Fenómenos de transporte |
Conducción del calor Conducción del calor (I) Conducción del calor (II)
Medida de la conductividad térmica Ondas térmicas Simulación de la conducción |
Ecuación de la conducción del calor en una esfera homogénea | |
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En la página anterior, estudiamos la conducción del calor a lo largo de una barra de longitud L. El régimen variable general de temperaturas de la barra es la suma del estado estacionario más el estado transitorio. Las condiciones de contorno y la distribución inicial de temperaturas en el instante t=0, nos permiten determinar la temperatura en cada punto x de la barra y en cada instante t, es decir, la función de dos variables T(x,t). En esta página, se estudia un ejemplo similar, una esfera cuya temperatura inicial T0 es uniforme y se sumerge en un baño térmico a la temperatura Ts.
Ecuación de la conducción del calor en una esfera homogéneaLa ecuación de la conducción del calor en un medio homogéneo e isótropo tridimensional es
Si consideramos una esfera de radio R en la cual la distribución inicial de temperaturas y las condiciones de contorno tienen simetría esférica. Las superficies isotérmicas son superficies esféricas concéntricas y la temperatura es una función únicamente de la distancia radial r y del tiempo t. En este ejemplo: la esfera se calienta hasta una temperatura uniforme T0 (distribución inicial de temperaturas T(r, 0)=T0. En el instante t=0, se suerje en un recipiente grande de agua a temperatura Ts que es continuamente agitada. La condición de contorno es por tanto, T(R, t)=Ts. En el estado estacionario, después de un tiempo t→∞, la temperatura final de la esfera será Ts, la temperatura del baño térmico. La ecuación de la conducción del calor apropiada para resolver este problema es
Si hacemos la sustitución V=r·T nos queda la educación diferencial en derivadas parciales
como comprobamos a continuación
Buscamos soluciones de la forma V(r, t)=F(r)·G(t) (factores de variables separadas)
El signo negativo asegura el carácter transitorio. Integramos la primara ecuación diferencial
Integramos la segunda ecuación diferencial
Es una ecuación diferencial similar a la de un MAS. La solución es a·sen(ωr+δ) El régimen variable general de temperaturas de esfera es la suma del estado estacionario más el estado transitorio
La forma precisa de la solución depende de las condiciones de contorno y de la distribución inicial de temperaturas. En el estado inicial t=0, las temperaturas de todos los puntos de la esfera es la misma T0. La temperatura del centro de la esfera es T(0, 0)=T0
Condición de contorno, La esfera está en un baño térmico a temperatura Ts, su superficie está a esta temperatura fija que expresamos mediante la ecuación T(R, t)=Ts
El régimen variable general de temperaturas de la esfera es
Distribución inicial de temperaturas Solamente, queda por determinar los coeficientes an, lo que se conseguirá identificando esta solución con la distribución inicial de temperaturas en la barra T(r, 0)=T0 en el instante t=0.
La parte derecha de la igualdad, es el desarrollo en serie de una función f(r) impar, ya que carece del término independiente y de los términos en coseno. El periodo de f(r) es 2R y se extiende desde –R a +R. Efectuamos el cambio de variable z=πr/R
Teniendo en cuenta el resultado de la integral
Los coeficientes an del desarrollo en serie valen
La temperatura en cualquier punto a una distancia r del centro de la esfera, en un instante t, se compone de la suma de la temperatura en el estado estacionario Ts y de una serie rápidamente convergente que describe el estado transitorio.
Temperatura en el centro de la esfera cuando r→0
en función del tiempo t
ActividadesSe introduce
Se pulsa el botón titulado Inicio
Se pulsa el botón titulado Empieza La esfera se sumerge en el baño térmico Observamos los cambios de temperatura T(0, t) que señala el termómetro situado en el centro de la esfera con el tiempo t medidos en minutos. Activamos la casilla titulada Gráfica Pulsamos el botón titulado Empieza Se representa los cambios de la temperatura T(0, t) del centro de la esfera en el eje vertical, con el tiempo t medidos en minutos en el eje horizontal.
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Arrastrar con el puntero del ratón las flechas de color azul.
Unsworth J. Duarte F. J. Heat diffusion in a solid sphere and Fourier theory: An elementary practical example. Am. J. Phys. 47 (11) November 1979, pp. 981-983
Conducción del calor (III)
