Equilibrio de una barra

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Sólido rígido

Estática. Elasticidad
marca.gif (847 bytes)Momento de una fuerza
Medida del módulo
de elasticidad
Flexión de una viga
Pandeo de una barra
Medida del módulo
de cizallamiento
Catenaria

 

Momento de una fuerza

java.gif (886 bytes)Varilla que pende de dos muelles

java.gif (886 bytes)Equilibrio de una barra

 

En esta página, se explica el concepto de momento de una fuerza y se aplica al equilibrio de una barra horizontal apoyada en un extremo.

 

Momento de una fuerza

Supongamos que tenemos tres llaves que actúan sobre tres tornillos en la forma indicada por las figuras. Se aplica una fuerza F en el extremo de la llave. Es fácil contestar a las siguientes preguntas:

  • ¿En qué situaciones se enrosca el tornillo?
  • ¿En que situaciones se desenrosca el tornillo?
  • ¿Cuáles producen el mismo resultado o son equivalentes?.
En la primera figura, el tornillo avanza en una dirección perpendicular al plano de la página, y hacia el lector. El módulo del momento es F·d.

En la segunda figura, el tornillo avanza en la misma dirección y sentido. El módulo del momento es F/2·(2d)=F·d. Con una llave más larga estamos en una situación más favorable que con una llave más corta.

En la tercera figura, el tornillo avanza en la misma dirección pero en sentido contrario.

  • Un momento se considera positivo, si el tornillo sale, avanza hacia el lector, la llave gira en sentido contrario al movimiento de  las agujas del reloj.
  • Un momento se considera negativo, si el tornillo entra, la llave gira en el sentido del movimiento de las agujas del reloj.

Se denomina momento de una fuerza respecto de un punto, al producto vectorial del vector posición r de la fuerza por el vector fuerza F.

M=r´F

El vector M tiene

  • Por módulo, M=F·r·senθ=F·d. Siendo d el brazo de la fuerza (la distancia desde el punto O a la dirección de la fuerza)
  • Dirección, perpendicular al plano determinado por la fuerza F y el punto O.
  • Sentido, la aplicación de la regla del sacacorchos

La analogía de la llave y el tornillo, nos ayuda a entender el significado físico de la magnitud momento, y a determinar correctamente el módulo, la dirección y el sentido del momento de una fuerza:

  • El módulo es el producto de la fuerza F por la longitud d de la llave. M=F·r·senθ=F·d
  • La dirección, es la del eje del tornillo, eje Z
  • El sentido viene determinado por el avance del tornillo (hacia dentro, negativo) cuando hacemos girar a la llave.

 

Varilla que pende de dos muelles

La varilla delgada de masa m kg y longitud L pende de dos muelles elásticos verticales de constantes k1 y k2 y de longitudes l01 y l02 sin deformar, situados a una distancia d1 y d2 a uno y otro lado del c.m de la varilla

  • La fuerza que ejerce el muelle situado a la izquierda del c.m. es F1=k1x1, donde x1 es la deformación del muelle

  • La fuerza que ejerce el muelle situado a la derecha del c.m. es F2=k2x2, donde x2 es la deformación del muelle

Cuando la varilla está en equilibrio en posición horizontal. La resultante de las fuerzas sobre la varilla debe ser cero y el momento resultante respecto del c.m. debe ser cero.

k1x1+ k2x2=mg
-k1x1
·d1+ k2x2·d2=0

Despejamos x1 y x2

  • El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l1=l01+x1 por encima de la varilla horizontal

  • El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l2=l02+x2 por encima de la varilla horizontal

Ejemplo:

  • Constantes elásticas de los muelles: k1=50 N/m, k2=25 N/m
  • Masa de la barra, m=1 kg
  • Longitud de los muelles sin deformar, l01=l02=0.5 m

Cuando d1=75 cm, d2=90 cm, las deformaciones son

  • El muelle de la izquierda se ha de colgar de un punto situado a l1=50+10.7=60.7 cm por encima de la varilla horizontal

  • El muelle de la derecha se ha de colgar de un punto situado a l2=50+17.8=67.8 cm por encima de la varilla horizontal

 

Actividades

Se introduce

  • La constante elástica k1 del muelle de la izquierda en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k1.

