Fluidos

Estática de fluidos

Ecuación fundamental

Paradoja hidrostática

Densidad relativa de un
 líquido

Prensa hidráulica

Medida de la presión
atmosférica

Bomba de vacío

Dos tubos en forma de U

Acelerómetros 

Ciclo de histéresis

Estados de equilibrio

El ciclo de histéresis

Análisis energético. Estabilidad

Actividades

Referencias

En esta página, se describe los estados de equilibrio de un fluido ideal que está contenido en un tubo en forma de U que gira alrededor de un eje vertical que pasa entre el eje de simetría y una de las dos ramas verticales del tubo.

Supondremos que el tubo está formado por tres brazos rectos de la misma sección, uno horizontal y dos verticales. Se suelda los extremos del brazo horizontal de longitud d, con cada uno de los extremos de los dos brazos verticales. Supondremos el diámetro interior del tubo es despreciable comparado con la distancia d entre los dos brazos verticales.

Se produce el fenómeno de la histéresis, cuando el sistema puede existir en varios estados estables para valores dados de las variables externas (o parámetros de control), y que éstos se pueden alcanzar por una variación lenta de los parámetros.  Un ejemplo típico es la magnetización de un material ferromagnético por un campo magnético externo.

El comportamiento del sistema físico está descrito por la altura del líquido z en el brazo más alejado del eje de rotación por encima de la altura de equilibrio h. El parámetro que cambia es la velocidad angular de rotación ω. En ciertos casos, cuando se alcanzan valores críticos de velocidad angular de rotación, el comportamiento del sistema experimenta un salto. Por otra parte, el comportamiento del sistema no es el mismo cuando se incrementa la velocidad angular de rotación que cuando se disminuye.

Análisis en términos de fuerzas

Situación inicial

El tubo se llena con líquido hasta una altura h en los dos brazos verticales. Sea a<d/2 la distancia entre el eje de rotación y el brazo vertical más próximo.

Configuración A

Cuando se hace girar con velocidad angular ω alrededor del eje vertical, la columna de líquido asciende z en el brazo más alejado del eje y desciende la misma cantidad en la más cercano al eje. Vamos a calcular z a partir de las condiciones de equilibrio del líquido en los tres brazos.

Brazo horizontal:

Al girar el tubo, la fuerza centrífuga actúa en los elementos del líquido situados en el brazo horizontal. La fuerza centrífuga que actúa sobre un elemento de masa dm situado a una distancia x del eje de rotación es dFc=ω2·x·dm=ρAω2x·dx donde ρ es la densidad del líquido y A la sección trasversal constante del tubo.

La fuerza centrífuga total sobre el líquido situado en el brazo horizontal a ambos lados del eje se obtiene integrando desde x=-a hasta x=d-a.

que es la diferencia de las dos fuerzas centrífugas que actúan sobre las porciones de líquido situadas a uno (0 a d-a) y otro lado (de 0 a a) del eje de rotación.

Brazos verticales

El peso del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación es Fg=ρAg(h+z)  y actúa en su centro de masa a una altura (h+z)/2 El peso del líquido contenido en el brazo vertical más cercano del eje de rotación es F’g=ρAg(h-z) y actúa en su centro de masa a una altura (h-z)/2

Equilibrio

En el equilibrio, la suma de fuerzas sobre el líquido contenido en el tubo debe ser cero

F_c+F'_g-F_g=0

A medida que incrementamos la velocidad angular de rotación ω, la altura z de líquido por encima de la de equilibrio h, en el brazo vertical más alejado del eje de rotación, va creciendo proporcionalmente ω², y decrece en el brazo más cercano al eje. Cuando z=h, desaparece el líquido en este brazo vertical. La velocidad angular ω_máx vale

Cuando la velocidad angular ω>ω_máx el líquido adopta la configuración B que describiremos a continuación.

