Fluidos

Dinámica de fluidos

Vaciado de un depósito (I)

Vaciado de un depósito (II)

Cohete propulsado
por agua

Oscilaciones en un tubo
en forma de U 

Oscilaciones en vasos
comunicantes

Fluidos reales
Ley de Poiseuille

Viscosidad de un gas

Viscosidad de un líquido

Fluido entre dos
cilindros coaxiales

Descarga de un 
tubo-capilar

Carga y descarga de
un tubo-capilar

Analogía de las series de
desintegración radioactiva

Régimen laminar y 
turbulento

Efecto Magnus

Medida de la viscosidad de un gas mediante un tubo capilar

Referencias

En esta página, se describen dos experimentos diseñados para medir la viscosidad de un gas

• En el primero, la viscosidad del gas hace que la velocidad angular de rotación de un disco disminuya con el tiempo.

• En el segundo, la presión del gas contenido en un recipiente disminuye al salir el gas por un tubo-capilar conectado al recipiente.

Medida de la viscosidad de un gas mediante un disco que gira

En este apartado se simula una experiencia que mide la viscosidad de un gas observando la disminución de la velocidad angular de rotación de un disco.

	Cuando se le proporciona a un disco una velocidad angular de rotación, el rozamiento en el eje provoca que una disminución de la velocidad angular de rotación lineal con el tiempo I·α=-M ω=ω0-α·t
	Como vamos a demostrar a continuación, el efecto de la viscosidad del gas sobre un disco en rotación es su velocidad angular disminuya de forma exponencial con el tiempo ω=ω0·exp(-k·t)

El dispositivo experimental consta de un disco de radio R, que puede girar alrededor de un eje vertical con un rozamiento muy pequeño en los rodamientos. El disco de masa m está suspendido por la presión del gas a una altura h (muy pequeña) por encima de una superficie plana.

Se le proporciona al disco una velocidad angular inicial ω₀, se mide la velocidad angular ω en función del tiempo t, representándose en el eje vertical el logaritmo neperiano de la velocidad angular, ln(ω) y en el eje horizontal el tiempo t. Se obtiene una recta. A partir de la pendiente de la recta, calculamos la viscosidad del gas.

Fundamentos físicos

El coeficiente de viscosidad está relacionado con la distribución de velocidades en las capas de fluido situadas entre dos superficies en movimiento relativo. Las velocidades de estas capas tienen que ser menores que la velocidad media de las moléculas del gas, que es mayor que 500 m/s a temperatura ambiente, 293ºK .

Al estudiar el concepto de viscosidad, vimos que la fuerza por unidad de área era proporcional al gradiente de velocidad, la constante de proporcionalidad se denomina coeficiente de viscosidad h

En un instante t, el disco gira con velocidad angular ω. Consideremos el gas contenido en la capa cilíndrica de radio r, espesor dr y altura h. El gas que está cerca de la placa horizontal tiene velocidad cero y el gas que está próximo al disco, lleva una velocidad angular ωr.

El área del anillo de radio r y espesor dr es 2πr·dr. El gradiente de velocidad es ωr/h

La definición de viscosidad se expresa en este caso,

El momento de esta fuerza respecto del eje de rotación es

dM=r·dF

El momento total de las fuerzas que ejerce el gas sobre cada uno de los anillos en los que se ha dividido el disco es

Este momento se opone a la rotación del disco. La ecuación de la dinámica de rotación es

Idω/dt=-M

El momento de inercia I de un disco  respecto de un eje perpendicular al disco y que pasa por su centro es I=mR²/2

donde ω₀ es la velocidad angular inicial, en el instante t=0.

La velocidad angular de rotación disminuye exponencialmente con el tiempo

Tal como se afirma en el artículo citado en las referencias, la medida de la pequeña distancia h entre el disco y la placa horizontal se realiza de forma indirecta a través de la medida de la capacidad C del condensador formado por el disco y el plano

Actividades

• Se selecciona el gas, cuya viscosidad se desea medir, en el control de selección titulado Gas.

• La masa del disco se ha fijado en m=1.3 kg.

• El radio del disco, R=6.25 cm

• La distancia entre el disco y el plano horizontal en h=0.16 mm

• La velocidad angular inicial de rotación del disco ω₀=6.0 rad/s

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa el disco en rotación. En la parte superior del applet, se representa:

• En el eje horizontal, el tiempo t en minutos

• En el eje vertical, ln(ω)

Calculamos la pendiente, k, obtenemos el valor de la viscosidad η del gas seleccionado.

Los valores de la viscosidad de los gases estudiados se han tomado del artículo citado en las referencias.

Ejemplo.

Se selecciona Hidrógeno

En el instante t=8 min, ln(ω)=1.54

O bien, en el instante t=480 s, ω=4.67 rad/s

Medida de la viscosidad de un gas mediante un tubo capilar

La ley de Poiseuille para los gases

Supongamos un tubo capilar de radio r y longitud L por el cual fluye un gas cuando la diferencia de presión en sus extremos es p-p₀

La ley de Poiseuille que hemos deducido para un fluido viscoso incomprensible, afirma que el gasto G=dV/dt (volumen de fluido que atraviesa la sección normal del capilar en la unidad de tiempo) es directamente proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir al cociente (p-p₀)/L.

