Dinámica |
Sistemas de partículas Dinámica de un sistema de partículas Sistemas aislados Un bloque desliza sobre una cuña móvil
El problema de dos cuerpos Movimiento del c.m. y de las partículas (I). Movimiento del c.m.y de las partículas.(II) Un modelo de saltador Tirando de una caja |
La ecuación del movimiento de un péndulo
simple Ecuación del movimiento de un péndulo simple situado sobre una plataforma móvil |
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En la página titulada “El péndulo simple” estudiamos este dispositivo formado por una partícula de masa m sujeta por un hilo inextensible y de masa despreciable de longitud l. En esta página, montamos el péndulo simple sobre una plataforma móvil de masa M que desliza sin rozamiento sobre un plano horizontal.
La ecuación del movimiento de un péndulo simpleSupongamos que un péndulo simple de masa m y de longitud l se desvía un ángulo θ0 de la posición de equilibrio y se suelta. Principio de conservación de la energía
Como la partícula describe un movimiento circular de radio l, la velocidad v=l(dθ/dt). El término entre paréntesis es la velocidad angular de rotación.
Segunda ley de Newton En la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m y las componentes tangencial at= l(d2θ/dt2) y normal an=v2/l =l(dθ/dt)2 de su aceleración.
Aplicamos la segunda ley de Newton mat=-mg·senθ La primera ecuación se escribe en forma diferencial
Se resuelve esta ecuación diferencial de segundo orden por procedimientos numéricos, con las condiciones iniciales t=0, θ=θ0, (dθ/dt)=0 La segunda ecuación, nos permite calcular la tensión de la cuerda T conocida la velocidad v de la partícula. La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación de la energía
Ecuación del movimiento de un péndulo simple situado sobre una plataforma móvilEstudiamos el movimiento horizontal del péndulo y la plataforma. La fuerza externa horizontal es nula y por tanto, el centro de masas no se mueve si inicialmente estaba en reposo. Supongamos que inicialmente el péndulo se encuentra en la posición de equilibrio, en reposo, encima del centro de masas del la plataforma. Su proyección sobre el eje horizontal X señala el origen O. Así pues, el origen O es la posición del centro de masas del sistema aislado que permanecerá en reposo si inicialmente lo estaba. La posición del centro de masas del sistema es el origen Xc=0
La relación entre la posición angular θ del péndulo y la posición del c.m. de la plataforma xb es
La velocidad del centro de masas del sistema es Vc=0
Las componentes de la velocidad de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son horizontal: vcosθ+Vb
La relación entre la velocidad v de la partícula y la velocidad Vb de la plataforma es
Principio de conservación de la energía Si establecemos el nivel cero de energía potencial en el eje de giro del péndulo. El principio de conservación de la energía se escribe, véase figura anterior.
Sustituimos (1) Vb en función de v, y despejamos v=l(dθ/dt) de (2)
La aceleración del centro de masas del sistema es Ac=0
Las componentes horizontal y vertical de la aceleración de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son atcosθ-ansenθ+ab
La relación entre las componentes tangencial at y normal an de la aceleración de la partícula y la aceleración ab de la plataforma es
Segunda ley de Newton
Las componentes tangencial y radial de la aceleración de la partícula, respecto del observador inercial situado en el plano horizontal, son at+ab·cosθ
La ecuación del movimiento en la dirección tangencial es m(at+ab·cosθ)=-mgsenθ (4) La ecuación del movimiento en la dirección normal es m(an-ab·senθ)=T- mgcosθ (5) La ecuación del movimiento de la plataforma es T·senθ=Mab (6) Sustituimos ab de (3) en (4) y teniendo en cuenta que an=l(dθ/dt)2 y at= l(d2θ/dt2) llegamos a la siguiente ecuación diferencial de segundo orden
Que se resuelve por procedimientos numéricos con las siguientes condiciones iniciales t=0, θ=θ0, (dθ/dt)=0 Cuando la masa M de la plataforma es muy grande comparada con la masa m de la partícula, m/M→0 obtenemos la ecuación diferencial del movimiento del péndulo. Vamos a comprobar si es correcta la ecuación diferencial del movimiento. La aplicación del principio de conservación de la energía nos proporciona la ecuación diferencial de primer orden
Derivamos esta ecuación respecto del tiempo
y volvemos a obtener la ecuación diferencial del movimiento Tensión de la cuerda De las ecuaciones (5) y (6) despejamos la tensión de la cuerda
Conocida la velocidad angular de rotación (dθ/dt) se despeja la tensión T de la cuerda
Ejemplo: supongamos que el péndulo se desvía θ0=90º y se suelta. Cuando pasa por la posición de equilibrio θ=0, la tensión de la cuerda es
Algo mayor que cuando la plataforma está fija T/(mg)=3 Cuando la masa M de la plataforma es muy grande comparada con la masa m de la partícula, m/M→0 obtenemos
Ejemplo
La plataforma se desvía hacia la izquierda, a fin de que la posición del c.m. del sistema aislado permanezca en el origen
Calcular la posición xb de la plataforma, la velocidad v de la partícula, la velocidad Vb de la plataforma y la tensión T de la cuerda cuando θ=30º
La conservación del momento lineal y de la energía nos proporcionan las dos ecuaciones que nos permiten calcular v y Vb.
