Fuerza central y conservativa

1.-Un meteorito de de masa m=20000 T se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Su velocidad a una distancia de r=3.8 10⁷ m del centro de la Tierra es de v₀=30 km/s. Calcular:

La velocidad v con que llegará a la superficie de la Tierra. (Se supone que la Tierra permanece inmóvil antes del choque).

Datos: M= 5.98 10²⁴ kg; R = 6370 km ,G = 6.67 10^-11N m²/kg²

Solución

2.-Determinar:

El módulo de la velocidad de un satélite artificial en órbita circular a una altura h, por encima de la superficie de la Tierra.
El valor de h para un satélite geoestacionario (aquél cuya posición relativa respecto a la superficie de la Tierra permanece fija, es decir, su periodo es el mismo que el de la rotación de la Tierra).

Datos: M= 5.98 10²⁴ kg; R = 6370 km ,G = 6.67 10^-11N m²/kg²

Solución

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme

$G \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} v = \sqrt{\frac{G M}{R + h}}$

Un satélite geoestacionario gira con una velocidad angular ω igual a la de la Tierra, es decir, una vuelta por día.

Aplicamos la ecuación de la dinámica del movimiento circular uniforme

$\begin{array}{l} G \frac{M m}{r^{2}} = m ω^{2} r ω = \frac{2 π}{24 \cdot 60 \cdot 60} rad/s \\ r = \sqrt[3]{\frac{G M}{ω^{2}}} r = 42250 km h =35880 km \end{array}$

3.-¿Con qué velocidad mínima se debe lanzar un proyectil desde la superficie de la Tierra para que escape a su atracción?

Datos masa de la Tierra M=5.98 10²⁴ kg, radio R=6370 km, G=6.67 10^-11 Nm²/kg²

Solución

4.-Dos cuerpos iguales de 600 kg de masa cada una están fijos en el espacio y distantes 60 cm. Un tercer cuerpo de masa m, equidistante de ambas, se suelta en la posición A, distante 40 cm de la recta que une los dos primeros. Calcular:

la fuerza sobre el cuerpo de masa m en las posiciones A y B.
la velocidad que llevará el cuerpo de masa m al pasar por la posición B.

Datos: G=6.67 10^-11 Nm²/kg²

Solución

Módulo de la fuerza de atracción $\vec{F}$

$F = G \frac{M m}{r^{2}} F = 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{600 \cdot m}{{0.4}^{2} + {0.3}^{2}}$

La resultante es R=2F·cosθ, y tiene la dirección de la recta que pasa por A y B

tanθ=0.3/0.4, R=2.56·10^-7 N

Aplicamos el principio de conservación de la energía

$2 (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{600 \cdot m}{\sqrt{{0.4}^{2} + {0.3}^{2}}}) = \frac{1}{2} m v^{2} + 2 (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{600 \cdot m}{0.3})$

v=4.62·10^-4 m/s

5.-Un satélite artificial cae hacia la Tierra desde una altura de 150 000 km. Calcular la fuerza sobre el satélite de 100 kg.

La velocidad de impacto sobre la superficie de la Tierra,

Se supone que el satélite parte del reposo.

Datos: La distancia entre los centros de la Tierra y de la Luna es d=384 000 km. Radio de la Tierra R_T=6370 km. Masa de la Tierra M_T=5.98 10²⁴ kg. Masa de la Luna M_L=7.34 10²² kg. Constante G=6.67 10^-11 Nm²/kg².

Solución

Todas las distancias han de estar referidas al centro de la Tierra y al centro de la Luna

$\begin{array}{l} F_{T} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{5.98 \cdot 10^{24} \cdot 100}{{(156.37 \cdot 10^{6})}^{2}} F_{L} = 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{7.34 \cdot 10^{22} \cdot 100}{{(227.63 \cdot 10^{6})}^{2}} \\ F_{T} - F_{L} = 1.62 N \end{array}$

La fuerza resultante está dirigida hacia el centro de la Tierra

Para calcular la velocidad de impacto aplicamos el principio de conservación de la energía

$\begin{array}{l} (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{5.98 \cdot 10^{24} \cdot 100}{156.37 \cdot 10^{6}}) + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{7.34 \cdot 10^{22} \cdot 100}{227.63 \cdot 10^{6}}) = \\ \frac{1}{2} 100 v^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{5.98 \cdot 10^{24} \cdot 100}{6.37 \cdot 10^{6}}) + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{7.34 \cdot 10^{22} \cdot 100}{3.84 \cdot 10^{8} - 6.37 \cdot 10^{6}}) \end{array}$

v=10959.65 m/s

6.-Considérese el sistema formado por el planeta Tierra y su satélite Luna.

