Movimiento ondulatorio |
Acústica Ondas estacionarias en tubos Velocidad del sonido en una barra
El resonador de Helmholtz Análisis de Fourier Efecto Doppler (I) Efecto Doppler (II) Efecto Doppler (III) |
Velocidad del
sonido en un gas
|
|||||||||||||||||||||||
Velocidad del sonido en un gasEl razonamiento que se sigue para deducir la fórmula de la velocidad del propagación del sonido en un gas, es muy semejante al de las ondas en una barra elástica, pero con una diferencia importante. Los gases son muy comprensibles y su densidad cambia al modificarse la presión. Consideremos de nuevo las dos partes del problema: la deformación del elemento de volumen que estaba inicialmente en la posición x, y su desplazamiento Y . Deformación del elemento de volumen
La masa de gas contenida en el elemento de volumen, es la misma antes y después de la deformación Si r0 es la densidad del gas antes de pasar la perturbación, la densidad del elemento perturbado es
Hemos de tener en cuenta a efectos de notación (derivada parcial) que Y es una función de dos variables x (posición) y t (tiempo), y que el término que se suma a la unidad en el denominador es muy pequeño por lo que podemos aproximarlo usando el desarrollo del binomio de Newton (1+x)-1≈1-x cuando x<<1 Ecuación de estadoLa presión es una función de la densidad. Dado que la diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0 es muy pequeña podemos hacer aproximaciones que nos simplifican notablemente el resultado
La temperatura en una onda sonora no permanece constante. El gas localizado en una región de compresión está levemente más caliente que su temperatura de equilibrio. En las regiones vecinas, el gas está rarificado (el gas se ha expansionado), y su temperatura es ligeramente inferior a la de equilibrio. Medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente.
Newton supuso que la relación entre la presión y el volumen era la ley de Boyle, es decir, que la transformación era isoterma. En los libros de texto, se emplea una transformación adiabática argumentándose que no hay tiempo suficiente para que el calor fluya desde las regiones comprimidas (temperatura más alta) a las expandidas (temperatura más baja). Antes de que esto suceda, medio periodo después, la región que estaba comprimida pasa a estar expandida, y así sucesivamente. Esta argumentación, equivocadamente, nos sugiere que a altas frecuencias las ondas sonoras son más adiabáticas que a bajas frecuencias. La solución se encuentra en la teoría de la absorción y dispersión de ondas sonoras elaborada por Kirchhoff, Langevin y otros, la velocidad del sonido depende de la frecuencia. A bajas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida suponiendo una transformación adiabática pVγ=cte y a altas frecuencias, la velocidad del sonido se aproxima a la deducida utilizando la ecuación de la trasformación isoterma pV=cte. (Véase el segundo artículo citado en las referencias) La relación entre la presión y el volumen en una transformación adiabática es:
La diferencia de presión p respecto de la de equilibrio p0 es
Desplazamiento del elemento de volumen
Necesitamos ahora la ecuación del movimiento del volumen elemental que contiene una masa (densidad por volumen) ρ0A·dx. El gas a la izquierda del elemento de volumen lo empuja hacia la derecha con una fuerza pS y el gas que está a la derecha lo empuja hacia la izquierda con una fuerza p'S. Por tanto, la fuerza resultante en la dirección +X es
Aplicando la segunda ley de Newton, fuerza igual a masa contenida en el elemento de por aceleración (derivada segunda del desplazamiento).
Igualando ambas expresiones de la fuerza tenemos, la ecuación diferencial del movimiento ondulatorio
Se puede demostrar que la presión p y la densidad r obedecen a la misma ecuación diferencial que el desplazamiento Y, con la misma velocidad de propagación v. La fórmula de la velocidad de propagación es
g es el índice adiabático del gas (1.4 para el aire) y r0 es la densidad (1.293 kg/m3), y p0 la presión normal (1 atm=1.013·105 Pa) Con estos datos, la velocidad de propagación del sonido en el aire es v=331 m/s.
Fuente: Manual de Física. Koshkin N. I. y Shirkévich M. G.. Editorial Mir, pág 107
Medida de la velocidad del sonidoUn diapasón es una varilla metálica en forma de U. El sonido emitido por el diapasón contiene una sola frecuencia que viene grabada en este dispositivo.