Ahora bien, para un gas que fluye a través del tubo capilar, el volumen de gas que entra en la unidad de tiempo a una presión p no es igual al volumen que sale del tubo a la presión p₀ (atmosférica) debido a la comprensibilidad de los gases. Sin embargo, la masa de gas que entra en la unidad de tiempo es igual a la masa de gas que sale en la unidad de tiempo.

Escribimos la ley de Poiseuille de la forma

dV/dt es el volumen de gas que atraviesa la sección normal del tubo capilar situada a una distancia x del extremo del tubo, en la unidad de tiempo. dp/dx es el gradiente de presión en dicha posición.

Teniendo en cuenta la ley de los gases ideales p·V=nRT

• n es el número de moles n=m/M ,

• m es la masa de gas contenida en el volumen V,

• M el peso molecular,

• R=8.3143 J/(K·mol) la constante de los gases

• T la temperatura absoluta.

La ley de Poiseuille se escribe

El signo menos aparece por que la presión p del gas disminuye a medida que sale por el tubo capilar

Integramos esta ecuación teniendo en cuenta que dm/dt es constante a lo largo del tubo capilar. La presión en el extremo x=0 del tubo capilar es p y la presión en el otro extremo x=L es p₀ (atmosférica).

El dispositivo experimental

En la figura, se muestra la situación inicial del dispositivo. El manómetro de mercurio a la izquierda, el volumen V₀ de la región comprendida entre el mercurio y el tubo capilar, el tubo capilar de longitud L y radio r.

El gas cuya viscosidad se va a medir, se introduce en la región comprendida entre el mercurio del manómetro y el capilar, hasta alcanzar la presión p deseada.

La presión inicial del gas es p=p0+2ρgh0 El volumen inicial del gas es V=V0+S·h0 Siendo S la sección del manómetro

Cuando se alcanza la presión deseada, se abre la llave situada en el extremo del capilar, el gas fluye a través del mismo impulsado por la diferencia de presión p-p₀, la diferencia de alturas 2h de los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro va disminuyendo.

En el instante t la diferencia de alturas de los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es 2h.

La presión p y el volumen V del gas contenido en el recipiente, va cambiando con el tiempo. La masa m de gas contenido en el recipiente, disminuye. La masa que atraviesa la sección normal del capilar en la unidad de tiempo es, aplicando la ley de los gases ideales

Aplicando la ley de Poiseuille al movimiento de un gas a través de un capilar

Para integrar expresamos el volumen V del gas y su presión p en función de la variable h.

p=p₀+2ρgh     dp=2ρg·dh
V=V₀+S·h       dV=S·dh

p₀= ρgH, es la presión atmosférica. H=76 cm altura de la columna de mercurio

La diferencia ente los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es 2h₀ en el instante t=0. Al cabo de un cierto tiempo t, ha salido una cierta cantidad de gas por el tubo-capilar y la presión ha disminuido, la diferencia entre los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro es 2h.

Manteniendo fijos h₀ y h en las medidas que se realizan con los gases disponibles, vemos que el tiempo t es proporcional a la viscosidad η,  la constante de proporcionalidad K se denomina constante del aparato. Se determina, habitualmente, a partir del dato de la viscosidad conocida de un gas (por ejemplo, el aire).

Como la diferencia de alturas 2h ente los niveles de mercurio en las dos ramas del manómetro, es una función implícita del tiempo t. En la simulación, se calcula el tiempo  t_i que corresponde a n valores de la altura h_i comprendidas entre h₀ y 0 (excluido h=0). A partir de estos pares de datos, se calcula una función de interpolación para cualquier valor de t empleando el procedimiento denominado polinomio de Lagrange, tal como se aprecia en la figura.

Actividades

• Se selecciona el gas, en el control de selección titulado Gas

Los datos que se ha fijado en el programa interactivo (tomadas parcialmente del segundo artículo citado en las referencias) son los siguientes:

• Densidad del mercurio, ρ=13.55 g/cm³

• Longitud del capilar, L=85.0 cm

• Radio del capilar, r=0.127 mm

• Área de la sección del manómetro, S=3.89 cm²

• Volumen inicial cuando se introduce el gas, V₀=81.65 cm³

• La presión atmosférica equivale a la presión de una columna de mercurio de H=76 cm de altura.

Se pulsa el botón titulado Inicio

Se cierra la llave situada en el extremo del tubo capilar.

Se abre la llave de admisión del gas y la región comprendida entre el mercurio y el tubo capilar se va llenando de gas. La presión y el volumen del gas aumentan. Cuando el manómetro marca una altura h₀,

• La presión inicial del gas es p=p₀+2ρgh₀

• El volumen inicial del gas es V=V₀+S·h₀

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se cierra la llave de admisión del gas y se abre la llave en el extremo del tubo capilar, de modo que el gas empieza a salir. La presión y el volumen del gas disminuyen, cuando el nivel del mercurio en el manómetro señala una altura h se pulsa el botón titulado Pausa

Se anota h y el tiempo t. Se calcula la viscosidad η del gas.

Ejemplo

• Se elige Hidrógeno

• Se introduce el gas a la máxima presión. El manómetro marca h₀=20 cm

• Se deja salir el gas a través del tubo capilar

• Cuando el manómetro marca h=10 cm, ha transcurrido un tiempo t=145.0 s

η=8.84·10^-6 kg/(m·s)

Pulsando el botón titulado Respuesta obtenemos el valor η=8.85·10^-6 kg/(m·s) próximo al calculado.