Configuración B

En la configuración B, el brazo más próximo al eje no contiene líquido. El brazo horizontal está parcialmente lleno, la distancia del eje de rotación al extremo de la columna de líquido es z-a-h, tal como se muestra en la figura y como puede comprobarse fácilmente:

Como el fluido es incomprensible, la longitud total inicial de líquido es d+2h, por lo que en esta configuración,

• la longitud del líquido en el brazo horizontal es d-(a+z-h-a)=d-z+h

• y en el brazo vertical más alejado del eje es h+z

• En total, tenemos d+2h de líquido en el brazo horizontal y vertical del tubo en U

Brazo horizontal

La fuerza centrífuga sobre la porción de líquido en el tubo horizontal vale

Brazo vertical El peso del líquido contenido en el brazo vertical es Fg=ρAg(h+z)

Equilibrio

En el equilibrio F_c=F_g

Cuando z=h, obtenemos

La recta que describe los estados de equilibrio de configuración A y la curva que describe los de la configuración B se encuentran en el punto (ω², h)

Estados de equilibrio

En la figura, se representa la altura adicional z en el brazo vertical más alejado del eje en función del cuadrado de la velocidad angular ω² de rotación, para los valores de

• Distancia entre los brazos verticales, o longitud del tubo horizontal, d=2.0.

• Distancia al eje de rotación, a=0.85

• Altura inicial del líquido, h=0.6

Configuración A.

El valor de la velocidad angular ω de rotación que hace que z=h, es decir, desaparezca el líquido del brazo vertical más cercano al eje de rotación es

Se representa la función

en el intervalo 0<ω<ω_máx, que es la línea recta de color rojo de la figura

Configuración B

La relación entre z y la velocidad angular de rotación ω es más compleja

y se representa por la curva de color azul de la figura

Despejamos z en función de ω², obtenemos la ecuación de segundo grado

Las raíces de la ecuación son

Para un valor dado de ω>ω_min, existen dos valores de z uno corresponde a un equilibrio estable y el otro inestable, tal como veremos en el análisis energético.

El valor de ω_min se obtiene cuando las raíces son iguales, es decir, cuando el discriminante es cero B²=C, y z_min=B

Si tomamos el signo positivo de la raíz, obtendríamos un valor de z negativo, en cambio el valor negativo la raíz da lugar a un valor z positivo

Para la velocidad angular

La altura adicional del líquido z_min en el brazo vertical más alejado del eje de rotación, que corresponde a esta velocidad angular es

Podemos obtener z_min de forma alternativa, derivando ω² respecto de z en la expresión 

e igualándola a cero,

Con los datos numéricos proporcionados al principio de este apartado h=0.6, a=0.85 y d=2.0.

El ciclo de histéresis

En la figura, se muestra el ciclo de histéresis que sigue el líquido en el tubo en forma de U cuando se incrementa y luego, se disminuye la velocidad angular de rotación ω.

• En el eje vertical se representa la altura z del líquido en el brazo más alejado del eje de rotación, por encima de la altura inicial h.
• En el eje horizontal, el cuadrado de la velocidad angular de rotación ω²

Cuando se incrementa la velocidad angular de rotación 0<ω<ω_max, el tubo en U adopta la configuración A, la altura z del líquido en el brazo más alejado del eje de rotación, por encima de la altura de equilibrio h, se incrementa linealmente con ω² (recta de color rojo)

Cuando la velocidad angular de rotación ω alcanza el valor ω_max, (estado 1) desaparece el líquido del brazo vertical más cercano al eje de rotación z=h.

El sistema experimenta un salto (estado 2), estando descrito su comportamiento por la configuración B, la altura z que alcanza el líquido se obtiene poniendo ω=ω_máx en la raíz  de la ecuación que describe la configuración B.

Si disminuye la velocidad angular, el comportamiento del sistema sigue el camino 2, 3. Cuando alcanza el estado 3, que corresponde al par de valores (ω_min, z_min) experimenta un nuevo salto al estado 4, descrito por la configuración A. Si disminuye aun más la velocidad angular, la altura z disminuye linealmente hasta que alcanza el estado inicial de equilibrio z=0, cuando ω=0.

