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La curva catenaria

Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.

La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Formulación discreta

Sea una cadena de bolitas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N bolitas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada bolita estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

${\displaystyle \begin{array}{l}{T}_i\cos {\theta }_i=T_{i+1}\cos {\theta }_{i+1}\\ T_i\sin {\theta }_i-T_{i+1}\sin {\theta }_{i+1}=mg\end{array}}$

Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos T_x.

T_x=Tcosθ₀= Tcosθ_i= Tcosθ_i+1 =Tcosθ_N+1

Dividiendo la segunda ecuación por T_x tenemos la siguiente relación entre el ángulo θ _i y el ángulo θ _i+1

${\displaystyle \tan {\theta }_{i+1}=\tan {\theta }_i-\frac{mg}{T_x}}$

A la cantidad constante cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal T_x de la tensión del hilo, le denominaremos parámetro γ . La relación de recurrencia se escribe para cada bolita i=1... N.

tanθ₁=tanθ₀-γ
tanθ₂=tanθ₁-γ
tanθ₃=tanθ₂-γ
...............
tanθ_i=tanθ_i-1-γ
.............
tanθ_N-1=tanθ_N-2-γ
tanθ_N=tanθ_N-1-γ

Sumando miembro a miembro obtenemos el ángulo θ_N en función del ángulo inicial θ₀.

tanθ_N=tanθ₀-Nγ

Si los extremos del hilo están a la misma altura, por razón de simetría tendremos que

tanθ₀=- tanθ_N

Por tanto,

tanθ₀=Nγ /2

Sumando miembro a miembro la relación de recurrencia hasta el término i, obtenemos el ángulo θ_i en función del ángulo inicial θ₀.

tanθ_i=tanθ₀-γ i=(N-2i)·γ /2

El ángulo θ_i que forma el hilo con la horizontal en la posición de cada una de las bolitas, el ángulo inicial θ₀ y el final θ_N se calculan mediante la siguiente fórmula

${\displaystyle \tan {\theta }_i=\frac{N-2i}{2}\gamma i=\mathrm{0,}\mathrm{..}N}$

Las coordenadas (x_i, y_i) de la bolita i se obtendrán sumando las proyecciones d·cosθ _j y d·sinθ _j, j=0...i-1, sobre el eje X y sobre el eje Y respectivamente, siendo d la distancia entre dos bolitas consecutivas d=L/(N+1)

${\displaystyle x_i=\frac{L}{N+1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{i-1}\cos {\theta }_j}{y}_i=\frac{L}{N+1}{\displaystyle \sum _{j=0}^{i-1}\sin {\theta }_j}}$

Actividades

Para representar el estado de equilibrio de un hilo de longitud dada L, de masa despreciable en el que se han fijado N bolitas equidistantes, se introduce en el applet

• El número de bolitas, un número comprendido entre 3 y 20.
• El valor del parámetro γ , un número comprendido entre 0.5 y 2.0 que representa el cociente entre el peso de cada bolita mg y la componente horizontal T_x de la tensión del hilo.

Una vez introducidos los datos se pulsa el botón titulado Dibuja.

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Catenaria simétrica

Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea ρ la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

En la figura, se representa las fuerzas que actúan sobre una porción s de cable que tiene como extremo el punto más bajo A:

• el peso,
• la fuerza que ejerce la parte izquierda del cable sobre el extremo izquierdo A de dicho segmento,
• la fuerza que ejerce la parte derecha del cable sobre el extremo derecho P del segmento s.

La condición de equilibrio se escribe

Tcosθ =T₀
Tsinθ =ρ gs

O bien,

${\displaystyle \tan \theta =\frac{dy}{dx}=\frac{\rho gs}{T_0}}$

Derivando con respecto de x, y teniendo en cuenta que la longitud del arco diferencial ds²=dx²+dy²

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\rho g}{T_0}\frac{ds}{dx}\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\rho g}{T_0}\sqrt{\text{1}+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}}$                   (1)

Integrando esta ecuación, teniendo en cuenta que para x=a/2, (en el punto más bajo A de la curva) dy/dx=0.