Determinar, el punto en el que la fuerza de atracción de la Luna se compensa con la de la Tierra.
Calcular la velocidad mínima necesaria para que una bala disparada desde la Tierra llegue al punto de equilibrio situado entre la Tierra y la Luna con velocidad nula y caiga en la Luna por la acción de la atracción lunar.

Datos: masa de la Tierra M_T=5.98 10²⁴ kg, masa de la Luna M_L=7.34 10²² kg, radio de la Tierra R_T=6.37 10⁶ m, radio de la Luna R_L=1.74 10⁶ m, distancia Tierra-Luna (entre sus centros) d=3.84 10⁸ m. G=6.67 10^-11 Nm²/kg².

Solución

En la posición de equilibrio, la fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite se compensa con la fuerza de atracción de la Luna.

$G \frac{M_{T} m}{x^{2}} = G \frac{M_{L} m}{{(d - x)}^{2}} {\begin{cases} x_{1} = 431.84 \cdot 10^{6} m \\ x_{2} = 345.70 \cdot 10^{6} m \end{cases}$

El primero no es válido ya que las fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección

Aplicamos el principio de conservación de la energía. La energía en la posición A es igual a la energía en la posición B e igual a la de posición C.

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} m v_{T}^{2} + (- G \frac{M_{T} m}{R_{T}}) + (- G \frac{M_{L} m}{d - R_{T}}) = (- G \frac{M_{T} m}{x_{2}}) + (- G \frac{M_{L} m}{d - x_{2}}) = \\ \frac{1}{2} m v_{L}^{2} + (- G \frac{M_{T} m}{d - R_{L}}) + (- G \frac{M_{L} m}{R_{L}}) \end{array}$

v_T=11077 m/s, v_L=2270 m/s

7.-Un satélite artificial describe una órbita elíptica de semieje mayor 8.69 10⁶ m y de 0.193 de excentricidad, y su velocidad en el perigeo es de 8656.8 m/s.

Calcular la velocidad del satélite en el apogeo.

Solución

8.-Un cohete impulsor coloca un satélite artificial en el punto C del dibujo, a una distancia de 20000 km del centro de la Tierra, con una velocidad de 5000 m/s que forma 60º con la dirección radial.

Calcular la posición del apogeo y del perigeo de la órbita que seguirá el satélite y las velocidades del satélite en esos puntos.

M_T= 6.0 10²⁴kg. G = 6.67 10^-11 Nm²/kg²

Solución

La fuerza de atracción es central, el momento angular es constante en todos los puntos de la trayectoria.

El módulo del momento angular inicial es L=r·mv·sinθ=2·10⁷·m·5000·sin60

El momento angular en el perigeo o en el apogeo es L= r·mv·sin90=rmv

La fuerza de atracción es conservativa, la energía del satélite es constante en todos los puntos de la trayectoria.

La energía inicial es

$E = \frac{1}{2} m \cdot 5000^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{6 \cdot 10^{24} \cdot m}{2 \cdot 10^{7}})$

La energía del satélite en el perigeo o en el apogeo es

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{6 \cdot 10^{24} \cdot m}{r})$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas r y v

${\begin{cases} 8.66 \cdot 10^{10} = r \cdot v \\ - 7.44 \cdot 10^{6} = \frac{1}{2} v^{2} - \frac{4.0 \cdot 10^{14}}{r} \end{cases} {\begin{cases} v_{A} = 2104.2 \\ r_{A} = 4.11 \cdot 10^{7} \end{cases} {\begin{cases} v_{P} = 7138.0 m/s \\ r_{P} = 1.21 \cdot 10^{7} m \end{cases}$

9.-El satélite Io del planeta Júpiter describe una órbita circular cuyo periodo es de 1.769 días, sabiendo que el radio de la órbita de Io es de 421 600 km.

