|
Clases y objetos |
Cálculo del número irracional p
La clase Math tiene miembros dato y funciones miembro estáticas, vamos a conocer algunas de estas funciones, cómo se llaman y qué tarea realizan.
matematicas:
MatematicasApp.java
La clase Math define dos constantes muy útiles, el número p y el número e.
public final class Math {
public static final double E = 2.7182818284590452354;
public static final double PI = 3.14159265358979323846;
//...
}
El modificador final indica que los valores que guardan no se pueden cambiar, son valores constantes
Se accede a estas constantes desde la clase Math, de la siguiente forma
System.out.println("Pi es " + Math.PI);
System.out.println("e es " + Math.E);
La clase Math define muchas funciones y versiones distintas de cada función.
Por ejemplo, para hallar el valor absoluto de un número define las siguientes funciones. Se llama a una u otra dependiendo del tipo de dato que se le pasa en su único argumento.
public final class Math {
public static int abs(int a) {
return (a < 0) ? -a : a;
}
public static long abs(long a) {
return (a < 0) ? -a : a;
}
public static float abs(float a) {
return (a < 0) ? -a : a;
}
public static double abs(double a) {
return (a < 0) ? -a : a;
}
//...
}
Por ejemplo, hallar el valor absoluto de los siguientes números
int i = -9;
double x = 0.3498;
System.out.println("|" + i + "| es " + Math.abs(i));
System.out.println("|" + x + "| es " + Math.abs(x));
Math.abs(i), llama a la primera versión, y Math.abs(x) llama a la última versión.
En las funciones trigonométricas los argumentos se expresan en radianes. Por ejemplo, el ángulo 45º se convierte en radianes y luego se halla el seno, el coseno y la tangente
double angulo = 45.0 * Math.PI/180.0;
System.out.println("cos(" + angulo + ") es " + Math.cos(angulo));
System.out.println("sin(" + angulo + ") es " + Math.sin(angulo));
System.out.println("tan(" + angulo + ") es " + Math.tan(angulo));
Para pasar de coordenadas rectangulares a polares es útil la función atan2, que admite dos argumentos, la ordenada y la abscisa del punto. Devuelve el ángulo en radianes.
double y=-6.2; //ordenada
double x=1.2; //abscisa
System.out.println("atan2(" + y+" , "+x + ") es " + Math.atan2(y, x));
La función exponencial exp devuelve el número e elevado a una potencia
System.out.println("exp(1.0) es " + Math.exp(1.0));
System.out.println("exp(10.0) es " + Math.exp(10.0));
System.out.println("exp(0.0) es " + Math.exp(0.0));
La función log calcula el logaritmo natural (de base e) de un número
System.out.println("log(1.0) es " + Math.log(1.0));
System.out.println("log(10.0) es " + Math.log(10.0));
System.out.println("log(Math.E) es " + Math.log(Math.E));
Para elevar un número x a la potencia y, se emplea pow(x, y)
System.out.println("pow(10.0, 3.5) es " + Math.pow(10.0,3.5));
Para hallar la raíz cuadrada de un número, se emplea la función sqrt
System.out.println("La raíz cuadrada de " + x + " is " + Math.sqrt(x));
Para expresar un número real con un número especificado de números decimales empleamos la función round. Por ejemplo, para expresar los números x e y con dos cifras decimales escribimos
double x = 72.3543;
double y = 0.3498;
System.out.println(x + " es aprox. " + (double)Math.round(x*100)/100);
System.out.println(y + " es aprox. " + (double)Math.round(y*100)/100);
Se obtiene 72.35 y 0.35 como cabría esperar. Fijarse que round devuelve un número entero int que es necesario promocionar a double para efectuar la división entre 100.
Si empleamos la función floor en vez de round obtendríamos
System.out.println(x + " es aprox. " + Math.floor(x*100)/100);
System.out.println(y + " es aprox. " + Math.floor(y*100)/100);
Se obtiene 72.35 y 0.34. La aproximación del primero es correcta ya que la tercera cifra decimal es 4 inferior a 5. La aproximación del segundo es incorrecta ya que la tercera cifra decimal es 9 mayor que 5. En la mayor parte de los cálculos se cometen errores, por lo que la diferencia entre floor y round no es significativa.
