Dinámica |
Sistemas de masa variable (II). Flujo de arena
El reloj de arena La fuerza que ejerce la presión atmosférica La lluvia cae en un vagón de tren Una cuerda desliza sobre una mesa Movimiento de una cadena (I) Movimiento de una cadena (II) Caída del extremo de una cadena Caída de una cadena que cuelga Movimiento de una gota de lluvia |
 Movimiento de
un depósito bajo la acción de una fuerza constante
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En esta página, se estudia el movimiento de un depósito inicialmente lleno de arena, cuando se abre un orificio en el fondo del depósito
En la página anterior "Flujo de arena" se ha estudiado el flujo de arena a través de un orificio practicado en la parte inferior de un depósito estacionario. Supondremos que el flujo vertical de arena no se modifica cuando el depósito se mueve en la dirección horizontal.
Movimiento de un depósito bajo la acción de una fuerza constanteEn la figura, se muestra un depósito cilíndrico de radio R, que tiene un orificio en su base inferior de radio r. La masa del depósito en función del tiempoLa masa del depósito vacío es M, se llena con arena hasta una altura h0. La masa inicial del depósito es m0=M+ρ·πR2·h0 donde ρ es la densidad de la arena En la página titulada "El flujo de arena" mostramos que el flujo f=dm/dt de arena a través del orificio es constante e independiente de su altura h en el depósito. La masa del depósito disminuye linealmente con el tiempo. En el instante t vale m=m0-f·t o bien, m=M+ρ·πR2·h donde
El depósito se vacía cuando h=0, es decir, en el instante tm
Movimiento del depósitoLa segunda ley de Newton para el movimiento en una dimensión se escribe
donde p es el momento total del sistema y F la fuerza neta que actúa sobre el mismo. Como la masa del sistema varía con el tiempo, hemos de ser muy cuidadosos cuando nos referimos al momento p, ya que incluye el momento de la masa expulsada, tal como vimos en la formulación de las ecuaciones del movimiento de un cohete, que volvemos a reproducir en esta página.
En el instante t el depósito de masa m lleva una velocidad v. Su momento lineal es p(t)=mv En el instante t+Δt
El momento lineal del sistema en este instante es p(t+Δt)=(m-Δμ)(v+Δv)+ Δμ(–u+ v) La variación del momento lineal entre el instante t y el instante t+Δt es Δp= p(t+Δt)- p(t)=m·Δv- u·Δμ-Δv·Δμ En el límite cuando Δt→0
La masa M del sistema formado por el depósito m y la arena descargada μ es constante M=μ+m, por lo que dμ+dm=0. La masa del depósito disminuye en dm y aumenta la masa de la arena descargada en la misma cantidad.
Si la velocidad u de salida de la arena respecto del depósito es cero, la ecuación del movimiento se escribe
que es similar a la expresión para el caso de una masa constante, pero con la importante diferencia de que la masa es variable con el tiempo. También, es similar a la ecuación del movimiento de un cohete de empuje constante, donde F=u·D es la fuerza de empuje que proporcionan los gases al quemarse.
Supondremos que el depósito se mueve con velocidad inicial v0, en el instante inicial t=0, en el que se abre el orificio de salida de la arena.
Integrando de nuevo, obtenemos la expresión de la posición del móvil en función del tiempo. Recordando que
obtenemos
Cuando se agota la arena del depósito, la masa del depósito vacío m=m0-f·tm es constante, y la aceleración es constante
Las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son.
v=v1+a(t-tm) Donde x1 y v1 es la posición del depósito en el instante tm en el que se vacía el depósito de arena Cuando no se aplica fuerza alguna Cuando no se aplican fuerzas, podíamos pensar erróneamente que al disminuir el depósito su masa, su velocidad se iba a incrementar. Pero nos olvidamos del momento lineal de la arena expulsada. De acuerdo a la ecuación del movimiento, si F=0, la velocidad del depósito es constante e igual a la velocidad inicial v0. EnergíasLa energía cinética inicial del depósito es
La energía cinética del depósito en el instante t es
La energía cinética de la arena descargada hasta el instante t es.
Recuérdese que la velocidad de la porción dm de arena descargada es cero respecto del depósito y v respecto de Tierra. El trabajo realizado por la fuerza constante F es F·x Podemos comprobar, que el trabajo de la fuerza F se invierte en incrementar la energía cinética del depósito y de la arena descargada.