Determinar la masa del planeta Júpiter.

Dato: G=6.67 10^-11 Nm²/kg²

Solución

10.-Un satélite artificial de 100 kg se mueve en una órbita elíptica cuyo semieje mayor es de 8700 km y cuya excentricidad es 0.2.

Calcular el perigeo y el apogeo (distancias máxima y mínima al centro de la Tierra) y la velocidad del satélite en esos puntos.
El periodo de revolución.

Datos: R=6370 km, M=5.98 10²⁴ kg, G=6.67 10^-11 Nm²/kg².

Solución

La excentricidad es ε=c/a, c=ε·a=1740 km

Perigeo: r₁=a-c=6960 km

Apogeo: r₂=a+c=10440 km

La fuerza de atracción es central, por lo que el momento angular es constante

L=r₁·mv₁·sin90==r₂mv₂·sin90

Y es conservativa por lo que la energía es constante.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

$\begin{array}{l} {\begin{cases} r_{1} v_{1} = r_{2} v_{2} \\ \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + (- G \frac{M m}{r_{1}}) = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + (- G \frac{M m}{r_{2}}) \end{cases} \\ v_{1} = \sqrt{\frac{2 G M}{r_{1}} \frac{r_{2}}{(r_{1} + r_{2})}} \end{array}$

Sustituyendo los datos, v₁=8292.7 m/s, v₂=5528.5 m/s

El periodo es

$P = \frac{2 π m a b}{L} P = \frac{2 π m a \sqrt{a^{2} - c^{2}}}{m \cdot r_{1} \cdot v_{1}}$

Sustituyendo los datos, P=8073. 3 s

11.-Un cohete coloca un satélite artificial a una altura de 1000 Km sobre la Tierra y con una velocidad trasversal de 9000 m/s. Calcular:

Su máximo alejamiento del centro de la Tierra.
La velocidad en el apogeo
El periodo de revolución

Datos masa de la Tierra M=5.98 10²⁴ kg, radio R=6370 km, G=6.67 10^-11 Nm²/kg².

Solución

r₁=1000+6370 km=7.37·10⁶ m

La fuerza de atracción es central por lo que el momento angular es constante

L=r₁·mv₁·sin90==r₂mv₂·sin90

Y es conservativala por lo que la energía es constante.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\begin{cases} 7.37 \cdot 10^{6} \cdot 9000 = r_{2} v_{2} \\ \frac{1}{2} m \cdot 9000^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{5.98 \cdot 10^{24} m}{7.37 \cdot 10^{6}}) = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{5.98 \cdot 10^{24} m}{r_{2}}) \end{cases}$

v₂=3026.7 m/s, r₂=21.9·10⁶ m

La fórmula del periodo es

$P = \frac{2 π m a b}{L} P = \frac{2 π m a \sqrt{a^{2} - c^{2}}}{m \cdot r_{1} \cdot v_{1}}$

El semieje mayor, el menor y la semidistancia focal se calculan del siguiente modo:

$2 a = r_{1} + r_{2} c = a - r_{1} b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$

Se sustituyen los datos, el periodo es P=17627. 3 s

12.-Las distancias más próxima y más alejada de la Tierra al Sol en su órbita son 1.47·10¹¹ m y 1.52·10¹¹ m respectivamente.

Calcula, las velocidades máxima y mínima del movimiento orbital de la Tierra.

Datos: G=6.67·10^-11 Nm²/kg², Masa del Sol M=1.98·10³⁰ kg.

Solución

La fuerza de atracción es central y conservativa, por lo que el momento angular es constante

L=r₁·mv₁·sin90==r₂mv₂·sin90

Y la energía es constante.

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

${\begin{cases} 1.47 \cdot 10^{11} v_{1} = 1.52 \cdot 10^{11} v_{2} \\ \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{1.98 \cdot 10^{30} m}{1.47 \cdot 10^{11}}) = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + (- 6.67 \cdot 10^{- 11} \frac{1.98 \cdot 10^{30} m}{1.52 \cdot 10^{11}}) \end{cases}$

v₂=29229 m/s, v₁=30223 m/s

13.-La Tierra y Júpiter describen órbitas aproximadamente circulares alrededor del Sol, de radios r₁=1.49·10¹¹ m y r₂=7.78·10¹¹ m, respectivamente.

