Dinámica |
Sistemas de partículas Dinámica de un sistema de partículas Sistemas aislados Un bloque desliza sobre una cuña móvil Péndulo sobre una plataforma móvil El problema de dos cuerpos Movimiento del c.m. y de las partículas.(I) Movimiento del c.m. y de las partículas.(II) Un modelo del saltador
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 El operario se mueve con velocidad
constante. |
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El movimiento de retención-deslizamiento (stick-slip) es común en muchas situaciones físicas: los chirridos que se producen entre dos superficies en contacto, molestos cuando se abre una puerta, pero armoniosos cuando se toca un violín. En otras páginas de este Curso de Física se ha estudiado este fenómeno: Supongamos que utilizamos una cuerda elástica para tirar de una caja. Al principio, la cuerda no ejerce fuerza sobre la caja. A media que la goma se alarga, aumenta la fuerza sobre la caja inmóvil hasta que esta fuerza alcanza un valor límite determinado por el coeficiente de rozamiento estático. La caja se pone en movimiento, se acelera primero, hasta que la fuerza que ejerce la cuerda sea igual a la fuerza de rozamiento cinético, luego, la caja decelera, disminuye su velocidad hasta que se para y comienza un nuevo ciclo. El movimiento de la caja consta de dos fases:
En esta página, se estudia el movimiento de una caja unida por una cuerda de cuyo extremo tira un operario:
En ambos casos, supondremos que la cuerda se comporta como un muelle elástico
El operario se mueve con velocidad constante.La masa de la caja es M, el muelle elástico de constante k tiene una longitud natural d. El coeficiente de rozamiento estático es μs y el coeficiente de rozamiento cinético μk≤ μs. En la figura, se muestra la caja, el muelle elástico y el operario O en la situación inicial. La caja en el origen x=0, y el operario en la posición y=d.
La caja en reposoCuando el operario se mueve hacia la derecha una distancia y del origen, el muelle se estira y la caja permanece en reposo en x=0. La fuerza de rozamiento Fr es igual a la fuerza que ejerce el muelle deformado k(y-d). En el momento en el que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo μsMg, la caja empieza a deslizar.
La posición del operario es y0 tal que k(y0-d)= μsMg En este instante ponemos en marcha el reloj, t=0 La caja deslizaEn un instante dado t, la caja se encuentra en la posición x y el operario se encuentra en la posición y
Las fuerzas sobre la caja son:
Las ecuaciones del movimiento de la caja y del operario son, respectivamente
La solución de la ecuación diferencial es
La amplitud A y la fase φ se determina a partir de las condiciones iniciales En el instante t=0, la caja parte de la posición x0 con velocidad nula dx/dt=0
La caja acelera primero y luego, decelera hasta que se detiene en el instante t,
La posición de la caja y la del operario en este instante es
A partir de este momento, la caja permanece en reposo y volverá de deslizar cuando la fuerza de rozamiento alcance su valor máximo μsMg. La caja se mueve a tirones describiendo los ciclos. Las sucesivas posiciones de la caja en reposo xi y del operario yis (cuando la caja se para) e yik (cuando la caja empieza a deslizar) son:
y así, sucesivamente En la figura, se muestra la trayectoria de la caja en el espacio de fases x-v. Se observa las posiciones de la caja en reposo, en el eje horizontal. La velocidad de la caja aumenta, alcanza un máximo y luego, disminuye hasta que se detiene, comenzando un nuevo ciclo.
Datos v=1.0 m/s, k=10 N/m, M=1 kg, μs=0.75, μk=0.5 En la figura, se observa la velocidad de la caja en función del tiempo total tt. Observamos que la velocidad de la caja aumenta, alcanza un máximo y luego, disminuye hasta que se detiene. La velocidad máxima se alcanza en el instante medio t=(2π-φ)/ω y su valor es ωA
En la figura, se observa la posición de la caja en función del tiempo total tt. Los segmentos horizontales indican que la caja permanece en reposo durante un determinado intervalo de tiempo, el primero vale (µsg/ω2)/v y el resto (2µsg/ω2-2µkg/ω2)/v
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza El applet simula el movimiento de la caja y del operario, representado por un vehículo que se mueve con velocidad constante, ambos unidos por un muelle elástico. En la parte superior, se representa la trayectoria de la caja en el espacio de las fases x-v. Se representan mediante flechas, las fuerzas sobre la caja |
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El operario ejerce una fuerza constanteTenemos en este caso, un sistema de dos partículas bajo la acción de dos fuerzas externas, la fuerza F que ejerce el operario y la fuerza de rozamiento Fr que ejerce el suelo sobre la caja y una fuerza de interacción mutua, que es la que ejerce el muelle elástico deformado que une ambos cuerpos. En la figura, se muestra la situación inicial
Supongamos que un operario de masa m tira del extremo del muelle elástico de constante k con una fuerza constante F. El otro extremo del muelle elástico está unido a una caja de masa M. Estudiaremos la dinámica del sistema formado por ambos cuerpos. El planteamiento del problema tiene dos partes:
La caja está en resposoEn un determinado instante t, el operario se encuentra en la posición y. Las fuerzas sobre el operario son:
Como la caja está en reposo, la fuerza de rozamiento Fr se equilibra con la fuerza que ejerce el muelle elástico.