  • La constante elástica k2 del muelle de la derecha en N/m, en el control de edición titulado Cte. elástica k2.

  • La masa de la varilla se ha fijado en m=1 kg

  • Las longitudes de los mulles sin deformar se ha fijado en l0=50 cm

Se pulsa el botón titulado Nuevo

  • Con el puntero del ratón se arrastra los pequeños círculos de color rojo, para establecer la posición de enganche de los muelles a la varilla, es decir las distancias d1 y d2 de los muelles al c.m.

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Pulsar el botón Nuevo, arrastrar con el puntero del ratón los pequeños círculos de color rojo

                                         

 

Equilibrio de una barra

Supongamos una barra de masa despreciable, que está sujeta por su extremo O.

Si colocamos un peso P a una distancia x del origen. El momento de esta fuerza respecto del origen O es +P·x.

Atamos una cuerda a una distancia y del origen, y tiramos de ella haciendo un ángulo θ con la vertical, tal como se muestra en la figura. El momento de la fuerza F respecto del origen es -F·y·cosθ.

 

Para que la barra esté en equilibrio, el momento total deberá ser nulo.

-F·y·cosθ+P·x=0

 

 

Actividades

Sea una barra de 50 cm de longitud, de masa despreciable, dispone de ganchos situados en las divisiones 0, 5, 10, ... 50 cm. La barra está sujeta por uno de sus extremos O.

Se introduce

  • La posición y de la cuerda, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Posición cuerda
  • El ángulo θ que forma la cuerda con la vertical, actuando sobre la barra de desplazamiento titulada Angulo cuerda.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Aparecen pesas de distintos colores de 10 g, 25 g y 50 g . Con el puntero del ratón arrastramos una pesa y la colgamos de la barra en alguno de los ganchos.

Cogemos otra pesa y la colgamos de otro gancho de la barra y así, sucesivamente, hasta un máximo de seis pesas (dos de cada tipo). Podemos colgar más de una pesa en la misma posición, una debajo de la otra.

Un dinamómetro nos mide la tensión F de la cuerda necesaria para mantener la barra horizontal y en equilibrio. La fuerza viene expresada en Newton (N).

  • Primero, establecemos el ángulo de la cuerda θ=0, y probamos con una sola pesa colocándola en varias posiciones y anotamos la fuerza que señala el dinamómetro.

Se pulsa el botón titulado Nuevo, se coloca una pesa colgada de un gancho, se apunta el valor de la fuerza F que marca el dinamómetro. Se pulsa el botón Nuevo, se elige la misma pesa y se coloca en otro gancho y así sucesivamente.

Fijarse que las pesas situadas en el origen no ejercen momento alguno. Y aquellas que están situadas en el otro extremo de la barra ejercen un momento máximo.

  • Después, probamos con varias pesas en distintas posiciones coincidentes o no.

Ejemplo:

Colocamos las seis pesas tal como se muestra en la figura. Atamos un extremo de la cuerda en la posición y=30, formando un ángulo θ=60º con la vertical. Calcular la tensión F de la cuerda para que la barra se mantenga en posición horizontal y en equilibrio.

Pesa (g) Posición (cm) Momento (g·cm)
10 35 10 450
25 50 20 1750
50 25 20 2250
Total 4450

El momento de la fuerza que ejerce la cuerda es

-F·y·cosθ=-F·30·cos60º=-F·15

La condición de equilibrio se escribe

-F·15+4450=0               F=296.67 g

Expresamos la fuerza en N multiplicando por 9.8 y dividiendo por 1000

F=2.91 N

 

stokesApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.

Arrastrar las pesas con el puntero del ratón y situarlas en las posiciones señaladas en la regla