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En esta página, se va a estudiar el movimiento de una
partícula de masa m bajo la acción de una fuerza F(x),
cuyo potencial viene descrito por la función, denominada potencial de Morse
El potencial presenta un mínimo para x=0 cuyo
valor es Ep(x0)=-D.
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Cuando x→∞, la función Ep(x)
tiende a cero.
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Cuando x→-∞, la función Ep(x)
tiende a infinito.
En la figura, se muestra la gráfica de la función Ep(x)
para k=1, y D=1
Dada la función Ep(x), la
fuerza F(x) que actúa sobre la partícula es
Para x=0, F(x)=0, el origen es una
posición de equilibrio estable, ya que la energía potencial es mínima.
La fuerza sobre la partícula se obtiene midiendo la
pendiente en cada punto de la función energía potencial Ep(x)
cambiada de signo.
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Si la partícula está situada en la posición A, la
pendiente es negativa, la fuerza es positiva, la pendiente es grande en
módulo, la fuerza es grande.
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Si la partícula está situada en la posición B, la
pendiente es positiva, la fuerza es negativa, la pendiente es pequeña, la
fuerza es pequeña.
Como la fuerza que actúa sobre la partícula es
conservativa, la energía total E permanece constante.
Dibujando función la energía potencial Ep(x),
y conociendo el valor de la energía total E podemos describir de
forma cualitativa el movimiento de la partícula.
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Cuando la energía total E está en el intervalo
-D<E<0, la partícula oscila entre dos posiciones x1
y x2 alrededor de la posición de equilibrio estable
x=0.
Estas dos posiciones son las raíces de la ecuación
Ep(x) =E
Si la partícula está situada en la posición P, la
energía total es la medida del segmento PA, la energía potencial el
segmento PB y la energía cinética el segmento AB.
La energía cinética es máxima cuando la partícula
pasa por el origen, y es nula cuando la partícula pasa por en las
posiciones extremas x1 y x2.
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Cuando E>0, la partícula se mueve desde el
infinito, hasta una posición xm y regresa de nuevo al
infinito.
Cuando E>0, la ecuación Ep(x)
=E solamente tiene una raíz
Si la partícula está situada en la posición P, la
energía total es la medida del segmento PA, la energía potencial el segmento
PB y la energía cinética el segmento AB.
La energía cinética es máxima cuando la partícula pasa
por el origen, y es nula cuando la partícula está en la posición extrema
xm
Si definimos el parámetro adimensional ρ tal que
E+D=ρ·D
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La partícula está confinada, si ρ<1 en la región
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La partícula se mueve hacia el infinito si ρ>1
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La partícula se mueve hacia el infinito si E=0 ó
ρ=1
Vamos a determinar la posición x de la partícula
en función del tiempo t para cada uno de los casos, integrando una
ecuación diferencial de primer orden. Escribimos el principio de
conservación de la energía de la forma
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Estudiamos el caso ρ<1
Hacemos el cambio de variable
La ecuación diferencial de primer orden se transforma,
haciendo algunas operaciones, en una ecuación diferencial fácilmente integrable
arccos u=γt-γt0
u=cos(γt-γt0)
γt0 es la constante de integración
que se determina a partir de las condiciones iniciales, la posición x0
del móvil en el instante t=0.
Deshaciendo el cambio
En el programa interactivo, la posición inicial de la
partícula t=0, es el origen x=0, el instante t0
vale entonces,
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Estudiamos el caso ρ>1
Hacemos el cambio de variable
La ecuación diferencial de primer orden se transforma,
haciendo algunas operaciones, en una ecuación diferencial fácilmente integrable
arccosh u=γt-γt0
u=cosh(γt-γt0)
γt0 es la constante de integración
que se determina a partir de las condiciones iniciales, la posición x0
del móvil en el instante t=0.
Deshaciendo el cambio
En el programa interactivo, la posición inicial de la
partícula t=0, es el origen x=0, el instante t0
vale entonces
-
En el caso límite ρ=1
Hacemos el cambio de variable
La ecuación diferencial de primer orden se transforma,
haciendo algunas operaciones, en una ecuación diferencial fácilmente integrable
2u-1=(γt-γt0)2
γt0 es la constante de integración
que se determina a partir de las condiciones iniciales, la posición x0
del móvil en el instante t=0.
Deshaciendo el cambio
En el programa interactivo, la posición inicial de la
partícula t=0, es el origen x=0, el instante t0
vale entonces,
Ejemplo:
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Valor del parámetro k=1
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Valor del parámetro D=1
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Energía total de la partícula E=-0.5
El parámetro ρ=(E+D)/D=0.5<1
La partícula se mueve entre las posiciones extremas
La ecuación del movimiento es
En el instante t=2.0, la posición de la
partícula es x=0.41.
La energía potencial es
La energía cinética Ek=E-Ep=0.387
La velocidad de la partícula
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Energía total de la partícula E=0.5
El parámetro ρ=(E+D)/D=1.5>1
La partícula se mueve desde el origen hasta la posición
La ecuación del movimiento es
En el instante t=2.0, la posición de la
partícula es x=1.10
La energía potencial es
La energía cinética Ek=E-Ep=1.05
La velocidad de la partícula v=1.45
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Energía total de la partícula E=0
El parámetro ρ=(E+D)/D=1
La partícula se mueve desde el origen hasta la posición
La ecuación del movimiento es
En el instante t=2.0, la posición de la
partícula es x=0.77
La energía potencial es
La energía cinética Ek=E-Ep=0.71
La velocidad de la partícula v=1.19
Se introduce
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El parámetro k de la función energía potencial
Ep(x), actuando en la barra de desplazamiento
titulada Parámetro.
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El parámetro D se ha fijado en el valor 1
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La energía total E de la partícula, actuando en
la barra de desplazamiento titulada Energía.
Se pulsa el botón titulado Empieza
Si la energía E de la partícula está en el
intervalo -1<E<0, la partícula oscila entre dos posiciones x1
y x2.
Si la energía E de la partícula es positiva o
nula, la partícula se mueve desde el origen hasta la posición extrema xm
y desde esta posición hacia el infinito.
Se indica mediante un segmento de color azul, el valor
de la energía potencial, mediante un segmento de color rojo el valor de la
energía cinética, y mediante una flecha la fuerza sobre la partícula.
En la
parte superior del applet, se proporcionan valores numéricos del tiempo t,
la posición x, módulo de la velocidad v, energía potencial
Ep, energía cinética Ek.
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El oscilador Morse