Calcular el periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta (en años) el planeta Júpiter.

Una nave espacial parte de las proximidades de la Tierra y llega a las proximidades de Júpiter describiendo una órbita elíptica alrededor Sol. Determinar:

La velocidad v₁ de salida y la velocidad v₂ de llegada de la nave espacial. Se desprecian las fuerzas de atracción que ejercen la Tierra y Júpiter sobre la nave espacial frente a la que ejerce el Sol.
El tiempo de viaje (fórmula del periodo P=2mπab/L)

Datos: G=6.67·10^-11 Nm²/kg², Masa del Sol M=1.98·10³⁰ kg. masa de la Tierra 5.98·10²⁴ kg, masa de Júpiter 318 veces la masa de la Tierra

Solución

El planeta Júpiter, describe una órbita circular alrededor del Sol. Aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme. (Fuerza de atracción igual al producto de la masa m por la aceleración normal a_n)

$G \frac{M m}{r^{2}} = m \frac{v^{2}}{r} v = \sqrt{\frac{G M}{r}}$

con r=7.78·10¹¹ m y M=1.98·10³⁰ kg, la velocidad constante de Júpiter en su órbita circular es v, el periodo o tiempo que tarda en dar una vuelta es: P=2πr/v=11.897 años

El momento angular es constante en el perihelio y en el afelio, mr₁·v₁·sin90=mr₂·v₂·sin90

La energía es constante en estas dos posiciones

$\frac{1}{2} m v_{1}^{2} + (- G \frac{M \cdot m}{r_{1}}) = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + (- G \frac{M \cdot m}{r_{2}})$

Se simplifica la masa m de la nave espacial, con los datos r₁=1.49·10¹¹ m y r₂=7.78·10¹¹ m y M=1.98·10³⁰ kg, tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas cuyo resultado es v₁=38571.6 m/s y v₂=7387.1 m/s

En la figura de la derecha vemos la geometría de la elipse: semieje mayor, a, semieje menor, b, semidistancia focal, c

$a = \frac{r_{1} + r_{2}}{2} c = a - r_{1} b = \sqrt{a^{2} - c^{2}}$

El periodo, o tiempo que tarda la nave espacial en dar una vuelta completa es

$P = \frac{2 π a b}{r_{1} v_{1}}$

con los datos del problema, P=55.46·10⁶ s. El tiempo de viaje es la mitad del periodo 321 días.

14.-Se dispara un proyectil desde la superficie de un planeta de masa M y radio R, con velocidad v₀ y haciendo un ángulo de 30° con la dirección radial, tal como se muestra en la figura. Alcanza una máxima altura de 3R/2

Calcula la velocidad v₀ de disparo.

Solución

La fuerza de atracción entre el proyectil y el planeta es central, el momento angular se mantiene constante. El momento angular inicial en A es mRv₀sin30. El momento angular en B (máxima altura) es m(5R/2)v.

$m R \frac{v_{0}}{2} = m \frac{5}{2} R v v_{0} = 5 v$

La fuerza de atracción es conservativa. La energía total se mantiene constante

$\frac{1}{2} m v_{0}^{2} + (- G \frac{M m}{R}) = \frac{1}{2} m v^{2} + (- G \frac{M m}{5 R / 2})$

Eliminando v del sistema de dos ecuaciones

$v_{0} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5 G M}{R}}$

15.-El periodo del cometa Halley es 75.7 años y su distancia más cercana al Sol es r₁=9·10¹⁰ m. Determinar

la excentricidad de la órbita elíptica.
la velocidad en el perihelio v₁ y en el afelio v₂

Datos: G=6.67·10^-11 Nm²/kg², Masa del Sol M=1.98·10³⁰ kg

W. G. Rees. Physics by Example. 200 problems and solutions. Cambridge University Press, (1994), Problem 47, pp.103-104

Solución

Por la tercera ley de Kepler

$P^{2} = \frac{4 π^{2} a^{3}}{G M}$

donde a es el semieje mayor de la elipse

a=2.67·10¹² m
c=a-r₁=2.58·10¹² m
Excentricidad, ε=c/a=0.9663
r₂=a+c=5.25·10¹² m

La fuerza de atracción es central y conservativa, el momento angular y la energía se mantienen constantes. Dados r₁ y r₂ calculamos v₁ y v₂

