Sistemas aislados

1.-Una plataforma de masa M se puede mover sin rozamiento sobre el plano horizontal. Dos partículas de masas m₁ y m₂ distan 2d tal como se muestra en la figura

Las dos partículas intercambian sus posiciones, como consecuencia la plataforma se desplaza y hacia la izquierda. Calcular la masa m₂ de la partícula

Datos: M=30 kg, m₁=80 kg, 2d=3 m, y=40 cm

Masatsugu Suzuki. Lecture Notes of General Physics I and II Calculus Based

Solución

La posición del centro de masas del sistema aislado no cambia

Sea x₁ la posición inicial del centro de la plataforma. La posición del centro de masas es

$x_{c m} = \frac{m_{1} (x_{1} - d) + M x_{1} + m_{2} (x_{1} + d)}{m_{1} + M + m_{2}} = x_{1} + \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + M + m_{2}} d$

Sea x₂ la posición final del centro de la plataforma. La posición del centro de masas es

$x_{c m} = \frac{m_{2} (x_{2} - d) + M x_{2} + m_{1} (x_{2} + d)}{m_{1} + M + m_{2}} = x_{2} + \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + M + m_{2}} d$

El centro de la plataforma se desplaza y=x₁-x₂

$y = x_{1} - x_{2} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + M + m_{2}} 2 d$

Con los datos del problema, m₂=57.6 kg

2.-Desde el extremo de una plataforma móvil de 80 kg, inicialmente en reposo, un niño de 40 kg corre hacia el otro extremo a una velocidad constante de 1 m/s (respecto de la plataforma). Determinar la velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. ¿Qué principio físico aplicas?

Solución

3.-Desde el extremo A de una plataforma móvil de 80 kg inicialmente en reposo, un niño de 40 kg se desplaza hasta su extremo B. Determinar la posición del niño y del centro de la plataforma cuando el niño se encuentra en B. Razónese la respuesta.

El niño se desplaza de A a B con velocidad constante de 1 m/s sobre la plataforma. Determinar la velocidad de la plataforma y el sentido de su movimiento. Razónese la respuesta

Solución

Sistema aislado

$\begin{array}{l} \vec{F_{e x t}} = \frac{d \vec{P}}{d t} \vec{F_{e x t}} = m \frac{d \vec{V_{c}}}{d t} \\ \vec{F_{e x t}} = 0 \vec{V_{c}} = cte \end{array}$

El niño y la plataforma constituyen un sistema aislado de dos partículas, el centro de masa que está inicialmente en reposo sigue en reposo en la misma posición

$x_{c m} = \frac{80 \cdot 1 + 40 \cdot 2}{80 + 40} = \frac{4}{3} m$

Como vemos en el dibujo, la posición del niño es x_cm-(2-x_cm)=2x_cm-2=2/3 m. La posición del centro de la plataforma es x_cm +(x_cm-1)= 2x_cm-1=5/3 m

El niño y la plataforma constituyen un sistema aislado de dos partículas, el centro de masa que está inicialmente en reposo, su velocidad es cero, no se modifica. O de otra forma, el momento total inicial del sistema es cero y el momento lineal final deberá ser cero.

Si la velocidad de la plataforma es v, la velocidad del niño respecto de a Tierra es v-1.

80·v+40(v-1)=0, la velocidad de la plataforma es v=1/3 m/s

4.-Un recipiente de masa M y longitud L está en reposo. Está dividido en dos partes por un émbolo de masa despreciable que se puede mover sin rozamiento. La parte izquierda contiene una masa m/2 de gas ideal a la temperatura T. La parte derecha contiene la misma cantidad de gas y a la misma temperatura.

Se calienta la porción izquierda hasta que alcanza la temperatura 2T. La temperatura de la porción derecha permanece inalterada.

El resultado es que el recipiente se mueve x.

Physics Challenge for Teachers and Students. Think inside the box. The Physics Teacher. Vol. 55, February 2017. pp. 121

Solución

La ecuación de estado del gas ideal contenido en el recipiente izquierdo es, pV₁=nR(2T)
La ecuación de estado del gas ideal contenido en el recipiente derecho es, pV₂=nRT

Luego, la relación de volúmenes es, V₁=2V₂

Si la sección del recipiente es A

$\begin{array}{l} L_{1} = 2 L_{2} \\ L_{1} + L_{2} = L \end{array}} L_{1} = \frac{2}{3} L, L_{2} = \frac{1}{3} L$

La posición inicial del centro de masas es L/2. Como no hay fuerzas horizontales externas actuando sobre el sistema, la posición del centro de masas no cambia y como consecuencia el recipiente se mueve x. Supongamos que se mueve hacia la derecha, tal como indica la figura

