Dinámica |
Sistemas de masa variable (II). Flujo de arena Depósito de arena que se mueve El reloj de arena La fuerza que ejerce la presión atmosférica La lluvia cae en un vagón de tren Una cuerda desliza sobre una mesa Movimiento de una cadena (I) Movimiento de una cadena (II) Caída del extremo de una cadena Caída de una cadena que cuelga
|
La masa de la gota | |||
|
La masa de la gotaHemos de hacer una suposición acerca de la forma en que la masa de la gota se incrementa con el tiempo. Si la gota va absorbiendo las pequeñas gotitas que encuentra en su camino, entonces
El valor de la constante de proporcionalidad k es
En general, supondremos que la razón del incremento de la masa de la gota con el tiempo es de la forma
Como la velocidad v=dx/dt
Integramos esta ecuación con las condiciones iniciales para x=0, m=m0
Esta ecuación nos proporciona la masa m de la gota en función de la posición x.
Ecuaciones del movimiento
Cuando g=0Empezaremos por el caso más simple, aquél en el que la aceleración de la gravedad es cero. Podría ser el caso de un objeto que pasase a través de la materia interestelar. Como la fuerza exterior es nula, el momento lineal se conserva, al aumentar la masa disminuye la velocidad de la gota m0v0=mv
Integramos
Expresamos x en función del tiempo t
Calculamos ahora la velocidad v en función del tiempo t
Integrando, obtenemos la posición x de la gota en función del tiempo t.
Cuando α=2/3 las expresiones de la masa m de la gota, la velocidad v y la posición x en función del tiempo t son:
Cuando g≠0Las ecuaciones que tenemos que resolver son
Con la notación
Las ecuaciones anteriores se escriben
En general, la aceleración de la gota dv/dt no es constante, para que fuese constante se debería cumplir que
donde c es una constante Eliminado la derivada primera de m y su derivada en las dos ecuaciones que describen el movimiento de la gota, obtenemos una ecuación diferencial de primer orden en v.
Derivamos respecto del tiempo
Esta ecuación diferencial no tiene solución analítica conocida La aceleración es constante cuando el término entre paréntesis es cero
Cuando α=2/3, la aceleración es constante e igual a 1/7 de la aceleración de la gravedad g
Procedimiento numéricoSe resuelve la ecuación diferencial de segundo orden por el procedimiento de Runge-Kutta
Con las condiciones iniciales t=0, v=0, m=m0 La masa inicial m0 en gramos es el producto de la densidad del agua 1.0 g/cm3 por el volumen de una esfera de radio r0 en cm
El valor de la constante de proporcionalidad k es
Donde ρn≈10-6 g/cm3 es la densidad de la niebla, y ρa=1.0 g/cm3 es la densidad del agua. La constante de proporcionalidad k es por tanto, del orden de 10-6. La aceleración de la gravedad es g=980 cm/s2.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Se observa la caída de la gota de agua en la parte izquierda del applet Se representa la aceleración dv/dt de la gota en función del tiempo t, observando que tiende hacia el valor límite g/7=1.4 m/s2. Vemos como la gota cambia su tamaño a medida que absorbe las pequeñas gotas suspendidas en el aire y que forman la niebla. |
Adawi I. Comments on the raindrop problem. Am. J. Phys. 54 (8) August 1986, pp. 739-740
Movimiento de una
gota de lluvia
