Sólido rígido

Estática. Elasticidad

Momento de una fuerza

Medida del módulo
de elasticidad

Flexión de una viga

Pandeo de una barra

Medida del módulo
de cizallamiento

Catenaria

Estudio de la flexión de una viga en voladizo

Referencias

En esta página, simularemos una experiencia de laboratorio de fácil diseño que nos permite determinar el módulo de Young de un determinado material.

Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L) o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.

A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.

Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al

• Cálculo de la raíz de una ecuación.
• Integral definida.

Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.

Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada neutra, que no se acorta ni se alarga. Esta línea se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal y es la que representaremos en las simulaciones que vienen en esta página y en la siguiente.

Pequeñas flexiones

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (x_f, y_f) del extremo libre para pequeñas flexiones de la barra.

Supondremos que

• La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

• Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

El radio de curvatura de una función y(x) es

Para pequeñas pendientes (dy/dx)²≈0

Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(x_f-x)≈F(L-x)

Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iniciales x=0, y=0, dy/dx=0.

El desplazamiento y_f del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada

• Y es el módulo de Young del material

• I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra neutra

Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados aceptables hasta un cierto valor del parámetro adimensional α<0.375, (véase al final del siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada F_m=2Y·I·α/L²

Actividades

Se introduce

1. El material del que está hecho la barra, eligiéndolo en el control selección titulado Material
2. La longitud de la barra L en cm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Longitud.
3. El espesor b de la barra en mm, actuando en la barra de desplazamiento titulada Espesor.

Se pulsa el botón titulado Nuevo.

4. Se pulsa el botón izquierdo del ratón  sobre una pesa

• de 10 g
• de 25 g
• de 50 g

se arrastra con el ratón y se cuelga del extremo libre de la barra. El programa interactivo convierte el peso en g en fuerza en N, multiplicando por 10 y dividiendo por 1000. Por ejemplo, un peso de 100 g equivale a una fuerza de 1 N.

5. Cuando se deja de pulsar el botón izquierdo del ratón, se calcula y se representa la flexión de la barra. Se mide el desplazamiento del extremo libre. Los pares de datos:  fuerza (en Newton), desplazamiento (en cm) se guardan en el control área de texto situado a la izquierda del applet.
6. Se pulsa el botón izquierdo del ratón  sobre otra pesa, se arrastra con el ratón y se cuelga del gancho inferior de la pesa precedente. Se puede colgar del extremo libre de la barra hasta cuatro pesas de cada tipo, un máximo de 12 pesas que equivalen a una fuerza de 340 g ó 3.4 N
7. Cuando se ha recolectado suficientemente número de datos se pulsa en el botón Gráfica. El programa representa los datos "experimentales" y la recta que describe el comportamiento del extremo libre de la barra cuando se aplica una fuerza F en dicho extremo. En la parte superior del applet, se muestra el valor de la pendiente de dicha recta.

Cuando la fuerza F aplicada, es mayor que la fuerza máxima F_m=2Y·I·0.375/L² el programa interactivo no permite colgar del extremo libre pesas adicionales, ya que se supone que la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser aplicable.

Ejemplo:

• Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra
• Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra
• La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede cambiar
• Elegimos como material, el Acero

Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es

m=3.683 cm/N=0.03683 m/N

El momento de inercia I vale

Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo de Young Y

Podemos comparar nuestros cálculos de Y con los proporcionados por el programa interactivo pulsando en el botón titulado Respuesta.

Estudio de la flexión de una viga en voladizo

Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para grandes flexiones de la barra.

Supondremos que

• La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.

• Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.

Que en estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada

donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro.

El radio de curvatura  ρ=ds/dφ

El momento  flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del punto P (x, y) es M=F(x_f-x)

Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds

Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iniciales:

Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación diferencial

La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iniciales especificadas anteriormente

La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se obtienen

Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ₀, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X

Una vez que se conoce este ángulo φ₀, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el intervalo (0, φ₀)

El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.

Cálculo numérico

Las ecuaciones anteriores las podemos expresar

Donde α es un parámetro adimensional que engloba las características geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre

Cálculo de φ₀.

Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ₀ que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X, tal como se ve en la figura

Requiere dos pasos:

1.      Hallar la integral

2.      Calcular la raíz de la ecuación

f(φ₀)=0

La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas de primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2

El segundo cambio de variable es

Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación

El programa interactivo al final de esta página, calcula las integrales elípticas de primera especie E(k, π/2) y E(k, f₀) mediante el procedimiento de Carlson. Véase Numerical Recipes in C, Special functions. Capítulo 6º. La raíz de la ecuación se obtiene por el procedimiento del punto medio.

Cálculo de las coordenadas (x/L, y/L) de cada punto de la barra deformada

El cálculo de x/L no reviste dificultad alguna. Conocido φ₀, se calcula x/L para cada ángulo φ en el intervalo (0,  φ₀). La posición x_f del extremo libre es

El cálculo de y/L es más problemático. Conocido φ₀, se determina la ordenada y/L para cada ángulo φ en el intervalo (0,  φ₀)  calculando la integral definida,

por el procedimiento numérico de Simpson

Cuando φ→φ₀ el denominador de la integral tiende a cero. El ordenador no calcula correctamente la ordenada y_f/L del extremo libre de la barra cuando φ=φ₀. Para solucionar este inconveniente, empleamos el procedimiento de interpolación que se muestra en la figura.

• Calculamos las coordenadas (x/L, y/L) para el ángulo φ=φ₀-Δφ, siendo Δφ un ángulo pequeño
• Calculamos la abscisa x_f/L para el ángulo φ₀

La ordenada y_f/L se obtiene resolviendo el triángulo rectángulo de la figura

Aproximación de pequeñas flexiones

Para pequeñas flexiones cuando el ángulo φ₀ es pequeño. Sustituimos senφ≈φ y escribimos la ecuación que calcula φ₀.

El resultado es φ₀=α

Las coordenadas (x, y) de cada punto de la barra se aproximan a

Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ₀=α, x_f=L, lo que implica que en la aproximación de pequeñas flexiones, no hay desplazamiento horizontal del extremo libre de la barra.

La ordenada y la podemos aproximar

Integrando por partes y después de hacer algunas simplificaciones obtenemos la siguiente expresión

Las coordenadas x e y, las hemos expresado en función del parámetro φ, eliminando el parámetro obtenemos la función y=f(x) que describe la flexión de la barra cuando se aplica una fuerza F en su extremo libre.

Para el extremos libre de la barra, cuando φ= φ₀=α, x=L,

Límite de la aproximación de pequeñas flexiones

En la figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en función del parámetro adimensional α.

• En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos numéricos, descrito en el apartado anterior
• En color azul, la recta y/L=2α/3, aproximación de pequeñas flexiones

Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables hasta un cierto valor límite del parámetro α_m o bien, hasta un cierto valor máximo de la fuerza aplicada F_m en el extremos libre de la barra

Actividades

Se introduce

• El parámetro adimensional α, proporcional a la fuerza F sobre el extremo libre, actuando en la barra de desplazamiento titulada Fuerza

Se pulsa el botón titulado Calcular

Se representa una barra de longitud L=1 m deformada por la fuerza F aplicada en su extremo libre. Se proporcionan los datos de las coordenadas (x_f, y_f) de dicho punto y el ángulo φ₀, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje horizontal X.

Ejemplo:

Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·10¹¹ N/m²

El momento de inercia I vale

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir

observamos en el programa interactivo que se encuentra en x_f/L=0.98 e y_f/L=0.16, es decir, a x_f=29 cm, e y_f=4.8 cm del extremo fijo.

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones x_f≈L, no hay desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical y_f es proporcional a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir

observamos en el programa interactivo que se encuentra en x_f/L=0.79 e y_f/L=0.56, es decir, a x_f=24 cm, e y_f=17 cm del extremo fijo.

Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones

En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical y_f ya no es proporcional al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.

Se sugiere al lector, representar tres gráficas: en el eje X, del parámetro adimensional α, en eje Y:

1. El ángulo φ₀, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con el eje horizontal

2. La desviación del extremo libre a lo largo del eje X, δ_x=1.0-x_f

3. La desviación del extremo libre a lo largo del eje Y,  δ_y=y_f