Cinemática |
Movimiento curvilíneo Magnitudes cinemáticas Tiro parabólico Composición de movimientos Apuntar un cañón para dar en un blanco fijo Bombardear un blanco móvil desde un avión Tiros frontales a canasta
Alcance máximo en el plano inclinado Otros máximos Disparo de un proyectil contra un blanco móvil Barro que se desprende de una rueda Tiro parabólico y movimiento circular Torpedo a la caza de un submarino |
 Se dispara un proyectil desde una cierta
altura sobre el suelo
|
|
|
Hemos demostrado que el alcance máximo se obtiene para el ángulo de tiro de 45º, cuando el cañón y el blanco están en una superficie horizontal. En esta página, vamos a estudiar el movimiento de un proyectil que se dispara desde una altura h sobre una superficie horizontal, y a calcular el ángulo de tiro para el cual el alcance es máximo. Este ejemplo, nos permiten estudiar en detalle la trayectoria parabólica y practicar con funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Se dispara un proyectil desde una cierta altura sobre el sueloSe dispara un proyectil desde una altura h sobre un plano horizontal con velocidad inicial v0, haciendo un ángulo θ con la horizontal. Para describir el movimiento establecemos un sistema de referencia como se indica en la figura.
Las componentes de la velocidad del proyectil en función del tiempo son: vx=v0·cosθ La posición del proyectil en función del tiempo es x= v0·cosθ·t Estas son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, ya que dado el tiempo t, se obtiene la posición x e y del proyectil. El tiempo de vuelo T se obtiene poniendo y=0 en la segunda ecuación y despejando el tiempo t.
El proyectil llega al punto de impacto en el instante t=T. Sustituyendo t en la primera ecuación obtenemos el alcance, o distancia horizontal entre el origen y el punto de impacto, R.
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo de tiro θ.
La componente vy de la velocidad cuando el cuerpo llega al suelo es
La velocidad final vf del proyectil cuando llega al suelo y el ángulo que forma con la horizontal (véase la primera figura) es
El módulo de la velocidad final vf se puede calcular también, aplicando el principio de conservación de la energía.
Alcance máximoDerivando R con respecto del ángulo de tiro θ e igualando a cero obtenemos el ángulo de tiro θm para el cual el alcance es máximo.
Elevamos al cuadrado y simplificamos
El ángulo θm para el cual el alcance R es máximo vale
Sustituyendo cosθ y senθ en función del parámetro z, en la expresión del alcance R, se obtiene después de algunas operaciones
Otra forma de expresar el alcance máximo Rm es
Teniendo en cuenta la relación trigonométrica
llegamos a esta expresión tan simple para el alcance máximo Rm=h·tan(2θm) El tiempo de vuelo Tm para el ángulo θm
El alcance máximo sin cálculo de derivadas Una forma alternativa de calcular el ángulo θm, sin tener que realizar un cálculo de derivadas es el siguiente: Eliminamos el tiempo t, en de las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, llegamos a la ecuación de la parábola (recuérdese que 1/cos2θ=1+tan2θ)
En el punto de impacto con el suelo y=0, obtenemos la ecuación de segundo grado en tanθ
con dos soluciones para R<Rm, y una solución para R=Rm y ninguna para R>Rm,véase la figura.
Esto implica que el discriminante de la ecuación de segundo grado debe ser cero para el ángulo θm que hace que el alcance sea máximo
El mismo resultado que ya obtuvimos de una forma más laboriosa. Velocidad final y velocidad inicialLa velocidad final y el ángulo que forma con el eje X son
La relación entre el ángulo de disparo θm y el ángulo φm que forma el vector velocidad cuando el proyectil llega al suelo es
El vector velocidad inicial v0 y el vector velocidad final vf son perpendiculares, Ejemplo:
Si el atleta lanza el peso desde una altura de h=2.1 m y quiere que llegue a una distancia Rm=22 m, el ángulo óptimo de lanzamiento θm vale Rm=h·tan(2θm) θm=42.3º El análisis del lanzamiento del peso es más complicado, ya que la altura h no es independiente del ángulo θ, tal como se aprecia en la figura, sino que h=H+b·senθ, siendo H la altura del hombro y b la longitud del brazo. (Véase De Luca 2005)
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos la trayectoria del proyectil hasta que llega al suelo. En la parte superior del applet, se proporcionan los datos del proyectil:
Cuando llega al suelo, podemos anotar el alcance x, el tiempo de vuelo t y la velocidad final del proyectil vx y vy, y comprobar estos resultados con los cálculos realizados manualmente. El programa interactivo representa, la trayectoria actual del proyectil y su trayectoria anterior. Fijada la altura h, vamos cambiando el ángulo de tiro θ. Mediante el procedimiento de aproximaciones sucesivas, podemos obtener el ángulo para el cual el alcance es máximo.
