Dinámica |
Sistemas de partículas Dinámica de un sistema de partículas Sistemas aislados Un bloque desliza sobre una cuña móvil Péndulo sobre una plataforma móvil El problema de dos cuerpos Movimiento del c.m. y de las partículas.(I) Movimiento del c.m. y de las partículas.(II)
Tirando de una caja |
Descripción | |||||||
En la figura, se muestra de forma esquemática la evolución temporal de un salto. El saltador parte de la posición erguida, hace un movimiento hacia abajo flexionando las rodillas y salta. La energía de los músculos en tensión se convierte primero en energía cinética y a continuación, en energía potencial cuando el saltador alcanza la máxima altura. En esta página, se estudia un modelo simple de saltador consistente en dos partículas de masas m (superior) y M (inferior) unidas por un muelle elástico de constante k en posición vertical. Este modelo nos permite continuar con el estudio de la dinámica de un sistema de partículas. Recordaremos de nuevo que: El movimiento de cada partícula está determinado por la acción de las fuerzas exteriores al sistema y de las fuerzas que ejercen las otras partículas del sistema sobre la partícula considerada. El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como si fuera una partícula de masa igual a la masa total del sistema bajo la acción de la resultante de las fuerzas exteriores aplicadas al sistema.
DescripciónSituación inicial.El muelle tiene una longitud l cuando no está deformado. Si lo colocamos en posición vertical con la partícula de masa m situada en la parte superior, el muelle se comprime.
La deformación del muelle es por tanto, l-x=mg/k. Donde x es la posición de la partícula superior con respecto al origen situado en el suelo. Comprimimos el muelle una longitud adicional d, y lo soltamos. La posición inicial de la partícula de masa m es x=l-mg/k-d, y su velocidad inicial dx/dt=0. Energías Estableciendo el nivel cero de la energía potencial en el suelo. La energía inicial del sistema de partículas se compone de dos términos:
La energía inicial E0 del sistema de partículas es Una vez que se suelta el muelle, después de haberse comprimido, observaremos el movimiento de cada una de las partículas y el centro de masas (c.m.) del sistema, que consta de dos etapas: 1. Cuando la partícula inferior de masa M está en contacto con el suelo y por tanto, en reposo. 2. Cuando la partícula de masa M deja de tener contacto con el suelo. Primera fase del movimientoLas fuerzas que actúan sobre el sistema de partículas son exteriores al sistema e interiores
Final de la primera fase del movimiento.Se acaba la primera fase, cuando la partícula inferior (de masa M) deja de tener contacto con el suelo, la reacción N es cero. Esto ocurre en el instante t0 tal que Como el coseno no puede ser mayor que la unidad en valor absoluto, para que N sea cero, se tiene que cumplir que (m+M)g≤kd La deformación adicional d que le damos al muelle cuando lo comprimimos tiene que ser suficientemente grande para que se cumpla la desigualdad anterior. En el caso de que no se cumpla, la partícula inferior permanece en reposo en el origen, y la partícula superior describe un Movimiento Armónico Simple de amplitud d. Si se cumple la desigualdad, en el instante t0
Energías Para un sistema de partículas Wext=Uf-Ui La fuerza exterior N no realiza trabajo, ya que actúa sobre una partícula que está en reposo. El peso es una fuerza conservativa por lo que el trabajo de la fuerza exterior peso es igual a la diferencia entre de energía potencial inicial y la final Wext=Epi-Epf Tenemos por tanto, que Ui+Epi=Uf+Epf=cte La energía U del sistema de partículas es la suma de la energía cinética de las dos partículas más la energía potencial que describe la interacción entre ambas partículas. La partícula inferior de masa M está en el origen, en reposo. La posición de la partícula superior (de masa m) es x, y su velocidad es dx/dt, la deformación del muelle es l-x. El principio de conservación de la energía para este sistema de partículas se escribe. La energía E1 del sistema de partículas cuando termina la primera fase del movimiento, está formada por tres términos:
Haciendo algunas operaciones se comprueba que la energía E1 al final de la primera etapa es igual a la energía inicial E0. Impulso y momento lineal
Segunda fase del movimiento
Las ecuaciones del movimiento son por tanto,
La ecuación del movimiento relativo de las dos partículas es Ecuación del movimiento de cada una de las partículas Conocemos la posición del c.m. z y la posición relativa ξ=x-y de las partículas en función del tiempo. Del sistema de dos ecuaciones despejamos x e y. La energía en el instante t>t0 se compone de la suma de los siguientes términos:
Haciendo operaciones y simplificaciones podemos comprobar que la energía E2 es igual a la energía inicial E0.
ActividadesSe introduce:
Se pulsa el botón titulado Inicio. El muelle se comprime debido al peso de la partícula de masa m, situado encima. Actuando con el puntero del ratón sobre la partícula de color rojo, comprimimos el muelle una longitud adicional d. Se pulsa el botón titulado Empieza Observamos el movimiento de las dos partículas (roja y azul) y la del centro de masa del sistema (en color negro). Podemos distinguir las dos etapas del movimiento:
Ejemplo:
Se pulsa el botón titulado Inicio El peso de la partícula superior comprime el muelle mg/k=0.052 m. La posición de dicha partícula es x=l-mg/k=0.45 m. Se comprime el muelle una distancia d=0.2 m, hasta que la posición de la partícula superior sea x=0.25 m. Se pulsa el botón titulado Empieza La frecuencia angular ω1 vale La partícula inferior deja de tener contacto con el suelo N=0, en el instante t0. La posición del c.m. en dicho instante es La velocidad del c.m. en dicho instante es El centro de masas alcanza la altura máxima en el instante t tal que v=0 0=v0-g·(t-t0) En el instante t=0.23+0.12=0.35 s el c.m. alcanza la altura máxima de z=z0+v0(t-t0)-g(t-t0)2/2 z=0.66 m La frecuencia angular ω2 vale La posición relativa ξ=x-y de las partículas se calcula mediante la expresión Conocida la posición z del c.m y la posición relativa ξ de las partículas podemos calcular la posición de cada una de ellas. ![]()
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Se pulsa el botón Inicio, con el puntero del ratón se arrastra el pequeño cuadrado de color rojo, se pulsa Empieza
Dufresne R., Gerace W., Leonard W. Springbok: The Physics of jumping. The Physics Teacher Vol 39, February 2001, pp. 109-115