Medimos la longitud L de la parte vacía y con estos datos se puede calcular la velocidad de propagación del sonido en el aire. Las frecuencias de los distintos modos de vibración de un tubo cerrado responden a la fórmula
Actividades
Se pulsa el botón titulado Nuevo Para disminuir el nivel de agua en el recipiente, se actúa con el puntero del ratón sobre el círculo de color rojo situado a la derecha del recipiente. Se mueve este círculo muy despacio y se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón cuando aparezca la representación de un modo de vibración del tubo cerrado por un extremo. Ejemplo Se ha seleccionado un diapasón que emite en la frecuencia de f =440 Hz. A continuación, se pulsa el botón titulado Nuevo. Cuando se ha vaciado el recipiente hasta el nivel que marca L=58 cm, se observa el segundo modo de vibración n=1. Introducimos los datos en la fórmula y despejamos la velocidad del sonido vs.
A partir de la medida de la velocidad del sonido en el aire 340 m/s, podemos determinar su índice adiabático g.
|
Variación de la velocidad del sonido con la temperaturaLa velocidad del sonido en un gas no es constante, sino que depende de la temperatura.
De la ecuación de un gas ideal pV=nRT o bien,
La fórmula de la velocidad del sonido se expresa en función de la temperatura t del gas en grados centígrados.
Para obtener esta expresión aproximada, se han tomado los dos primeros términos del desarrollo de (1+t/T0)1/2 por el binomio de Newton Sabiendo que T0=273.15 K, γ=1.4, R=8.314 J/(K·mol) y M=28.95·10-3 kg/mol, tenemos que vs≈331.4+0.61·t donde 331.4 m/s es la velocidad del sonido en el aire a 0ºC. Para temperaturas cercanas a la ambiente, la velocidad del sonido en el aire varía aproximadamente de forma lineal con la temperatura. El applet que viene a continuación, simula un experimento de medida de la velocidad del sonido a diferentes temperaturas. Consta de dos tubos coaxiales, de longitud L, el interior contiene aire y por el exterior circula agua a temperatura t procedente de un termostato. Un altavoz se coloca en el extremo del tubo interior y en el otro extremo un micrófono. El altavoz se conecta a un generador de sonido aleatorio, por ejemplo, a una radio que no sintoniza ninguna emisora concreta. El micrófono se conecta a un ordenador para analizar la señal que llega al extremo opuesto del tubo.
Las ondas estacionarias de un tubo cerrado por ambos extremos o de una cuerda de longitud L sujeta por ambos extremos, tienen las siguientes frecuencias
Midiendo la frecuencia fn de un determinado armónico n se puede obtener la velocidad del sonido vs, tal como hemos visto en la actividad anterior. El ruido tiene un espectro continuo de frecuencias, y el tubo actúa como un filtro que selecciona sus frecuencias de resonancia, tal como se aprecia en la figura.
La señal recibida por el micrófono, se analiza en un ordenador, que determina las frecuencias correspondientes a los máximos de intensidad. Para determinar la velocidad del sonido en el aire para una temperatura t dada, se representa gráficamente las frecuencias de resonancia fn en función de n. La pendiente de la recta que mejor ajusta es vs/(2L). Conocido el valor de L=45 cm, se calcula la velocidad del sonido vs. Una vez que disponemos de suficientes pares de datos, (temperatura en grados centígrados, velocidad del sonido), representamos los “datos experimentales” y observamos que se ajustan aproximadamente a la recta vs=331.4+0.61·t
ActividadesSe pulsa el botón titulado Nuevo
Se pulsa el botón titulado Espectro El tubo cerrado por ambos extremos actúa como un filtro que selecciona sus frecuencias de resonancia. En la pantalla del “ordenador”, se representa la intensidad del sonido que llega al micrófono en función de la frecuencia f en el intervalo comprendido entre 0 y 4000 Hz. Se “mide” la frecuencia fn de los máximos de intensidad. Se pulsa el botón titulado Velocidad Se representa la frecuencia fn en función del número n de armónico. Se mide la pendiente de la recta que mejor “ajusta”. Conocida la longitud L=45 cm del tubo, se calcula la velocidad del sonido vs. vs=pendiente·2·0.45 m/s Los pares de datos,
se guardan en el control área de texto, situado a la izquierda del applet. Cuando tengamos suficientes datos “experimentales” se pulsa el botón titulado Gráfica. Para representar dichos datos junto a la recta vs=331.4+0.61·t |
Velasco S., Román F.L., González A, White J. A., A computer-assisted experiment for the measurement of the temperature dependence of the speed of sound in air. Am. J. Phys. 72 (2) February 2004, pp. 276-279.
Wu J., Are sound waves isothermal or adiabatic? Am. J. Phys. 58 (7) July 1990, pp. 694-696
Alonso M., Finn E. J. Física. Addison-Wesley Iberoamericana (1995), págs. 642-644
Velocidad del sonido
en un gas
