Dinámica |
Sistemas de masa variable (II). Flujo de arena Depósito de arena que se mueve El reloj de arena La fuerza que ejerce la presión atmosférica La lluvia cae en un vagón de tren Una cuerda desliza sobre una mesa Movimiento de una cadena (I) Movimiento de una cadena (II) Caída del extremo de una cadena
Movimiento de una gota de lluvia |
Primera etapa del movimiento Final de la primera etapa del movimiento y comienzo de la segunda |
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El movimiento de la cadena que pende de un clavo tiene dos etapas. La primera, mientras la cadena está en contacto con el clavo. La segunda, cuando deja de estar en contacto. En esta etapa, consideraremos la cadena como un sistema de dos partículas en caída libre. Sistema que se ha estudiado en otras páginas de este capítulo, pero en este caso desconocemos la fuerza de interacción entre las dos partículas En ambos casos, supondremos que la energía de la cadena se mantiene constante.
Primera etapa del movimientoSupongamos una cadena de masa ρ por unidad de longitud, de longitud L suspendida de un clavo clavado en una pared. Situamos el origen en la posición de los extremos de la cadena cuando está en equilibrio inestable, tal como se muestra en la figura de la izquierda.
Principio de conservación de la energíaLos centros de masa (señalados mediante puntos de color azul) de ambas partes de la cadena se encuentran a una altura L/4. La energía inicial de la cadena en la posición inicial en reposo es
La cadena se mueve, en un instante dado t, cuando los extremos se desplazan x, la energía de la cadena es
Aplicamos el principio de conservación de la energía y despejamos la velocidad de la cadena
Ecuaciones del movimiento
Las fuerzas sobre la parte derecha de la cadena son:
La ecuación del movimiento de esta porción es
Eliminamos la fuerza desconocida T sumando ambas ecuaciones
Las raíces de la ecuación característica son reales. La solución de esta ecuación diferencial es
Los coeficientes A y B se determinan a partir de las condiciones iniciales Si la cadena se coloca en su posición de equilibrio inestable, permanecerá así, hasta que alguna perturbación haga que un extremo se eleve x0 y el otro baje x0. Las condiciones iniciales que vamos a establecer son las siguientes: En el instante t=0, los extremos de la cadena se encuentran desplazados x0, y la velocidad de la cadena v0 es
Fácilmente, podemos comprobar que los coeficientes A=x0 y B=0. La ecuación del movimiento de la cadena es
tal como habíamos obtenido, aplicando el principio de conservación de la energía. Fuerza que ejerce el clavo sobre la cadena
El momento lineal del elemento de masa cambia dp=-2(ρ·dx)v en el intervalo de tiempo dt. La fuerza necesaria para realizar este cambio de momento lineal es
Las fuerzas sobre la porción de cadena que está sobre el clavo son:
F-2T=-2ρv2 Calculamos T restando las ecuaciones del movimiento de cada una de las dos partes de la cadena.
Introduciendo los valores de la aceleración d2x/dt2 y de la velocidad v=dx/dt, calculamos la fuerza F
La fuerza F que ejerce el clavo se hace cero cuando los extremos de la cadena se han desplazado
A partir de este momento, la cadena cae libremente, bajo la aceleración constante de la gravedad.
Final de la primera etapa del movimiento y comienzo de la segundaLa primera etapa del movimiento finaliza en el instante t1 tal que
Las velocidades finales de cada una de las dos partes de la cadena son
La posición del centro de masas es
Al finalizar la primera etapa, el centro de masa se encuentra en la posición xcm=L/8 La velocidad del centro de masas es
Al finalizar la primera etapa, la velocidad del centro de masa es
La energía total de la cadena se mantiene constante e igual a la energía inicial
Segunda etapa del movimientoEn esta etapa del movimiento, consideramos un sistema de dos partículas que se mueven bajo la acción de la aceleración de la gravedad y la fuerza de interacción mutua que es desconocida. Movimiento del centro de masas de la cadenaEl centro de masas de la cadena se mueve como una partícula de masa mL bajo la acción de la única fuerza externa, que es su propio peso. Sabiendo que la posición inicial y la velocidad inicial del c.m. al comenzar esta etapa del movimiento son
La velocidad y la posición del c.m. de la cadena en función del tiempo t (se pone el reloj a cero al comienzo de la segunda etapa) son
Movimiento de cada una de las dos partes de la cadena
La velocidad del centro de masas vcm se expresa en función de la velocidad del c.m. de cada una de las dos partes de la cadena v1=dx1/dt y v2=dx2/dt.
Podemos verificar que la velocidad del c.m. se obtiene derivando la posición del c.m., vcm=dxcm/dt Energía del sistema de partículas La energía cinética de un sistema de dos partículas es igual a la energía cinética del centro de masas más la energía cinética de las dos partículas referida al c.m. Calculamos las velocidades relativas de cada una de las dos partes de la cadena respecto del centro de masas.
La energía cinética de la cadena es
La energía potencial del sistema de dos partículas es la energía potencial de su centro de masas Ep=(ρL)gxcm La energía total permanece constante e igual a la energía inicial Ek+Ep=ρgL2/4 Introducimos las expresiones de la velocidad vcm y posición del c.m. xcm del centro de masas en función del tiempo t.
Después de simplificar, obtenemos la ecuación
Llamando z=x1+x2 y v=dz/dt=v1+v2, obtenemos la ecuación diferencial
Haciendo el cambio de variable z=L·senθ e integrando
En el instante t=0, comienzo de la segunda etapa del movimiento
El límite inferior de la integral es θ0=π/4 Se calcula la integral de cos2θ por partes o a través de la relación trigonométrica cos2θ=(1+cos2θ)/2. El resultado es
Dado el valor de t, se resuelve esta ecuación trascendente por el procedimiento del punto medio y se calcula el ángulo θ y después, z=x1+x2=L·senθ Obtenemos los desplazamientos x1 y x2 de los extremos derecho e izquierdo de la cadena, a partir de el conocimiento de z en función del tiempo t y de la posición xcm del centro de masa en función del tiempo t.
Despejamos x1 y x2 en función de z y xcm
Despejamos las velocidades v1 y v2 de cada una de las dos partes de la cadena a partir de la velocidad vcm del centro de masas y la derivada de z respecto del tiempo, v=dz/dt.
Despejando v1 y v2 del sistema de dos ecuaciones
Final de la segunda etapa del movimiento
Cuando z=L, el ángulo θ=π/2 y se despeja el tiempo t2 de la ecuación trascendente
La posición final del centro de masas es
Los desplazamientos finales de los extremos de la cadena son
Comprobamos que x1+x2=L El extremo izquierdo se encuentra por encima de el clavo x2-L/2=0.033·L Calculamos ahora, la velocidad final de cada una de las dos partes de la cadena La velocidad final del centro de masas es
Al finalizar esta segunda etapa z=L, la velocidad de la parte derecha de la cadena tiene el valor
Como v=dz/dt tiende a infinito cuando z tiende a L. La longitud (y la masa) de la parte izquierda de la cadena tienden a cero a la vez, que su velocidad tiende a infinito.
ActividadesLa cadena tiene una densidad lineal ρ=1, y una longitud L=1. Los extremos de la cadena se desplazan x0=0.01 y se les proporciona una velocidad inicial.
Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos
En la parte superior del applet, se proporcionan los valores numéricos de:
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Calkin M. G., The dynamics of a falling chain: II. Am. J. Phys. 57 (2) February 1989, pp. 157-159
Caída de una cadena
que cuelga 