${\displaystyle \begin{array}{l}{\displaystyle \underset{A}{\overset{P}{\int }}\frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}}={\displaystyle \underset{a/2}{\overset{x}{\int }}\frac{\rho g}{T_0}dx}v=\frac{dy}{dx}\\ \arg \text{sinh(}v\text{)}=\frac{\rho g}{2T_0}(2x-a)v=\frac{dy}{dx}=\text{sinh}\left(\frac{\rho g}{2T_0}(2x-a)\right)\end{array}}$

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

${\displaystyle y+h=\frac{T_0}{\rho g}\text{cosh}\left(\frac{\rho g}{2T_0}(2x-a)\right)-\frac{T_0}{\rho g}}$

Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

${\displaystyle h=\frac{T_0}{\rho g}\text{cosh}\left(\frac{\rho ga}{2T_0}\right)-\frac{T_0}{\rho g}}$

La ecuación de la catenaria es, finalmente

${\displaystyle y=\frac{T_0}{\rho g}\left[\text{cosh}\left(\frac{\rho g}{2T_0}(2x-a)\right)-\text{cosh}\left(\frac{\rho ga}{2T_0}\right)\right]}$                     (2)

La longitud de la catenaria es

${\displaystyle \begin{array}{l}L={\displaystyle \int ds={\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx=}}{\displaystyle \underset{0}{\overset{a}{\int }}\text{cosh}\left(\frac{\rho g}{2T_0}(2x-a)\right)}dx\\ L=\frac{2T_0}{\rho g}\text{sinh}\left(\frac{\rho ga}{2T_0}\right)\end{array}}$                      (3)

Las figuras, son una superposición de las imágenes generadas por los dos applets de esta página que muestran como la aproximación discreta y continua coinciden cuando el parámetro γ  es grande y difieren cuando γ  es pequeño. El parámetro  γ=mg/T_x  es el cociente entre el peso de cada bolita y la componente horizontal de la tensión del hilo, que es la misma en cada una de las bolitas.

Ejemplo

 

En la figura, se muestra una catenaria simétrica de longitud L, cuya "luz" es a y la "flecha" h. Para dibujar la catenaria

1. Se resuelve la ecuación trascendente, calculando el valor de γ

${\displaystyle L=\frac{1}{\gamma }\cosh (\gamma a)\gamma =\frac{\rho g}{2T_0}}$

2. Se representa la catenaria

${\displaystyle y=\frac{1}{2\gamma }\left(\cosh \left(\gamma (2x-a)\right)-\cosh (\gamma a)\right)}$

3. Se calcula el mínimo o la "flecha" h

${\displaystyle h=\frac{1}{2\gamma }\left(\cosh (\gamma a)-1\right)}$

Sea la longitud del cable L=1.0, y la "luz" a=0.5. Resolvemos por cualquier procedimiento numérico la ecuación trascendente, cuya solución es γ =4.354, y a continuación calculamos h=0.4

Si cambiamos la "luz" a=0.8, obtenemos γ =1.478, y h=0.27

Actividades

Se introduce

La "luz" a, actuando en la barra de desplazamiento titulada Posición

Se pulsa el botón titulado Dibuja

• Se calcula el parámetro γ, resolviendo la ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio.
• Se representa la catenaria simétrica
• Se calcula la "flecha" h, y se proporciona su valor

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Referencias

Beléndez, A., Beléndez, T. Neipp C. Estudio estático de un cable homogéneo bajo la acción de su propio peso: Catenaria. Revista Española de Física 15(4) 2001, págs. 38-42

Adler, C. Catenaries on the Computer: A Freshman Physics Assignment. The Physics Teacher, Vol 37, April 1999, pp. 254-255

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García