Alcance máximo en un plano inclinado

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Cinemática

Movimiento curvilíneo
Magnitudes cinemáticas
Tiro parabólico
Composición de
movimientos
Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo
Bombardear un blanco
móvil desde un avión
Tiros frontales 
a canasta
Alcance máximo en el
plano horizontal
marca.gif (847 bytes)Alcance máximo en el
  plano inclinado
Otros máximos
Disparo de un proyectil
contra un blanco móvil
Barro que se desprende
de una rueda
Tiro parabólico y
movimiento circular
Torpedo a la caza de
un submarino

Alcance

Velocidad inicial y velocidad final

Ejemplo

Actividades

Referencias

 

Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están  en una superficie horizontal.

En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil cuando el blanco está sobre un plano inclinado, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo.

Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.

 

Alcance

Se dispara un proyectil desde el origen con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal, el punto de impacto está situado en un  plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.

Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son:

vx=v0·cosθ
vy=v0·
senθ-g·t

La posición en función del tiempo es

x= v0·cosθ·t
y= v0·
senθ·t-g·t2/2

Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil.

Como las coordenadas x e y del punto de impacto están relacionadas por y=x·tanα, despejamos el tiempo de vuelo t, de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria

El alcance R medido a lo largo del plano inclinado es

Cambio de Sistema de Referencia

Analizamos el movimiento del proyectil en un Sistema de Referencia en el que el eje X es paralelo al plano inclinado y el eje Y es perpendicular al mismo.

La aceleración de la gravedad g está dirigida verticalmente hacia abajo. Las componentes de la aceleración de la gravedad g y de la velocidad inicial v0 se muestran en la figura. Las ecuaciones del movimiento del proyectil son

x=v0·cos(θ-α)·t-g·senα·t2/2
y=v0
·sen(θ-α)·t-g·cosα·t2/2

El tiempo de vuelo se determina poniendo y=0, y despejando el tiempo t.

Sustituimos el valor de t en la primera ecuación

En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ, para θ>α

Alcance máximo

Derivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.

El ángulo θ para el cual el alcance R es máximo vale

El alcance máximo sin cálculo de derivadas

Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente:

Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)

Las coordenadas x0 e y0 del punto de impacto están relacionadas y0=x0·tanα, llegamos a la siguiente ecuación de segundo grado en tanθ.

Las raíces de la ecuación de segundo grado son

Tenemos dos ángulos de tiro θ1 y el ángulo θ2 que dan lugar al mismo alcance R<Rm, tal como apreciamos en la figura.

Empleamos las propiedades de las raíces de la ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0

Haciendo algunas operaciones, relacionamos el ángulo θ1 y el ángulo θ2.

Cuando el alcance tiende hacia el valor máximo, los dos ángulos de tiro θ1 y θ2 se hacen cada vez más próximos hasta que coinciden. Las dos raíces son iguales θm=θ1=θ2.

Sustituyendo θm por α/2+π/4 en la expresión del alcance R al principio de la página

Otro modo de obtener el alcance máximo es el siguiente: el discriminante de la ecuación de segundo grado en tanθ, se hace cero, cuando la raíz es doble. Por tanto,

Despejamos Rm y sustituimos θm por α/2+π/4, obtenemos después de realizar algunas operaciones la misma expresión para Rm.

El tiempo de vuelo del proyectil para el ángulo θm vale

Simplificamos esta expresión hasta llegar a

 

Velocidad final y velocidad inicial

El ángulo que forma la velocidad final con el eje X es

Para el ángulo de disparo θm=π/4+α/2

El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares.

 

Ejemplo

  • La velocidad de disparo v0=60 m/s

  • La pendiente del plano inclinado α=20º

  • El ángulo de disparo θ1=60º

El alcance vale

El tiempo de vuelo vale

  • El ángulo de disparo θ1=50º

El alcance vale

El tiempo de vuelo vale

  • El ángulo para el cual el alcance es máximo (véase la última figura) es

El alcance para este ángulo vale

El tiempo de vuelo es

  • Ángulos de tiro que producen el mismo alcance R=200 m.

Podemos calcular los dos ángulos de tiro que producen el mismo alcance R<Rm, por ejemplo un alcance de R=200 m. Calculamos las raíces de la ecuación de segundo grado en tanθ

x0=R·cosα, x0=200·cos20º=187.9 m

θ1=37.7º, θ2=72.3º,  Como vemos θ12=90+20=110º, y θ1m2

 

Actividades

Se introduce

  • El ángulo α del plano inclinado, actuando en la barra de desplazamiento titulada Plano inclinado. El ángulo puede ser positivo o negativo

  • El ángulo de tiro θ, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo, o bien, introduciendo el valor del ángulo en el control de edición.

  • La velocidad de disparo se ha fijado en el valor v0=60 m/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al plano inclinado. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:

  • tiempo t,

  • las componentes de la velocidad vx y vy,

  • la posición x, e y. El alcance R se calcula mediante

El programa interactivo representa, la trayectoria del proyectil actual y la trayectoria anterior. Fijada el ángulo del plano inclinado, vamos cambiando el ángulo de tiro θ. Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.

 

CinemaApplet2 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Buckmaster H. A., Ideal ballistic trajectories revisited. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 638-641.