La ecuación del movimiento del operario es
cuya solución es
La amplitud y la fase inicial se determinan a partir de las condiciones iniciales: En el instante t=0, el operario parte de la posición y0 con velocidad v0y
En el instante tf en el que la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo μsMg, la caja empieza a deslizar. k(y-x0-d)= μsMg La posición yf y velocidad final vfy del operario son
Cuando empujamos una caja de masa M, la fuerza F mínima necesaria para que empiece a deslizar es F= μsMg. Sin embargo, si tiramos de la caja por medio de un muelle, la fuerza F mínima necesaria es la mitad F= μsMg/2, como vamos a demostrar a continuación: La caja parte de la posición x0=0, y el operario de la posición y0=d, con velocidad v0y=0 Con estas condiciones iniciales, la amplitud A y la fase inicial φ valen, respectivamente A=F/(mω2) y φ=3π/2 Para que la caja empiece a deslizar tiene que existir la raíz tf de la ecuación
es decir
El valor mínimo de F= μsMg/2 Si F< μsMg/2, la caja permanece en reposo y el operario describe un M.A.S. de amplitud A y frecuencia angular ω. La posición de equilibrio (la fuerza sobre le operario es nula) se encuentra en d+F/(mω2) La figura muestra la trayectoria del operario en el espacio de las fases x-v, la caja está en reposo en el origen. El operario alcanza una velocidad máxima cuando pasa por la posición de equilibrio y una velocidad mínima en d y en d+2F/(mω2).
Datos: F=3 N, M=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75
La caja empieza a deslizarEn un determinado instante t, el operario se encuentra en la posición y y la caja se encuentra en la posición x.
Las fuerzas sobre el operario son:
Las fuerzas sobre la caja son:
Las ecuaciones del movimiento de la caja y del operario son, respectivamente
Movimiento relativo Multiplicamos la primera ecuación por m y la segunda por M y las restamos
Llamando ξ=y-x-d
La solución de esta ecuación diferencial es
Movimiento del centro de masas La posición del centro de masas es
Sumando las dos ecuaciones diferenciales
El movimiento del centro de masas depende solamente de las fuerzas externas y es uniformemente acelerado
Posición de las partículas del sistema Conocido la ecuación del movimiento relativo de las dos partículas ξ(t) y la posición del centro de masas z(t), podemos despejar la posición x de la caja y la posición y del operario. y-x-d= ξ(t)
La amplitud B, la fase f, la posición inicial z0 y la velocidad inicial v0z del centro de masas se determinan a partir de las condiciones iniciales. En el instante t=0, la posición de la caja es x0 y parte del reposo v0x=0 La posición y0 y velocidad v0y del operario son las finales de la etapa anterior:
La posición inicial y la velocidad inicial del centro de masas son
La velocidad de la caja en esta etapa es
La velocidad de la caja se hace cero en un instante t raíz de la ecuación trascendente
En la figura, se muestra la velocidad de la caja en función del tiempo. La raíz buscada t está entre el instante t1 para el que la velocidad es máxima y el instante t2 para el cual la velocidad es mínima. El máximo y el mínimo son las raíces de la ecuación
La figura muestra la trayectoria en el espacio de las fases x-v, de la caja (en color rojo) y del operario (en color azul) cuando el c.m. decelera F< μkMg, su velocidad se hace cero al cabo de cierto tiempo y el sistema de partículas no puede moverse más allá de cierta distancia.
Datos: F=4.5 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75, μk=0.5 La figura muestra la trayectoria en el espacio de las fases x-v, de la caja (en color rojo) y del operario (en color azul) cuando el c.m. se mueve con velocidad constante F=μkMg.
Datos: F=4.9 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75, μk=0.5 La figura muestra la trayectoria en el espacio de las fases x-v, de la caja (en color rojo) y del operario (en color azul) cuando el c.m. acelera F>μkMg.
Datos: F=5.5 N, M=1 kg, m=1 kg, k=8 N/m, μs=0.75, μk=0.5 Balance energéticoLa energía del sistema de partículas es la suma de la energía cinética de las dos partículas y de la energía potencial de interacción entre ambas.
El trabajo de las fuerzas exteriores Wext=F(y-d)- μkMgx modifica la energía del sistema de partículas Wext=U-U0
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Empieza Los valores críticos de la fuerza F son
El applet simula el movimiento de la caja y del operario, representado por un vehículo, ambos unidos por un muelle elástico. Se representan mediante flechas, las fuerzas sobre la caja y sobre el operario En la parte superior, se representa en el espacio de las fases x-v
En la parte izquierda del applet, se representa el balance energético La altura de la barra, es el trabajo realizado por la fuerza constante F
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Tirando de una caja
