Oscilaciones

Osciladores (II)

Oscilador no lineal (I)

Oscilador no lineal (II)

El péndulo

Oscilador no lineal (II)

Oscilaciones
anarmónicas

Molécula diatómica

El oscilador Morse

Oscilaciones de un
cilindro que rueda.

Movimiento de un
pistón

Máquina de Atwood

Periodo de las oscilaciones

Actividades

Solución analítica

Referencias

Código fuente

En esta página se estudia el caso en el que  la energía potencial E_p(x) se puede desarrollar en serie alrededor de la posición de equilibrio estable, pero el término cuadrático es nulo y la serie comienza con un término superior al de segundo orden.

Sea un bloque de masa m unido a dos muelles elásticos iguales de constante k. La longitud de los muelles si deformar es l0, cuando el sistema está en la posición de equilibrio estable x=0. Cuando se separa el bloque una distancia x de la posición de equilibrio y se suelta, empieza a oscilar con un periodo P.

Ecuación del movimiento

La fuerza F que ejerce cada uno de los muelles sobre el bloque es

La resultante es

La ecuación del movimiento es

Esta ecuación, se resuelve aplicando procedimientos numéricos con las condiciones iniciales siguientes: en el instante inicial t=0, x=A, y v=dx/dt=0, siendo A la amplitud de la oscilación.

Periodo de las oscilaciones

Si E es la energía total de la partícula de masa m en una región donde la energía potencial está descrita por la función E_p(x). El principio de conservación de la energía se escribe

El periodo es cuatro veces el tiempo que tarda en moverse el bloque desde el origen hasta la posición de máximo desplazamiento o amplitud A.

Para obtener el periodo P de la oscilación hay que resolver la integral

La velocidad del bloque en la posición de máximo desplazamiento es v=dx/dt=0. La amplitud A se calcula, resolviendo la ecuación trascendente E_p(A)=E

La energía potencial del bloque de masa m unido a los dos muelles elásticos es

Desarrollamos en serie la función

Para pequeñas oscilaciones u<<1 o x<<l₀ solamente el primer término es importante

La fórmula del periodo se escribe

Haciendo el cambio de variable

Llegamos a la integral

Esta integral se expresa en términos de la función Г de Euler. El resultado es (véase el artículo citado en las referencias)

Actividades

Se introduce

• El valor del cociente k/m actuando en la barra de desplazamiento titulada Cociente.

• La longitud del muelle sin deformar se ha fijado en el programa interactivo en el valor l₀=1

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Se desplaza con el puntero del ratón la partícula a una posición inicial A, de la que parte la partícula con velocidad inicial nula.

Se pulsa el botón titulado Empieza

La ecuación del movimiento de la partícula se resuelve por procedimientos numéricos, para cualquier valor de la amplitud A comprendida entre 0 y 1.0.

A la derecha del applet, se representa la energía potencial E_p(x). La recta horizontal es la energía total, y la recta vertical está dividida en dos porciones de color rojo y azul, la primera representa la energía potencial y la segunda, la energía cinética. También, se representa mediante una flecha la fuerza sobre la partícula.

Ejemplo 1:

Sea k=60, m=1 y la amplitud A=0.3

La longitud de cada uno de los dos muelles sin deformar es l₀=1.0

La energía total del oscilador es

La energía total E en la aproximación de pequeñas oscilaciones es

El periodo P en la aproximación de oscilaciones de pequeña amplitud es

El programa interactivo nos proporciona el valor de P=3.22 a partir de la resolución de la ecuación diferencial del movimiento por procedimientos numéricos.

Ejemplo 2:

Sea k=60, m=1 y la amplitud A=0.7

La energía total del bloque es

La energía total E en la aproximación de pequeñas oscilaciones es

El periodo P en la aproximación de oscilaciones de pequeña amplitud es

El programa interactivo nos proporciona el valor de P=1.55 a partir de la resolución de la ecuación diferencial del movimiento por procedimientos numéricos.

