Dinámica celeste

Fuerza de atracción entre los cuerpos

La interacción entre dos cuerpos de masa M y m se describe en término de una fuerza atractiva, cuya dirección es la recta que pasa por el centro de los dos cuerpos y cuyo módulo viene dado por la expresión

$F = G \frac{M m}{r^{2}}$

G es la constante de la gravitación universal G=6.67·10^-11 Nm²/kg², y r es la distancia entre los centros de los cuerpos

Fuerza conservativa

La fórmula de la energía potencial es

$E_{p} = \frac{- G M m}{r}$

El nivel cero de energía potencial se ha establecido en el infinito, para r=∞, E_p=0

Fuerza central

Sea O el centro fijo de fuerzas y m la partícula. Una fuerza es central, cuando el vector posición $\vec{r}$ es paralelo al vector fuerza $\vec{F}$ . El momento de la fuerza $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$ .

$\vec{M} = \frac{d \vec{L}}{d t} \vec{M} = 0 \vec{L} = cte$

El momento angular permanece constante en módulo, dirección y sentido. La trayectoria del móvil estará contenida en un plano perpendicular al vector momento angular L.

Trayectoria elíptica

En el caso de un planeta alrededor del Sol o de un satélite artificial que se mueve alrededor de la Tierra

El momento angular es constante

L=r·mv·sinθ=cte

en particular, en la posición más cercana o más alejada del centro de fuerzas, se tendrá que

r₁·mv₁·sin90=r₂·mv₂·sin90

La energía es constante

$E = \frac{1}{2} m v^{2} + (- G \frac{M m}{r}) = cte$

r₁ es la distancia más cercana al foco y r₂ es la distancia más alejada del foco. Como r₁<r₂ por la constancia del momento angular tendremos que v₁>v₂.

Una elipse es una figura geométrica que tiene las siguientes características:

Semieje mayor $a = \frac{(r_{2} + r_{1})}{2}$
Semieje menor b
Semidistancia focal $c = a - r_{1} = \frac{(r_{2} - r_{1})}{2}$
La relación entre los semiejes es a²=b²+c²
La excentricidad se define como el cociente $ε = \frac{c}{a} = \frac{(r_{2} - r_{1})}{(r_{2} + r_{1})}$

El periodo o tiempo que tarda un planeta en completar una trayectoria elíptica alrededor del Sol

$\begin{array}{l} P = \frac{2 m π a b}{L} \\ P^{2} = \frac{4 π^{2} a^{3}}{G M} \end{array}$