$\frac{L}{2} = \frac{M (x + \frac{L}{2}) + \frac{m}{2} (x + \frac{1}{3} L) + \frac{m}{2} (x + \frac{2}{3} L + \frac{1}{6} L)}{M + \frac{m}{2} + \frac{m}{2}}$

El resultado es

$x = - \frac{1}{12} \frac{m}{m + M} L$

El recipiente se mueve x hacia la izquierda

5.-Un prisma triangular de masa M se coloca sobre un plano horizontal sobre el cual puede deslizar sin rozamiento. Sobre los otros dos lados inclinados θ₁ y θ₂, se colocan dos bloques de masas m₁ y m₂, respectivamente, conectadas por un hilo inextensible que pasa por una polea de masa despreciable sujeta en el vértice. Los bloques pueden deslizar sin rozamiento a lo largo de sus respectivos planos inclinados. Calcular:

la aceleración a₀ del prisma
la aceleración a de los masas relativa al prisma
El cociente de las masas m₁/m₂ para que el prisma esté en equilibrio

Problema propuesto en la V Olimpiada Internacional de Física, Sofía, Bulgaria (1971)

Solución

Aceleraciones de los cuerpos

Las aceleraciones relativas al prisma de los bloques tienen el mismo módulo a por estar los bloques unidos mediante una cuerda inextensible.

Del prisma

La aceleración del prisma es $\vec{a_{0}}$ , paralela al plano horizontal

Del bloque de masa m₁

La aceleración del bloque de masa m₁ relativa al prisma es $\vec{a_{1}}$ su módulo es a y su dirección es paralela al plano inclinado θ₁

La aceleración de este bloque respecto al S. R. inercial es

$\vec{A_{1}} = \vec{a_{0}} + \vec{a_{1}} {\begin{cases} A_{1 x} = a_{0} + a \cos θ_{1} \\ A_{1 y} = a \sin θ_{1} \end{cases}$

Del bloque de masa m₂

La aceleración del bloque de masa m₂ relativa al prisma es $\vec{a_{2}}$ su módulo es a y su dirección es paralela al plano inclinado θ₂

La aceleración de este bloque respecto al S. R. inercial es

$\vec{A_{2}} = \vec{a_{0}} + \vec{a_{2}} {\begin{cases} A_{2 x} = a_{0} + a \cos θ_{2} \\ A_{2 y} = - a \sin θ_{2} \end{cases}$

Ecuaciones del movimiento de cada uno de los cuerpos

Bloque de masa m₁

Sobre este bloque actúa el peso m₁g, la tensión de la cuerda T₁ en la dirección del plano sobre el que desliza, la reacción del plano inclinado N₁, perpendicular a dicho plano. La ecuación del movimiento es

$m_{1} \vec{A_{1}} = m_{1} \vec{g} + \vec{T_{1}} + \vec{N_{1}} {\begin{cases} m_{1} (a_{0} + a \cos θ_{1}) = T_{1} \cos θ_{1} - N_{1} \sin θ_{1} \\ m_{1} (a \sin θ_{1}) = T_{1} \sin θ_{1} + N_{1} \cos θ_{1} - m_{1} g \end{cases}$

Bloque de masa m₂

Sobre este bloque actúa el peso m₂g, la tensión de la cuerda T₂ en la dirección del plano sobre el que desliza, la reacción del plano inclinado N₂, perpendicular a dicho plano. La ecuación del movimiento es

$m_{2} \vec{A_{2}} = m_{2} \vec{g} + \vec{T_{2}} + \vec{N_{2}} {\begin{cases} m_{2} (a_{0} + a \cos θ_{2}) = - T_{2} \cos θ_{2} + N_{2} \sin θ_{2} \\ m_{2} (- a \sin θ_{2}) = T_{2} \sin θ_{2} + N_{2} \cos θ_{2} - m_{2} g \end{cases}$

Sobre el prisma de masa M

Sobre el prisma actúa el peso Mg, la reacción del plano horizontal N, las fuerzas que ejerce la cuerda sobre la polea T₁ y T₂, y las fuerzas que ejercen los bloques sobre los planos inclinados N₁ y N₂, que por la tercera ley de Newton son fuerzas iguales y de sentido contrario a la que ejercen los planos sobre los bloques. La ecuación del movimiento es