Los distintos casos

Se debe tener en cuenta que la distancia del eje de rotación a un brazo vertical más cercano es a<d/2, siendo d la longitud del brazo horizontal.

• Para que z_min sea real,

el radicando debe se positivo 2a+2h>d.

En la figura, se muestra la representación gráfica de z en función de ω² para h=0.6, a=0.3 y d=2.0, que no cumple esta condición y por tanto, no existe z_min.

• Para que exista histéresis, se tiene que cumplir que z_min>h, es decir

En la figura, se muestra la representación gráfica de z en función de ω² para h=0.8, a=0.4 y d=2.0. Existe z_min, pero no se cumple que z_min>h

• Condiciones para que se produzca histéresis

Las condiciones para que haya histéresis se pueden expresar mediante el sistema de  inecuaciones que delimitan la región coloreada de amarillo en el primer cuadrante del plano X, Y tal como se muestra en la figura.

Cuando seleccionamos un par de valores (a, h) que corresponden a un punto del plano (x, y)  interior de la región amarilla se obtiene una representación grafica de z en función de ω² similar a la de la figura al principio de este apartado. El sistema presenta histéresis.

Análisis energético. Estabilidad

En los apartados anteriores, hemos estudiado los posibles estados de equilibrio del sistema para una velocidad angular de rotación dada ω. El análisis energético nos permite examinar si el estado de equilibrio considerado es estable o inestable.

Energía potencial centrífuga

La fuerza centrífuga que actúa sobre una partícula de masa m situada a una distancia x del eje de rotación es F=m ω2·x =m ω2x

Se trata de una fuerza dependiente de la posición x de la partícula, similar a la que ejerce un muelle elástico, es por lo tanto, una fuerza conservativa.

• La fórmula de la energía potencial asociada a la fuerza que ejerce el muelle F=-kx es

• La fórmula de energía potencial asociada a la fuerza centrífuga F=mω²x es

Situamos el nivel cero de energía potencial gravitatoria a la altura del brazo horizontal, y el nivel cero de la energía potencial centrífuga en el eje de rotación

Configuración A

Energía potencial gravitatoria

La masa del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación es ρA(h+z), su centro de masa se encuentra a una altura (h+z)/2 La masa de líquido contenido en el brazo vertical más cercano del eje de rotación es ρA(h-z), su centro de masa se encuentra a una altura (h-z)/2

La energía potencial gravitatoria del líquido contenido en los dos brazos verticales es

La energía potencial gravitatoria del líquido contenido en el brazo horizontal es cero.

Energía potencial centrífuga

Calculamos primero la energía potencial centrífuga del líquido contenido en el brazo vertical más cercano al eje de rotación cuyo radio es a, y la del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación cuyo radio es d-a,

La energía potencial centrífuga del líquido contenido en el brazo horizontal, es la suma de la energía potencial de cada uno de los elementos de masa dm que distan x del eje de rotación.

La energía potencial total del líquido en la configuración A es

E_p(z)=E_1c+E_2c+E_g

Configuración B

Energía potencial gravitatoria

El brazo vertical más cercano del eje de rotación no tiene líquido alguno La masa del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación es ρA(h+z), su centro de masa se encuentra a una altura (h+z)/2

La energía potencial gravitatoria del líquido contenido en este brazo es

La energía potencial gravitatoria del líquido contenido en el brazo horizontal es cero.

Energía potencial centrífuga

Calculamos la energía potencial centrífuga del líquido contenido en el brazo vertical más alejado del eje de rotación cuyo radio es d-a,

La energía potencial centrífuga del líquido contenido en el brazo horizontal parcialmente lleno, es la suma de la energía potencial de cada uno de los elementos de masa dm que distan x del eje de rotación.

La energía potencial total del líquido en la configuración B es

E_p(z)=E_1c+E_2c+E_g

Se comprueba que E(z) es una función continua y tienen un único valor para z=h, es decir,

E_A(h)=E_B(h)

Ejemplos:

• Distancia entre los brazos verticales, o longitud del tubo horizontal, d=2.0.

