Fenómenos de transporte |
Conducción del calor Conducción del calor (I)
Conducción del calor (III) Medida de la conductividad térmica Ondas térmicas Simulación de la conducción |
El estado estacionario | |
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En la página anterior, examinamos la distribución de temperaturas de una barra metálica en un determinado instante t, cuando se proporcionan los datos de:
En esta página, vamos a fijarnos en la evolución temporal de la temperatura de un punto x de la barra metálica y a examinar el papel que juegan la capacidad calorífica y la conductividad térmica en la conducción del calor. El extremo libre de una barra metálica de longitud L, está a una temperatura fija T0, por ejemplo, la de un baño que contenga una mezcla de hielo y agua. En el otro extremo, hay una fuente de calor de potencia dQ/dt watios. En un punto x de la barra se coloca un termómetro. Cuando se conecta la fuente de calor, observamos como la temperatura en dicho punto, va creciendo hasta que toma un valor constante T después de cierto tiempo, teóricamente infinito. Se ha establecido el estado estacionario.
Retiramos la fuente de calor, los dos extremos de la barra x=0, y x=L están a la temperatura fija T0 del baño. Observamos como la temperatura de dicho punto de la barra va descendiendo hasta que alcanza la temperatura T0 de baño al cabo de un cierto tiempo, teóricamente infinito.
El estado estacionarioLa ecuación diferencial que describe la conducción térmica
En el estado estacionario la temperatura de los puntos de la barra no cambia con el tiempo, ∂T/∂t=0, ∂T/∂x es constante, de acuerdo a la ley de Fourier
El signo menos indica que la temperatura disminuye a lo largo de la barra: el foco caliente está en x=0, y el foco frío en x=L.
En el estado estacionario t→∞
Conociendo la potencia de la fuente de calor, la temperatura fija T0 del extremo x=L y la temperatura T de dicho punto x de la barra podemos determinar el coeficiente K de conductividad térmica. Ejemplo:
El termómetro se coloca en la posición x=3 cm, y mide una temperatura máxima de T=53.6 ºC un tiempo suficientemente grande después de haber conectado la fuente de calor.
Se conecta la fuente de calorLa temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la del régimen transitorio.
Condiciones de contorno:
Hemos determinado la fase δn, ahora las frecuencias angulares ωn valen
El régimen variable general de temperaturas de la barra es
Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(x, 0)=T0 en el instante t=0.
Hacemos la siguiente integración
Para integrar hacemos el cambio de variable z=πx/L, dz= πdx/L
Integramos dos veces por partes
De acuerdo con estos resultados, despejamos los coeficientes an del desarrollo en serie
Integramos de nuevo, por partes
Fijarse que a+bπ=0 Así, la temperatura en cualquier punto de la barra x, en un instante t, se compone de la suma de un término proporcional a x, y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.
En la figura, se representa la temperatura de un punto x de la barra en función del tiempo t, después de haber conectado la fuente de calor en el instante t=0. Alcanza una temperatura Tmáx después de un tiempo teóricamente infinito.
Se desconecta la fuente de calorPonemos el reloj a cero, t=0. La distribución inicial de temperaturas corresponde al estado estacionario de la etapa anterior.
El estado estacionario se alcanza después de un tiempo infinito. Todos los puntos de la barra tienen la misma temperatura del baño T(x, ∞)=T0. La temperatura en cualquier punto x a lo largo de la barra, en un instante determinado, T(x, t) es una combinación de dos términos, la que corresponde al régimen permanente T(∞, x) más la del régimen transitorio.
Condiciones de contorno:
El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio
Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas T(x, 0) en la barra
Tenemos que calcular los coeficientes an de la función
Haciendo el cambio de variable z=πx/L, la función f(z) se escribe
Calculamos los coeficientes an de forma similar al caso anterior
El resultado es
En la figura se muestra, cómo la temperatura del punto x de la barra, estudiado en el apartado anterior, va disminuyendo con el tiempo hasta que alcanza la temperatura del baño térmico T0.
Actividades:Se introduce
Se pulsa el botón titulado Nuevo.
Se pulsa el botón titulado Conecta. Observamos como la temperatura del termómetro se incrementa. Si se activa la casilla titulada Gráfica, se obtiene la representación gráfica de la temperatura que marca el termómetro en función del tiempo. Cuando la temperatura alcance aproximadamente, su valor máximo constante (estado estacionario), el programa interactivo nos lo indica mediante un mensaje, se puede pulsar el mismo botón titulado ahora, Desconecta. La temperatura del termómetro va disminuyendo rápidamente, hasta que alcanza el valor de la temperatura del baño T0=0 ºC.
Se sugiere al lector que
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Arrastrar con el puntero del ratón el extremo inferior el termómetro de la izquierda
Conducción del calor (II)