Para hallar el mayor y el menor de dos números se emplean las funciones min y max que comparan números del mismo tipo.
int i = 7;
int j = -9;
double x = 72.3543;
double y = 0.3498;
// para hallar el menor de dos número
System.out.println("min(" + i + "," + j + ") es " + Math.min(i,j));
System.out.println("min(" + x + "," + y + ") es " + Math.min(x,y));
// Para hallar el mayor de dos números
System.out.println("max(" + i + "," + j + ") es " + Math.max(i,j));
System.out.println("max(" + x + "," + y + ") es " + Math.max(x,y));
La clase Math define una función denominada random que devuelve un número pseudoaleatorio comprendido en el intervalo [0.0, 1.0). Existe otra alternativa, se pueden generar números pseudoaleatorios a partir de un objeto de la clase Random, que llame a la función miembro nextDouble.
System.out.println("Número aleatorio: " + Math.random());
System.out.println("Otro número aleatorio: " + Math.random());
pi:
PiApp.java
Para hallar la longitud de una circunferencia de radio R, primero se calcula el perímetro de un triángulo equilátero (3 lados) inscrito en dicha circunferencia, luego, de un hexágono (6 lados), un dodecágono (12 lados), y así sucesivamente. El límite de la sucesión de perímetros es precisamente la longitud de la circunferencia 2p R.
Si tomamos una circunferencia de radio unidad, al dividir entre dos los valores de los perímetros iremos obteniendo las sucesivas aproximaciones del número irracional p .
 |
A partir de la figura, podemos calcular la longitud del lado an
un polígono regular de n lados inscrito en la circunferencia de radio R,
(en color rojo).
Del mismo modo, obtenemos la longitud del lado de un polígono regular inscrito de 2n lados (en color azul).
|
Teniendo en cuanta que 
Establecemos la relación entre an y a2n y por tanto, entre el perímetro Pn del polígono regular de n lados y el perímetro P2n del polígono regular de 2n lados.
Tomando como radio R, la unidad
Para obtener las sucesivas aproximaciones del número irracional p mediante la fórmula anterior procedemos del siguiente modo
Ahora, hemos de trasladar las fórmulas matemáticas a código, y aquí es donde podemos llevarnos algunas sorpresas.
En primer lugar, hemos de tener en cuenta que la expresión 
es matemáticamente equivalente a 
pero no lo es cuando trabajamos con números en el ordenador.
Por ejemplo si n es tipo de dato int. Al evaluar el denominador en la primera expresión obtenemos el cuadrado de n que crece muy rápidamente con n, sobrepasándose (overflow) el valor máximo que puede guardar una variable entera dado por Integer.MAX_VALUE. Integer es la clase que describe los números enteros. Por tanto, al realizar los cálculos en el ordenador es aconsejable emplear la segunda expresión en vez de la primera, incluso si cambiamos el tipo de dato de n de int a long.
El cálculo de p implica un número infinito de iteracciones, ya que como hemos visto no es posible al sobrepasarse el valor máximo que puede guardar una variable entera, nuestra primera intención sería la programar un bucle que realice el máximo número de iteracciones
double perimetro=3*Math.sqrt(3); //triángulo equilátero inscrito
long n=3;
int i=0; //número de iteracciones
while(n<Long.MAX_VALUE){
perimetro=2*n*Math.sqrt(2.0-Math.sqrt(4.0-(perimetro/n)*(perimetro/n)));
n=2*n;
i++;
System.out.println(i+" -- "+perimetro/2);
}
Con cierta sorpresa observamos la salida del programa cuando se ha completado el bucle, se imprime un cero, en vez de 3.14159265358979323846.
Si observamos las 30 primeras iteracciones vemos, tal como se muestra en la figura inferior, que la valor más próximo a p se obtiene en las iteracciones 13, 14, 15, y 16.
while(i<30){
//...
}
La conclusión final, es que hemos de tener mucho cuidado al trasladar las fórmulas matemáticas a código. Los datos de tipo predefinido solamente pueden guardar valores entre un máximo y un mínimo, tal como hemos visto en su definición.Por otra parte, una variable de tipo double tiene una precisión limitada por lo que no representa a todos los números reales sino a un conjunto finito de éstos.