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Dinámica de fluidos Vaciado de un depósito (I) Vaciado de un depósito (II) Cohete propulsado por agua Oscilaciones en un tubo en forma de U
Fluidos reales Ley de Poiseuille Viscosidad de un gas Viscosidad de un líquido Fluido entre dos cilindros coaxiales Descarga de un tubo-capilar Carga y descarga de un tubo-capilar Analogía de las series de desintegración radioactiva Régimen laminar y turbulento Efecto Magnus |
Oscilaciones en dos vasos comunicantes | |
| Vamos a describir las oscilaciones de un fluido ideal contenido en dos vasos comunicantes cuyas alturas iniciales difieren de la de equilibrio.
Oscilaciones en dos vasos comunicantesSean h01 y h02 las alturas iniciales del fluido en cada uno de los recipientes, y S1 y S2 sus secciones respectivas, la altura de equilibrio h se obtiene de la relación S1h01+S2h02=(S1+S2)h
Cuando el fluido en el primer recipiente se desplaza x1 de la posición de equilibrio, en el segundo recipiente se desplazará x2 de la posición de equilibrio. Como el volumen total de fluido en ambos recipientes es constante, la relación entre estos desplazamientos será S1x1=S2x2 (1) Ecuación de continuidad Si v1 es la velocidad del fluido en el primer recipiente, v2 en el segundo y u en el tubo que comunica ambos recipientes se cumplirá por la ecuación de continuidad que S1v1=S2v2=Su (2) Balance energético Las masas de fluido que hay en cada uno de los recipientes y en el tubo de comunicación en un instante t determinado, serán respectivamente:
Donde S es la sección del tubo de comunicación y d su longitud Variación de energía cinética entre el instante t y el instante t+dt. Variación de energía potencial: una masa dm pasa desde la posición inicial h+x2 a la posición final h-x1. donde dm=-r S1dx1, ya que x1 disminuye Principio de conservación de la energía DEk=DEp A partir de esta ecuación y de las relaciones (1) y (2), escribimos v1 en función de x1.
dividiendo ambos miembros por dt, llegamos a la ecuación diferencial
Para simular el comportamiento de este sistema oscilante, se resuelve la ecuación diferencial de segundo orden mediante el procedimiento numérico de Runge-Kutta con las condiciones iniciales v1=0, cuando x1=h-h10. Siendo h la altura de equilibrio, y h10 la altura inicial en el primer recipiente.
Oscilaciones armónicas en dos vasos igualesEl término b es nulo cuando S1 es igual a S2. La ecuación diferencial se convierte en
Ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia angular ω2=g/a y cuyo periodo es
Energías cinética y potencial Volviendo de nuevo al caso general, calculamos la energía potencial y la energía cinética, comprobando que su suma es constante. La energía potencial del fluido contenido en ambos recipientes (la energía potencial del fluido contenido en el tubo de comunicación no cambia) es
Donde m1 es la masa de fluido en el primer recipiente y m2 en el segundo. El centro de masa se encuentra a la mitad de la altura. A partir de la relación (1), y escribiendo la masa como producto de la densidad del fluido r por el volumen que la contiene, expresamos Ep en función de x1 y h.
La energía cinética es la suma de la energía cinética del fluido en el primer recipiente, en el segundo y en el tubo de comunicación.
A partir de las relaciones (1) y (2), y escribiendo la masa como producto de la densidad del fluido r por el volumen que la contiene, expresamos Ek en función de x1 y h y v1
Cuando S1 es igual a S2 el término en x1 desaparece. Si la ecuación del MAS es x1=A·sen(w t), v1=Aw cos(w t), sumando los valores de la energía cinética y potencial se tiene que obtener un valor constante de la energía total independiente del tiempo t. Por tanto, los coeficientes del sen2 y del cos2 tienen que tener el mismo valor. De ahí, obtenemos el valor del cuadrado de la frecuencia angular w .
que es la mismo que ω2=g/a cuando S1=S2 Cuando los depósitos tienen la misma sección hemos obtenido por dos procedimientos distintos la frecuencia angular y el periodo del MAS que describe EjemploSe arrastra con el puntero del ratón las flechas de color rojo y de color azul, para establecer las alturas iniciales h01 y h02 del fluido en ambos recipientes. Se introducen los valores de:
Las secciones de los recipientes y del tubo valdrán, respectivamente
La altura de fluido h en equilibrio se obtiene S1h01+S2h02=(S1+S2)h Al ser las secciones iguales, la altura de equilibrio es la media de las alturas iniciales h=(20+30)/2=25 cm=0.25 m. El periodo de las oscilaciones vale
ResumenEn general, cuando el nivel de fluido ideal contenido en dos vasos comunicantes se desvía de la posición de equilibrio, el sistema oscila, pero no describe un MAS. Cuando las secciones de ambos recipientes son iguales o bien, cuando el término b es despreciable frente a a, el sistema describe un MAS cuyo periodo hemos calculado en la sección precedente.
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo Se establece
Se pulsa el botón titulado Empieza. Cuando se cambia los parámetros del sistema (radios de los recipientes o del tubo de comunicación) se pulsa el botón titulado Nuevo y a continuación, se establecen las alturas iniciales del fluido en los dos recipientes moviendo con el puntero del ratón las flechas de color azul y rojo. Para observar las oscilaciones, se pulsa el botón titulado Empieza.
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Se arrastra con el puntero del ratón las flechas de color rojo y azul
Esta página se ha elaborado a partir del enunciado y solución del problema 203 del libro
Wittenbauer F..Problemas de Mecánica General y Aplicada. Tomo III Editorial Labor (1963) .
Oscilaciones en vasos
comunicantes