Para comprobarlo, nos podemos ayudar de las integrales
Ejemplo
La masa inicial del depósito lleno de arena es m0=M+ρ·πR2·h0 m0=50+2500·π·0.12·0.45=85.3 kg El tiempo que tarda en vaciarse el depósito
En el instante tm el depósito se ha vaciado, su masa es M=50 kg. La velocidad final que alcanza el depósito vacío en este instante es
La posición x del depósito en el instante tm=46.5 s es
A partir de este instante, el depósito se mueve con aceleración constante
v=0.59+0.014(t-46.5)
ActividadesSe pulsa el botón titulado Inicio
Datos que se han fijado en el programa interactivo
Se pulsa el botón titulado Empieza El orificio situado en el fondo del depósito se abre y comienza a caer un flujo f constante de arena. El depósito disminuye su masa e incrementa la velocidad. Cuando el depósito se vacía, su masa no cambia y por tanto, se mueve con aceleración constante. Para realizar otra “experiencia” se pulsa el botón titulado Inicio, se cambia, la masa del depósito vacío, la altura inicial de la arena en el depósito, la fuerza con la que se tira del depósito y se pulsa el botón titulado Empieza. |
Arrastrar con el puntero del ratón la flecha de color rojo
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Movimiento de un depósito de arena bajo la acción de una fuerza variable.En este apartado, se estudia un sistema en el que la masa y la fuerza aplicada cambian. Consiste en un depósito de arena que pierde masa por su parte inferior, y que se desplaza sobre dos vías paralelas, que ejercen una fuerza de rozamiento cuando el depósito se desplaza. Este depósito está unido mediante una cuerda que pasa por una polea a un cuerpo cuya masa M es constante, tal como se muestra en la figura
Ecuaciones del movimientoDibujamos las fuerzas sobre el bloque y sobre el depósito. Supondremos que la polea tiene un momento de inercia despreciable.
La ecuación del movimiento del depósito es T-μN=ma La ecuación del movimiento del cuerpo que cuelga es Mg-T=Ma Primer etapa. La masa del depósito disminuye La masa del depósito varía con el tiempo de la forma m=m0-f·t Siendo m0 la masa inicial (depósito vacío más la arena que contiene), y f el flujo constante de arena que sale por el orificio situado en su parte inferior. Eliminando T del sistema de ecuaciones
Integrando
La fracción es fácilmente integrable si se transforma en esta otra expresión equivalente
Después de hacer algunas operaciones se obtiene
Integrando de nuevo, obtenemos el desplazamiento x en función del tiempo t. Recordando que
obtenemos
Segunda etapa: la masa del depósito es constante La arena se agota en el instante tm. A partir de este instante, la masa del depósito es constante m=m0-f·tm La aceleración del depósito y del bloque es constante, el movimiento es uniformemente acelerado
La velocidad es v=v0+a·(t-tm) La posición del depósito es x=x0+v0(t-tm)+a(t-tm)2/2 donde x0 y v0 es la posición y velocidad del depósito en el instante tm en el que se quedado vacío. Ejemplo
La masa inicial del depósito de arena es igual a la masa de la arena más la masa del recipiente que lo contiene. Se ha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.
La masa inicial del depósito es m0=1.1·1=1.1 kg El depósito de arena se vacía en el instante tm=1.0/0.8=1.25 s. En dicho instante la velocidad del depósito es
La posición del depósito es
A partir de este instante, el depósito se mueve con aceleración constante
Las ecuaciones del movimiento son v=5.76
+8.46·(t-1.25) Por ejemplo, en el instante t=1.6 s el depósito se encuentra en la posición x=5.33 m y lleva una velocidad de v=8.72 m/s Por ejemplo, el depósito llega a la posición x=4.0 m en el instante t=1.43 s, con una velocidad de v=7.31 m/s
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza La masa inicial del depósito de arena es igual a la masa de la arena más la masa del recipiente que lo contiene. Se ha tomado como masa del recipiente el 10% de la masa inicial de arena.
El programa interactivo no comienza si se cumple que μ·m0>M, se aconseja entonces, disminuir el valor del coeficiente de rozamiento μ.
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Del segundo apartado "Movimiento de un depósito de arena bajo la acción de una fuerza variable"
Sullivan P., Chaplin B, A system to change both mass and applied force. The Physics Teacher, Vol 37, May 1999, pp. 309-311
Depósito de arena
que se mueve