Solución analítica

La ecuación del movimiento es

Cuando x<<l₀ la ecuación diferencial se aproxima a

Las condiciones iniciales son: en el instante t=0, la partícula parte de la posición x=A, con velocidad nula, v=dx/dt=0

Integramos esta ecuación diferencial

es el módulo de la velocidad

Como la partícula parte de x=+A y se dirige hacia el origen la velocidad es negativa en el primer cuarto de periodo

Para obtener la posición x del oscilador en función del tiempo t tenemos que integrar nuevamente

Hacemos el cambio de variable

La integral se transforma

La integral elíptica primera especie se define

Se hace el cambio de variable z=senφ,

se designa am u a la función inversa φ(u)

z=senφ=sen am u=sn u

Esta es la definición de la función elíptica sn.

Análogamente, escribiremos cos am u=cn u

Ambas funciones están relacionadas

sn² u+cn² u=1

En el caso que estamos analizando

Conocido el valor de la variable auxiliar z=sn u, se despeja la posición x

Periodo del movimiento

El tiempo que tarda en describir un cuarto de periodo P es

Haciendo el cambio de variable x=Acosφ

El último término es la integral elíptica completa de primera especie para  que denominamos Su valor aproximado es 1.8541. Véase tabla de integrales elípticas de primera especie (Puig Adam P., Cálculo Integral. Editorial Biblioteca Matemática 1972, pág. 72)

En la figura, se muestra cómo el periodo P depende de la amplitud A

• La curva en color azul, la amplitud es A=0.15, el periodo es P=3.19 s

• La curva en color rojo, la amplitud es A=0.3, el periodo es P=6.38 s

Actividades

Se introduce

• El valor del cociente k/m actuando en la barra de desplazamiento titulada Cociente.

• La longitud del muelle sin deformar se ha fijado en el programa interactivo en el valor l₀=1

Se pulsa el botón titulado Inicio

• Se desplaza con el puntero del ratón la partícula a una posición inicial A comprendida entre 0.1 y 0.4, de la que parte la partícula con velocidad inicial nula.

Se pulsa el botón titulado Empieza

El programa interactivo calcula la posición x en función del tiempo t, mediante la función elíptica cn, véase el código fuente

public class Eliptica {
	final double CA=0.0003; // The accuracy is the square of CA.
	public double sn;
	public double cn;
	public double dn;

public Eliptica() {
	sn=dn=cn=0.0;
}

void sncndn(double uu, double emmc){
//Returns the Jacobian elliptic functions sn(u; kc), cn(u; kc), and dn(u; kc). Here uu = u, while
//emmc = k2 c .
	double a,b,c=0.0,d=0.0,emc,u;
	double[] em=new double[14];
	double[] en=new double[14];
	int i,ii,l=0;
	boolean bo;
	emc=emmc;
	u=uu;
	if (emc!=0.0) {
		bo=(emc < 0.0);
		if (bo) {
			d=1.0-emc;
			emc /= -1.0/d;
			u *= (d=Math.sqrt(d));
		}
		a=1.0;
		dn=1.0;
		for (i=1;i<=13;i++) {
			l=i;
			em[i]=a;
			en[i]=(emc=Math.sqrt(emc));
			c=0.5*(a+emc);
			if (Math.abs(a-emc) <= CA*a) break;
			emc *= a;
			a=c;
		}
		u *= c;
		sn=Math.sin(u);
		cn=Math.cos(u);
		if (sn!=0.0) {
			a=cn/sn;
			c *= a;
			for (ii=l;ii>=1;ii--) {
				b=em[ii];
				a *= c;
				c *= dn;
				dn=(en[ii]+a)/(b+a);
				a=c/b;
			}
			a=1.0/Math.sqrt(c*c+1.0);
			sn=(sn >= 0.0 ? a : -a);
			cn=c*sn;
		}
		if (bo) {
			a=dn;
			dn=cn;
			cn=a;
			sn /= d;
		}
	} else {
		cn=1.0/cosh(u);
		dn=cn;
		sn=tanh(u);
	}
}
double cosh(double x){
	return((Math.exp(x)+Math.exp(-x))/2);
}
double tanh(double x){
	return((Math.exp(x)-Math.exp(-x))/(Math.exp(x)+Math.exp(-x)));
}
}

//objeto 
	Eliptica obj=new Eliptica();

//posición del oscilador
 	obj.sncndn((x0*Math.sqrt(cte)*t/lonMuelle),0.5);
	x=x0*obj.cn;
	t+=dt;