Cinemática

Movimiento curvilíneo

Magnitudes cinemáticas

Tiro parabólico

Composición de
movimientos

Apuntar un cañón para
dar en un blanco fijo

Bombardear un blanco
móvil desde un avión

Tiros frontales 
a canasta

Alcance máximo en el
plano horizontal

Alcance máximo en el
plano inclinado

Otros máximos

Disparo de un proyectil
contra un blanco móvil

Barro que se desprende
  de una rueda

Tiro parabólico y
movimiento circular

Torpedo a la caza de
un submarino

Posición y velocidad en el instante t

Referencias

Una rueda de radio R se mueve con velocidad constante v₀ a lo largo de un plano horizontal, un trozo de barro situado en su borde se desprende. Determinar la altura máxima que alcanza.

En la figura, observamos la trayectoria de este cuerpo, desde la posición de desprendimiento hasta que llega al suelo.

Este problema es interesante, ya que la altura máxima que alcanza el cuerpo depende del ángulo, siempre que su valor sea mayor que un valor crítico.

Velocidad inicial del cuerpo

Como estudiaremos con más detalle en el capítulo Sólido rígido. El movimiento de rodar sin deslizar es la composición de dos movimientos:

• Movimiento de traslación del centro de masas con velocidad v₀

• Movimiento de rotación con velocidad angular ω alrededor de un eje perpendicular a la rueda y que pasa por el c.m.

El punto de contacto de la rueda con el suelo está en reposo, su velocidad es cero. La relación entre la velocidad de traslación del c.m. v₀ y de rotación ω alrededor del eje que pasa por el c.m. es v₀=ω·R

Para describir el movimiento del trozo de barro que se desprende del borde de la rueda establecemos un sistema de referencia de modo que en el instante inicial la posición de dicho cuerpo es x=0, y=0.

Posición y velocidad del cuerpo en el instante t₀

Al cabo de un cierto tiempo t=t₀, el cuerpo se ha trasladado v₀·t₀ y ha girado un ángulo φ=ω·t₀. Su posición en el instante en el que desprende de la rueda es

x₀=v₀·t₀-R·senφ
y₀=R-R·cosφ

Las componentes de la velocidad inicial del cuerpo son

v_0x=v₀-v₀·cosφ
v_0y= v₀·senφ

El módulo y la dirección de la velocidad inicial son, respectivamente

Ejemplo:

• Cuando φ=0, v=0

• Cuando φ=π/2, , θ=π/4

• Cuando φ=π, v=2v₀, θ=0

Actividades

El programa interactivo calcula la velocidad de lanzamiento v y su dirección θ del trozo de barro desprendido en la posición angular φ, dada,

Se introduce

• La posición angular φ en grados, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ángulo. Los ángulos se miden en sentido de las agujas del reloj, que es el sentido del movimiento de rotación de la rueda.

• El radio de la rueda se ha fijado en R=1 m

• La velocidad del c.m. de la rueda se ha fijado en v₀=1 m/s

Se pulsa el botón titulado Calcula

En el disco de la izquierda:

• la flecha de color azul representa la velocidad de traslación del centro de masa, v₀.

• la flecha de color rojo representa la velocidad de rotación alrededor de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro v₀=ωR.

En el disco de la derecha, una flecha de color negro representa el vector resultante, suma vectorial de ambas velocidades.

En la parte superior del applet, se proporciona el dato de la velocidad resultante v proporcional a v₀ y su dirección θ, o ángulo que forma con el eje horizontal X.

Posición y velocidad en el instante t

Las componentes de la velocidad del cuerpo en el instante t son

v_x=v₀-v₀·cosφ
v_y= v₀·senφ-g(t-t₀)

La posición del cuerpo en el instante t es

x=x₀+v_0x·(t-t₀)=v₀·t₀-R·senφ+ v₀(1-cosφ) ·(t-t₀)
y=y₀+v_0y·(t-t₀)-g(t-t₀)²/2=R-R·cosφ+v₀·senφ·(t-t₀)-g(t-t₀)²/2

Alcance y altura máxima

El cuerpo llega al suelo cuando y=0.

Una vez calculado (t-t₀) se obtiene el alcance horizontal x_m

x_m= v₀·t₀-R·senφ+ v₀(1-cosφ) ·(t-t₀)

La altura máxima se alcanza cuando v_y=0

Para que este cociente sea positivo, el ángulo φ debe estar en el intervalo 0<φ<π. El cuerpo se lanza hacia arriba si el ángulo φ está en este intervalo

La altura y_m también se puede calcular aplicando el principio de conservación de la energía.

En la posición de lanzamiento y₀=R-Rcosφ las componentes de la velocidad del cuerpo son

v_0x=v₀-v₀·cosφ
v_0y= v₀·senφ

La energía del cuerpo de masa m es

En la posición de máxima altura y_m la componente v_y=0 de la velocidad, la componente v_x no cambia. La energía E_f es

Aplicamos el principio de conservación de la energía E_i=E_f y despejamos y_m obteniendo el mismo resultado.

Máximo valor de la altura máxima

En la figura, se representa la altura máxima y_m que alcanza el trozo de barro en función del ángulo φ cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v₀= 2 m/s. El radio de la rueda se ha fijado en R=1 m. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ=π=180º

Cuando la velocidad de traslación de la rueda es de v₀= 5 m/s. El valor máximo de la altura máxima se alcanza cuando φ<π.

Calculamos el ángulo φ para el cual y_m presenta un máximo

Esta ecuación tiene dos soluciones

• La primera solución, se obtiene haciendo senφ=0, φ=π, por lo que y_m=2R

• La segunda solución, se obtiene haciendo

Para que el coseno sea menor que la unidad, en valor absoluto, se tiene que cumplir que

Para que el coseno sea negativo, y al la vez que la trayectoria sea hacia arriba implica que el ángulo φ debe de estar en el intervalo π/2<φ<π.

La máxima altura y_m alcanzada por el cuerpo que se desprende de esta posición es

Ejemplo:

• Se ha fijado el radio de la rueda en R =1 m

• Si v₀=2 m/s

• Si el trozo de barro se desprende cuando φ=π/2, el instante t₀ en el que se alcanza esta posición es t₀=φ·R/v₀=π/4=0.79 s

Calculamos la altura máxima y_m

Para v₀=5 m/s se cumple que 5²>1·9.8

El ángulo φ que hace que la altura y_m sea la máxima posible, véase la figura más arriba, es

El instante t₀ en el que se alcanza esta posición es t₀=φ·R/v₀=1.97/5=0.39 s

Actividades

Se introduce

• La velocidad v₀, del c.m. de la rueda actuando en la barra de desplazamiento titulada Velocidad.

• El radio R de la rueda se ha fijado en R=1 m

Se pulsa el botón titulado Empieza

Cuando queremos que el trozo de barro se desprenda en una posición angular φ dada, o en un instante t₀. Se pulsa el botón titulado Pausa y a continuación, varias veces el botón titulado Paso hasta que veamos en la parte superior izquierda del applet que el contador de tiempo marque el instante deseado.

Pulsamos el botón titulado Desprende

Pulsamos el botón titulado Continua para observar la trayectoria, o bien, pulsamos varias veces el botón titulado Paso para acercarnos al instante en el que el cuerpo alcanza la máxima altura (la componente Y de su velocidad v_y=0). Anotamos la máxima altura y_m y la comparamos con los cálculos realizados a mano.