v=-4.75 m/s, Vb=1.37 m/s La tensión T de la cuerda se calcula mediante el par de ecuaciones T·senθ=Mab
(6) T·sen30º=2·ab
(6) Eliminando la aceleración ab de la plataforma, despejamos T=27.66 N
ComparaciónLa figura muestra, la comparación entre las oscilaciones de un péndulo (en color azul) y la del mismo péndulo montado en una plataforma móvil (en color rojo) cuya masa es M=m El periodo del péndulo sobre la plataforma móvil es más pequeño.
La figura muestra la posición de la plataforma xb en función del tiempo. Se observa que difiere notablemente de un Movimiento Armónico Simple.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio y a continuación, Empieza Para comenzar una nueva experiencia se pulsa el botón titulado Inicio Comparar el comportamiento del péndulo, cuando la masa de la plataforma M es del orden de la masa del péndulo m y cuando es mucho mayor. Por ejemplo, M/m=2. y cuando M/m=100.En la parte superior del applet, se proporcionan los datos relativos:
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Physics challenges for teachers and students (Solutions to November 2004), The Physics Teacher 43 (2005), pp. s2-s3
public abstract class RungeKutta {
double h;
RungeKutta(double h){
this.h=h;
}
public void resolver(Estado2 e){
//variables auxiliares
double k1, k2, k3, k4;
double l1, l2, l3, l4;
double q1, q2, q3, q4;
double m1, m2, m3, m4;
//condiciones iniciales
double x=e.x;
double v=e.v;
double t=e.t;
k1=h*v;
l1=h*f(x, v, t);
k2=h*(v+l1/2);
l2=h*f(x+k1/2, v+l1/2, t+h/2);
k3=h*(v+l2/2);
l3=h*f(x+k2/2, v+l2/2, t+h/2);
k4=h*(v+l3);
l4=h*f(x+k3, v+l3, t+h);
//nuevo estado del sistema
x+=(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
v+=(l1+2*l2+2*l3+l4)/6;
//cambia el estado de la partícula
e.x=x;
e.v=v;
e.t=t+h;
}
abstract public double f(double x, double v, double t);
}
public class Oscilador extends RungeKutta{
double masa;
double lon;
Oscilador(double masa, double lon, double h){
super(h);
this.masa=masa;
this.lon=lon;
}
public double f(double x, double v, double t){
double y=-Math.sin(x)*Math.cos(x)*v*v/(masa+Math.sin(x)*Math.sin(x))-
9.8*(masa+1)*Math.sin(x)/((masa+Math.sin(x)*Math.sin(x))*lon);
return y;
}
}
//creación de objetos //mB es la masa de la plataforma, lon es la longitud del péndulo, dt es el paso de integración Oscilador oscilador=new Oscilador2(mB, lon, dt); //ang es el ángulo inicial Estado estado=new Estado2(0.0, ang, 0.0); //calcula la posición angular y la velocidad angular del péndulo en función del tiempo oscilador.resolver(estado); |
Péndulo sobre una
plataforma móvil
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