• Distancia al eje de rotación, a=0.85

• Altura inicial del líquido, h=0.6

En el apartado titulado "Estados de equilibrio" hemos calculado ω_min=5.27 rad/s y ω_máx=6.26 rad/s.

Vamos a representar E(z) para varios valores de la velocidad angular ω: 4, 5.5 y 6.5 rad/s

Como vemos en la figura,

• la recta ω=4 corta a la función que describe la configuración A, en un punto.

• la recta ω=5.5 corta a la función que describe la configuración A en un punto y la B, en dos puntos.

• la recta ω=6.5 corta a la función que describe la configuración B en dos puntos.

Vamos a estudiar la naturaleza (estable o inestable) de los estados (ω, z) del sistema señalados en la figura por puntos de color negro.

1. En la figura, se muestra E(z) para ω=4 rad, ω<ω_min

La posición de equilibrio para la configuración A, se calcula mediante la fórmula

2. En la figura, se muestra E(z) para ω=5.5 rad, ω_min<ω<ω_máx

La posición de equilibrio para la configuración A se calcula mediante la fórmula

Las posiciones de equilibrio para la configuración B se calculan mediante la fórmula

B=1.126, C=1.169

z₂=0.81, z₃=1.44

Como vemos z₂ corresponde a un máximo local y es un estado inestable. El sistema puede estar bien, en el estado z₁ descrito por la configuración A o bien, en el estado z₃, descrito por la configuración B.

3. En la figura, se muestra E(z) para ω=6.5 rad, ω>ω_máx

Las posiciones de equilibrio para la configuración B (ω>ω_máx) son

B=1.218, C=1.058

z₂=0.57, z₃=1.87

Como vemos z₃ corresponde a un mínimo local y es una posición estable

4. En la figura, se muestra E(z) para ω_máx=6.26 rad,

La posición de equilibrio para la configuración A vale

z₁=0.60

Las posiciones de equilibrio para la configuración B son

B=1.20, C=1.08

z₂=0.6, z₃=1.80

Como vemos, el sistema puede pasar fácilmente mediante alguna pequeña perturbación, del estado z₁ descrito por la configuración A, al estado z₃ descrito por la configuración B.

5. En la figura, se muestra E(z) para ω_min=5.27 rad,

La posición de equilibrio para la configuración A vale

z₁=0.42

Las posiciones de equilibrio para la configuración B son

B=1.20, C=1.08

z₂=1.10, z₃=1.10

Como vemos  el sistema puede pasas fácilmente mediante alguna pequeña perturbación, del estado z₃ descrito por la configuración B, al estado z₁ descrito por la configuración A.

Actividades

• Aparece a la izquierda del applet, un gráfico que nos permite elegir con el puntero del ratón los valores de a (distancia al eje de rotación) en el eje horizontal, y la altura inicial h del líquido, en el eje vertical. La zona de color amarillo, representa los pares de valores (a, h) para los cuales se produce histéresis.
• La distancia entre los brazos verticales, o la longitud del brazo horizontal se ha fijado en d=2.0, por lo que a<d/2=1.

Se activa uno de los tres botones de radio:

• Dispositivo, se muestra el tubo en U girando alrededor del eje. Se pulsa la combinación de botones Pausa/Paso para medir la altura de la columna de fluido con la regla adosada al tubo.
• E. potencial, se representa la energía potencial E(z) para cada valor de la velocidad angular de rotación ω, señalándose sobre ella los estados de equilibrio.
• Gráfica altura, se representa z en función de la velocidad angular. Esta gráfica nos permite apreciar el ciclo de histéresis.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La velocidad angular angular de rotación ω se va incrementando linealmente con el tiempo, hasta un valor límite 9 rad/s y luego, disminuye hasta cero.

Cuando se representa la energía potencial E(z) del sistema para cada valor de la velocidad angular de rotación ω, se puede cambiar la escala en cualquier momento, eligiendo el factor de escala en el control de selección titulado Escala.