyle \underset{A}{\overset{x}{\int }}{x}^{3}dx}\\ v=\sqrt{\frac{k}{2m{l}_0^2}(A^4-x^4)}\end{array}}$

es el módulo de la velocidad

Como la partícula parte de x=+A y se dirige hacia el origen la velocidad es negativa en el primer cuarto de periodo

${\displaystyle v=-\sqrt{\frac{k}{2m{l}_0^2}(A^4-x^4)}}$

Para obtener la posición x del oscilador en función del tiempo t tenemos que integrar nuevamente

${\displaystyle \begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-\sqrt{\frac{k}{2m{l}_0^2}(A^4-x^4)}\\ t=-\sqrt{\frac{2m{l}_0^2}{k}}{\displaystyle \underset{A}{\overset{x}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{A^4-x^4}}}\end{array}}$

Hacemos el cambio de variable

${\displaystyle x=A\sqrt{1-z^2}}$

La integral se transforma

${\displaystyle \begin{array}{l}t=\frac{1}{A}\sqrt{\frac{2m{l}_0^2}{k}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}\sqrt{2-z^2}}}\\ \frac{A}{l_0}\sqrt{\frac{k}{m}}t={\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{1-z^2}\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2{z}^2}}}\end{array}}$

La integral elíptica primera especie se define

${\displaystyle u=F(\varphi ,k)={\displaystyle \underset{0}{\overset{\varphi }{\int }}\frac{d\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}}}$

Se hace el cambio de variable z=sinφ,

${\displaystyle u={\displaystyle \underset{0}{\overset{z}{\int }}\frac{dz}{\sqrt{(1-z^2)(1-k^2{z}^2)}}}}$

se designa am u a la función inversa φ(u)

z=senφ=sin am u=sn u

Esta es la definición de la función elíptica sn.

Análogamente, escribiremos cos am u=cn u

Ambas funciones están relacionadas

sn² u+cn² u=1

En el caso que estamos analizando

${\displaystyle u=\frac{A}{l_0}\sqrt{\frac{k}{m}}tk=\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Conocido el valor de la variable auxiliar z=sn u, se despeja la posición x

${\displaystyle x=A\sqrt{1-{\text{sn}}^2}u=A·\text{cn}\left(\frac{A}{l_0}\sqrt{\frac{k}{m}}t\right)}$

Periodo del movimiento

El tiempo que tarda en describir un cuarto de periodo P es

${\displaystyle \frac{P}{4}=-\sqrt{\frac{2m{l}_0^2}{k}}{\displaystyle \underset{A}{\overset{0}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{A^4-x^4}}}}$

Haciendo el cambio de variable x=Acosφ

${\displaystyle \frac{P}{4}=\frac{l_0}{A}\sqrt{\frac{m}{k}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{\text{2}}{\sin }^2\varphi }}}}$

El último término es la integral elíptica completa de primera especie para $k=\sqrt{2}/2$  que denominamos $F\left(\sqrt{2}/2\right)$ Su valor aproximado es 1.8541. Véase tabla de integrales elípticas de primera especie (Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, pág. 72)

${\displaystyle P=4·F\left(\sqrt{2}/2\right)\frac{l_0}{A}\sqrt{\frac{m}{k}}\approx 7.4164\frac{l_0}{A}\sqrt{\frac{m}{k}}}$

En la figura, se muestra cómo el periodo P depende de la amplitud A

• La curva en color azul, la amplitud es A=0.15, el periodo es P=3.19 s

• La curva en color rojo, la amplitud es A=0.3, el periodo es P=6.38 s

Actividades

Se introduce

• El valor del cociente k/m actuando en la barra de desplazamiento titulada Cociente.

• La longitud del muelle sin deformar se ha fijado en el programa interactivo en el valor l₀=1

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Se desplaza con el puntero del ratón la partícula a una posición inicial A comprendida entre 0.1 y 0.4, de la que parte la partícula con velocidad inicial nula.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo calcula la posición x en función del tiempo t, mediante la función elíptica cn

LibresApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Mohazzabi P. Theory and examples of intrinsically nonlinear oscillators. Am. J. Phys. 72 (4) April 2004, pp. 492-498

Detcheva V., Spassov V., A simple nonlinear oscillator: analytical amd numerical solution.  Phys. Educ. 28 (1993) pp. 39-42

Puig Adam P., Curso teórico práctico de Cálculo Integral aplicado a la Física y Técnica. Editorial Biblioteca Matemática 1972, págs. 71-76

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García