|
Se lanza un proyectil desde un péndulo simpleConsideremos un objeto que denominaremos proyectil de masa m que cuelga de una cuerda de longitud l. Cuando se separa de su posición de equilibrio y se suelta comienza a oscilar, tal como estudiaremos en la página dedicada al péndulo simple. Soltamos el proyectil cuando la cuerda se desvía de la posición de equilibrio un ángulo θ0. Se corta la cuerda cuando el péndulo se desvía de la posición vertical un ángulo θ<|θ0|. El proyectil describe una trayectoria parabólica si se desprecia el rozamiento con el aire, tal como se aprecia en la figura.
Principio de conservación de la energíaEl proyectil parte de la posición inicial θ0, con velocidad inicial v=0. Describe un arco de circunferencia y llega a la posición final θ, con velocidad v. Aplicamos el principio de conservación de la energía para calcular la velocidad v. Si ponemos el nivel cero de energía potencial en la parte más baja de la trayectoria
Ecuaciones del tiro parabólicoPara describir el movimiento del proyectil, situamos los ejes X e Y del modo en el que se señala en la figura; el eje X en el suelo, y el eje Y tiene la dirección del péndulo en la posición de equilibrio θ=0. El proyectil se dispara con una velocidad v, haciendo un ángulo θ con la horizontal, desde una altura h=H+(l-lcosθ). Siendo H+l la altura del centro de giro del péndulo. La posición del proyectil en función del tiempo es x= l·senθ+v·cosθ·t Siguiendo los mismos pasos que en la sección anterior. Obtenemos el alcance R, poniendo y=0, en la segunda ecuación, despejando el tiempo de vuelo t, y sustituyéndolo en la primera ecuación de la trayectoria.
Expresamos el alcance R en función del ángulo θ
Dado el ángulo θ0 de partida del objeto, se tratará de calcular el ángulo θ, para el cual el alcance R es máximo. Alcance máximoDado el ángulo θ0 de partida del objeto, calcularemos el ángulo θm, para el cual el alcance R es máximo.
En la figura, se representa el alcance R en función del ángulo θ, para θ0=80º. El ángulo θm para el cual R es máximo se obtiene derivando R respecto del ángulo θ, e igualando a cero. Es decir, resolviendo la ecuación dR/dθ=0. En el segundo artículo citado en las referencias, el alcance máximo se obtiene calculando las raíces reales de la ecuación cúbica.
con x=cosθm Ejemplo:
La velocidad del proyectil cuando se corta la cuerda es
Ecuaciones del movimiento x= 0.6·sen30+2.85·cos30·t El alcance se calcula poniendo y=0. Resolvemos la ecuación de segundo grado en t. La raíz positiva vale t=0.64 s Calculamos el alcance en la primera ecuación x=1.87 m También podemos calcular el alcance de forma directa
Para calcular el ángulo θm para el cual el alcance es máximo, se resuelve la ecuación cúbica x3+a·x2+bx+c=0 con a=2.32, b=0, c=-2.49 Se calcula
Como R2>Q3 entonces la ecuación tiene una raíz real
El ángulo x1=cosθm, θm=28.1º Este ángulo θm se puede obtener aproximadamente de forma gráfica.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se pulsa el botón titulado Empieza Cuando el proyectil llega al suelo, se guardan los pares de datos, (ángulo θ, alcance R) en el área de texto situado en la parte izquierda del applet. Pulsando el botón titulado Gráfica se representa los resultados “experimentales” como puntos de color rojo sobre la representación gráfica de la función R(θ). El alcance R en función del ángulo final θ. Calcula el ángulo θm que hace que el alcance R sea máximo |
Buckmaster H. A., Ideal ballistic trajectories revisited. Am. J. Phys. 53 (7) July 1985, pp. 638-641.
Bittel D. Maximizing the range of a projectile launched by a simple pendulum. The Physics Teacher, 43, February 2005, pp. 98-100.
De Luca R. Shot-put kinematics. Eur. J. Phys. 26 (2005), pp. 1031-1036
Alcance máximo en el
plano horizontal
