Aspirando líquido por una larga paja

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Fluidos

Estática de fluidos
Ecuación fundamental
Paradoja hidrostática
Densidad relativa de un
líquido
Prensa hidráulica
Medida de la presión
atmosférica
marca.gif (847 bytes)Bomba de vacío
Dos tubos en forma de U
Acelerómetros
Ciclo de histéresis
La bomba de vacío

Aspirando líquido por una larga paja

Referencias

 

Supongamos que un recipiente que contiene un refresco está situado al nivel del suelo. Vivimos en un segundo piso, a 12 m de altura, hace calor y deseamos beber el refresco aspirando el líquido por una larga paja, tal como se muestra en la figura. En esta página, se discute cómo se puede lograr beber el refresco.

La bomba de vacío

Para hacer ascender el líquido por la larga paja aspiramos, retirando cierta cantidad de aire hacia nuestros pulmones, disminuyendo la presión del aire contenido en la paja. Una máquina de hacer vacío realiza una función análoga de forma cíclica.

Se conecta una bomba de vacío a un depósito de volumen V que contiene aire a la presión atmosférica p0.

En la parte superior de la figura, vemos que el émbolo de la bomba de vacío se mueve hacia la derecha, la válvula B que conecta con el recipiente se abre y la válvula A situada en el émbolo que conecta la bomba con la atmósfera se cierra. A medida que se mueve el émbolo, el aire del recipiente se expansiona y entra en la bomba de volumen v.

Cuando el émbolo ha completado el recorrido, el aire contenido inicialmente en el recipiente ocupa ahora un volumen v+V. La presión p1 del aire disminuye

Supondremos que la expansión se realiza de forma isotérmica, sin que cambie la temperatura del aire.

El émbolo se mueve hacia la izquierda, (véase la parte inferior de la figura) se cierra la válvula B que conecta con el recipiente y se abre la válvula A en el émbolo, haciendo que el aire contenido en la bomba salga hacia la atmósfera.

Cuando comienza el nuevo ciclo, el aire que ocupa el recipiente está a la presión p1. Se abre la válvula B, y se cierra la válvula A, el émbolo se mueve hacia la derecha. El aire del recipiente se expansiona ocupando un volumen v+V. La presión p2 del aire disminuye. El émbolo se mueve hacia la izquierda, se cierra la válvula B que conecta con el recipiente y se abre la válvula A en el émbolo, haciendo que el aire contenido en la bomba salga hacia la atmósfera. La presión del aire contenido en el recipiente al final del segundo ciclo es

Al cabo de n ciclos la presión del aire en el recipiente es

Actividades

Se introduce

  • El volumen v de la bomba de vacío, actuando en la barra de desplazamiento titulada Volumen bomba.

  • El volumen V del recipiente se ha fijado en la unidad.

Se pulsa el botón titulado Empieza

Se observa cómo disminuye la presión en el recipiente, mediante el manómetro de mercurio conectado al mismo.

En la parte inferior del applet, se representa:

  • En el eje vertical la presión pn en atmósferas del recipiente al final de cada ciclo

  • En el eje horizontal, el número de ciclo n.

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
                                      

 

Aspirando líquido por una larga paja

Una vez que hemos comprendido el funcionamiento de una bomba de vacío, vamos a conectarla a una paja de longitud L y sección uniforme S. La bomba de vacío tiene un volumen d·S que equivale a una longitud d de la paja.

En la situación inicial, se pone la paja en el depósito que supondremos grande, de modo que no cambie apreciablemente de nivel cuando el líquido asciende por la paja y aspiramos por el otro extremo con una máquina de hacer vacío.

Primer ciclo

En la situación inicial, el aire contenido en la paja de longitud L está a la presión atmosférica p0.

Cuando el émbolo se desplaza x, el gas se expansiona, la presión disminuye, el líquido asciende una altura h por encima del nivel de líquido en el depósito. Sea p la presión del aire. Suponiendo una transformación isotérmica.

p((L-h)·S+Sx)=p0LS

La columna de líquido de altura h está en equilibrio, bajo la acción de

  • La fuerza que ejerce la presión p del aire contenido en la paja

  • El peso de la columna de fluido, ρgSh

  • La fuerza que ejerce la presión atmosférica p0 en la base

p0·S= ρgSh +p·S

Despejamos la presión p y la altura h de la columna de fluido

(p0-ρgh)(L-h+x)= p0·L
ρgh2-
(p0+ρg(L+x))h+p0x=0

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

La presión vale

p=p0-ρgh

Cuando el émbolo completa el recorrido x=d, la altura h1 de la columna de fluido y la presión p1 del aire contenido en la paja.

