Movimiento ondulatorio

Acústica

Ondas estacionarias
en tubos

Velocidad del sonido
en una barra

Velocidad del sonido
en un gas

El resonador de
Helmholtz

Análisis de Fourier

Efecto Doppler (I)

Efecto Doppler (II)

Efecto Doppler (III)

Actividades

Ejemplos

Las ondas armónicas continuas que hemos estudiado no existen realmente, ya que todos los movimientos ondulatorios están limitados tanto espacial como temporalmente. Utilizando el análisis de Fourier y la transformada de Fourier se pueden describir formas de ondas más complejas como las que producen los instrumentos musicales.

El análisis de Fourier surgió a partir del intento de éste matemático francés por hallar la solución a un problema práctico, la conducción del calor en un anillo de hierro. Demostró que se puede obtener una función discontinua a partir de la suma de funciones continuas. Esta tesis fue defendida por Fourier ante la Academia Francesa, lo que motivó severas objeciones de los matemáticos más importantes de su época como Lagrange, Laplace, etc.

Descripción

A primera vista, parece que el problema de analizar formas de ondas complejas representa una tarea formidable. Sin embargo, si la forma de la onda es periódica, se puede representar con una precisión arbitraria, mediante la superposición de un número suficientemente grande de ondas senoidales que forman una serie armónica.

Toda función f(t) periódica de periodo P, se puede representar en forma de una suma infinita de funciones armónicas, es decir,

donde el periodo P=2p/w, y a₀ a₁ ...a_i ... y b₁ b₂ .... b_i .... son los denominados coeficientes de Fourier.

Conocida la función periódica f(t), calculamos los coeficientes a_i y b_i del siguiente modo

Las integrales tienen como límite inferior -P/2 y como límite superior P/2.

En el programa interactivo, transformamos la función periódica de periodo P, en otra función periódica de periodo 2p, mediante un simple cambio de escala en el eje t. Escribiendo x=w t, tendremos el periodo P de t convertido en el periodo 2p de x, y la función f(t) convertida en

definida en el intervalo que va de -p a +p. La serie se expresa en la forma más simple

donde

Si la función g(x) tiene simetría, algunos de los coeficientes resultan nulos.

Por ejemplo, para el pulso rectangular simétrico de anchura 1, y periodo 2 se obtienen los siguientes coeficientes.

orden a b 0 1   1 0.6366 0 2 0 0 3 -0.2122 0 4 0 0 5 0.1273 0 6 0 0 7 -0.09097 0 8 0 0 9 0.07078 0

Actividades

El applet nos permite elegir entre cuatro tipo de funciones discontinuas que representan pulsos periódicos.

• Rectangular
• Doble escalón
• Diente de sierra simétrico
• Diente de sierra antisimétrico

Una vez elegido la función, introducimos los parámetros requeridos en los controles de edición y pulsamos el botón cuyo título da nombre a la función.

• Rectangular
• Doble escalón
• Diente de sierra 1
• Diente de sierra 2

Pulsando sucesivamente en el botón titulado Siguiente >> se representa:

1. En la parte superior, la función f(t) elegida y las sucesivas aproximaciones de dicha función.

2. En la parte central, el armónico actual, en color azul a_i·cos(ix) y en color rojo b_i sin(ix).

3. En la parte inferior, mediante segmentos verticales, la magnitud relativa de los coeficientes de Fourier, a la izquierda en color azul los coeficientes a_i, y a la derecha en color rojo los coeficientes b_i.

Cuanto mayor sea la longitud de estos segmentos mayor es la contribución del armónico a la síntesis de la función periódica. Se puede observar, que la longitud de los segmentos disminuye con la frecuencia, es decir a mayor frecuencia del armónico menor es su contribución.

La separación entre estos segmentos verticales es inversamente proporcional al periodo de la función, por tanto, para una función aperiódica (periodo infinito), la envolvente de los extremos de los segmentos verticales define una curva continua denominada transformada de Fourier.

Pulsando en el botón titulado Anterior<< podemos volver a la aproximación anterior y compararla con la siguiente.

Ejemplos

Pulso rectangular

El pulso rectangular nos permite verificar que son nulos los coeficientes b_i en una función cuya simetría es par. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 5.0
• Anchura, 2.0
• Traslación, 0.0.

Si trasladamos el pulso rectangular, la función deja de tener simetría y por tanto, aparecen coeficientes a_i y b_i. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 5.0
• Anchura, 2.0
• Traslación, 0.5.

Pulso doble escalón

El pulso doble escalón nos permite verificar que son nulos los coeficientes a_i en una función cuya simetría es impar. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 3.0
• Anchura, 2.0
• Profundidad, 1.0.

Si cambiamos la profundidad del escalón derecho, la función deja de tener simetría y por tanto, aparecen coeficientes a_i y b_i. Probar el siguiente ejemplo:

• Periodo, 3.0
• Anchura, 2.0
• Profundidad, 0.5.

Pulso diente de sierra simétrico

Ejemplo:

• Periodo, 4.0.

Observar que basta los primeros armónicos para aproximar bastante bien esta función simétrica.

Pulso diente de sierra antisimétrico

Ejemplo:

• Periodo, 1.0.

Observar que se necesitan muchos armónicos para aproximarnos a esta función periódica.