$\begin{array}{l} {\begin{cases} m r_{1} v_{1} = m r_{2} v_{2} \\ \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{G M m}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{G M m}{r_{2}} \end{cases} \\ \frac{1}{2} (\frac{r_{2}^{2}}{r_{1}^{2}} - 1) v_{2}^{2} = G M (\frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}}) \\ \frac{1}{2} \frac{r_{2} + r_{1}}{r_{1}^{2}} v_{2}^{2} = \frac{G M}{r_{1} r_{2}} \\ v_{2} = \sqrt{2 G M \frac{r_{1}}{r_{2} (r_{2} + r_{1})}}, v_{1} = \sqrt{2 G M \frac{r_{2}}{r_{1} (r_{2} + r_{1})}} \end{array}$

El resultado es, v₂=920.3 m/s, v₁=53 716 m/s

16.-Un planeta de masa m describe una órbita circular de radio r₁ alrededor de una estrella de masa M.

La estrella hace explosión perdiendo parte de su masa, lo que no afecta al planeta. Si la masa de la estrella resultante es M', determinar la excentricidad de la órbita elíptica que describe el planeta.

W. G. Rees. Physics by Example. 200 problems and solutions. Cambridge University Press, (1994), Problem 51, pp.107-109

Solución

En la figura se muestra la situación inicial y la situación final tras la explosión

Situación inicial, aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme

$m \frac{v_{1}^{2}}{r_{1}} = \frac{G M m}{r_{1}^{2}}, v_{1} = \sqrt{\frac{G M}{r_{1}}}$

Justo después de la explosión, la distancia r₁ y la velocidadad v₁ del planeta no se ven afectados

La energía y el momento angular se mantienen constantes a lo largo de la trayectoria elíptica, e igual a su valor inicial justo después de la explosión

$\begin{array}{l} E' = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{G M' m}{r_{1}} \\ L = m r_{1} v_{1} \end{array}$

La energía cinética del planeta no cambia, la energía potencial cambia debido a la masa M' de la estrella resultante

Dado r₁ y v₁, calculamos r₂ y v₂

${\begin{cases} m r_{1} v_{1} = m r_{2} v_{2} \\ \frac{1}{2} m v_{1}^{2} - \frac{G M' m}{r_{1}} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} - \frac{G M' m}{r_{2}} \end{cases}$

Resolvemos la ecuación de segundo grado

$(\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{G M'}{r_{1}}) r_{2}^{2} + G M' r_{2} - \frac{1}{2} r_{1}^{2} v_{1}^{2} = 0$

Una de las raíces es r₁ y la otra, la raíz buscada r₂. Teniendo en cuenta las propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado

$\begin{array}{l} a x^{2} + b x + c = 0 \\ x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} \end{array}$

Tenemos que

$\begin{array}{l} r_{1} + r_{2} = - \frac{G M'}{\frac{1}{2} v_{1}^{2} - \frac{G M'}{r_{1}}} \\ r_{2} = - \frac{G M'}{\frac{1}{2} \frac{G M}{r_{1}} - \frac{G M'}{r_{1}}} - r_{1} = r_{1} (- \frac{2 M'}{M - 2 M'} - 1) = r_{1} \frac{M}{2 M' - M} \\ r_{2} = \frac{r_{1}}{2 μ - 1}, μ = \frac{M'}{M} \end{array}$

Calculamos la excentricidad

$\begin{array}{l} {\begin{cases} r_{1} = a - c = a (1 - ε) \\ r_{2} = a + c = a (1 + ε) \end{cases} \\ \frac{1 + ε}{1 - ε} = \frac{r_{2}}{r_{1}} \end{array}$

El resultado es

$\begin{array}{l} \frac{1 + ε}{1 - ε} = \frac{1}{2 μ - 1} \\ ε = \frac{1 - μ}{μ} \end{array}$