La presión final vale  

p1=p0-ρgh1

Se cierra la válvula que comunica el tubo con la máquina de vacío. El émbolo se mueve a la izquierda y salen a la atmósfera un número Δn1 moles de aire que ocupan un volumen S·d a la presión p1.

p1·S·dn1RT

Segundo ciclo

El émbolo está situado en el origen x=0. La altura de la columna de fluido es h1. El aire, contenido en una porción L-h1 de la paja, está a la presión p1.

Cuando el émbolo se desplaza x el gas se expansiona, la presión disminuye, el líquido asciende una altura h por encima del nivel de líquido en el depósito. Sea p la presión del aire. Suponiendo una transformación isotérmica.

p((L-h)·S+Sx)=p1(L-h1)S

La columna de líquido de altura h está en equilibrio, bajo la acción de

  • La fuerza que ejerce la presión p del aire contenido en la paja

  • El peso de la columna de fluido, ρgSh

  • La fuerza que ejerce la presión atmosférica p0 en la base

p0·S= ρgSh +p·S

Despejamos la presión p y la altura h de la columna de fluido

(p0-ρgh)(L-h+x)=p1(L-h1)S
ρgh2-
(p0+ρg(L+x))h+p0(L+x)- p1(L-h1)=0

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

La presión vale

p=p0-ρgh

Cuando el émbolo completa el recorrido x=d, la altura h2 de la columna de fluido y la presión p2 del aire contenido en la paja es.

La presión final vale

p2=p0-ρgh2

Ciclo n

Cuando el émbolo completa el recorrido x=d, la altura hn de la columna de fluido y la presión pn del aire contenido en la paja se calcula mediante el sistema de dos ecuaciones que describen:.

Una transformación isotérmica:   pn((L-hn)·S+Sd)=pn-1(L-hn-1)S  
Una situación de equilibrio:   p0S=pnS+ρgShn       

La raíz positiva de la ecuación de segundo grado es

pn=p0-ρgh

Esta es una relación de recurrencia cuyos valores iniciales son:  p0 que es la presión atmosférica y h0=0 es la altura inicial de la columna de fluido.

La figura muestra la altura hn de la columna fluido (agua) en función del número de ciclo n. En el programa interactivo, más abajo, se representa el cociente pn/p0 en función de n.

Ejemplo:

  • El líquido es agua ρ=1000 kg/m3

  • La presión atmosférica p0=101300.0 Pa

  • La longitud de la paja L=13 m

  • El volumen de la bomba de vacío equivale al de una paja de longitud d=1.0 m

 Aplicando la relación de recurrencia

h1=0.432 m, p1=97062.3 Pa=0.958 atm
h2
=0.862 m, p2=92850.0 Pa=0.917 atm
h3
=1.289 m, p2=88664.6 Pa=0.875 atm
……

Cuando el número de ciclos tiende a infinito, la presión p→0, y la altura del fluido tiende a

Actividades

Se introduce

  • La densidad del líquido ρ, en g/cm3 actuando en la barra de desplazamiento titulada Densidad.

  • La longitud de la paja L=13 m

  • El volumen de la bomba de vacío equivale al de una paja de longitud d=1.0 m

  • La presión atmosférica p0=101300.0 Pa

Se pulsa el botón titulado Empieza

La bomba de vacío comienza a extraer aire de la paja, observamos que el líquido asciende hasta que alcanza una altura límite, dada por la fórmula

En la parte derecha del applet, se representa

  • En el eje vertical, la presión del aire en la paja pn/p0 después de cada ciclo del émbolo,

  • En el eje horizontal, el número n de ciclo.

Conclusiones

Si el recipiente con refresco está situado al nivel del suelo y el muchacho vive en un piso a una altura superior a hmax=p0/(ρg). El muchacho será incapaz de tomar el refresco si mantiene el extremo inferior de la paja sumergido en el líquido.

Si aspira por la paja, haciendo ascender el líquido una altura h y a continuación eleva la paja, permitiendo que el aire entre por su extremo inferior, conseguirá que esa porción de líquido llegue a su boca. Puede repetir la operación tantas veces como lo desee hasta agotar el líquido contenido en el recipiente.

 

FluidoApplet1 aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

 

Referencias

Partenskii M. B. Two boys and a can of Coca-Cola. The Physics Teacher , Vol 40, February 2002, pp. 29

La primera figura de esta página ha sido dibujada por Vitaly Krichevsky, y enviada al autor por Michael Partenskii