$\begin{array}{l} M \vec{a_{0}} = M \vec{g} - \vec{N_{1}} - \vec{N_{2}} - {\vec{T}}_{1} - \vec{T_{2}} + \vec{N} \\ {\begin{cases} M a_{0} = N_{1} \sin θ_{1} - N_{2} \sin θ_{2} - T_{1} \cos θ_{1} + T_{2} \cos θ_{2} \\ 0 = - M g - N_{1} \cos θ_{1} - N_{2} \cos θ_{2} - T_{1} \sin θ_{1} - T_{2} \sin θ_{2} + N \end{cases} \end{array}$

La segunda ecuación expresa el equilibrio del prisma en la dirección perpendicular al plano

Los módulos de ${\vec{T}}_{1}$ y ${\vec{T}}_{2}$ son iguales ya que la polea tiene masa y por tanto, momento de inercia despreciable

Tenemos un sistema de cinco ecuaciones con cinco incógnitas: las aceleraciones a₀ y a, los módulos de las fuerzas T, N₁ y N₂, que vamos a resolver a continuación

${\begin{cases} m_{1} (a_{0} + a \cos θ_{1}) = T \cos θ_{1} - N_{1} \sin θ_{1} \\ m_{1} (a \sin θ_{1}) = T \sin θ_{1} + N_{1} \cos θ_{1} - m_{1} g \\ m_{2} (a_{0} + a \cos θ_{2}) = - T \cos θ_{2} + N_{2} \sin θ_{2} \\ m_{2} (- a \sin θ_{2}) = T \sin θ_{2} + N_{2} \cos θ_{2} - m_{2} g \\ M a_{0} = N_{1} \sin θ_{1} - N_{2} \sin θ_{2} - T \cos θ_{1} + T \cos θ_{2} \end{cases}$

Para resolver el sistema, tomamos la primera, tercera y quinta ecuación

${\begin{cases} m_{1} (a_{0} + a \cos θ_{1}) = T \cos θ_{1} - N_{1} \sin θ_{1} \\ m_{2} (a_{0} + a \cos θ_{2}) = - T \cos θ_{2} + N_{2} \sin θ_{2} \\ M a_{0} = N_{1} \sin θ_{1} - N_{2} \sin θ_{2} - T \cos θ_{1} + T \cos θ_{2} \end{cases}$

Despejamos Tcosθ₁ de la primera, Tcosθ₂ de la segunda y la introducimos en la tercera, obtenemos la relación entre las aceleraciones

$a = - a_{0} \frac{M + m_{1} + m_{2}}{m_{1} \cos θ_{1} + m_{2} \cos θ_{2}}$

En el sistema formado por las dos primeras ecuaciones despejamos, T y N₁

$\begin{array}{l} {\begin{cases} m_{1} (a_{0} + a \cos θ_{1}) = T \cos θ_{1} - N_{1} \sin θ_{1} \\ m_{1} (a \sin θ_{1}) = T \sin θ_{1} + N_{1} \cos θ_{1} - m_{1} g \end{cases} \\ m_{1} a_{0} \sin θ_{1} = - N_{1} + m_{1} g \cos θ_{1} \\ m_{1} (a \cos θ_{1} + a) = T - m_{1} g \sin θ_{1} \end{array}$

En el sistema formado por la tercera y cuarta ecuaciones despejamos, T y N₂

$\begin{array}{l} {\begin{cases} m_{2} (a_{0} + a \cos θ_{2}) = - T \cos θ_{2} + N_{2} \sin θ_{2} \\ m_{2} (- a \sin θ_{2}) = T \sin θ_{2} + N_{2} \cos θ_{2} - m_{2} g \end{cases} \\ m_{2} a_{0} \sin θ_{2} = N_{2} - m g \cos θ_{2} \\ m_{2} (a_{0} \cos θ_{2} + a) = - T + m_{2} g \sin θ_{2} \end{array}$

Eliminamos la tensión T en el sistema

$\begin{array}{l} {\begin{cases} m_{1} (a \cos θ_{1} + a) = T - m_{1} g \sin θ_{1} \\ m_{2} (a_{0} \cos θ_{2} + a) = - T + m_{2} g \sin θ_{2} \end{cases} \\ (m_{1} \cos θ_{1} + m_{2} \cos θ_{2}) a_{0} + (m_{1} + m_{2}) a = m_{2} g \sin θ_{2} - m_{1} g \sin θ_{1} \end{array}$

Introducimos el valor de la aceleración a en esta ecuación y despejamos a₀

$a_{0} = g \frac{(m_{2} \sin θ_{2} - m_{1} \sin θ_{1}) (m_{1} \cos θ_{1} + m_{2} \cos θ_{2})}{{(m_{1} \cos θ_{1} + m_{2} \cos θ_{2})}^{2} - (m_{1} + m_{2} + M) (m_{1} + m_{2})}$

La aceleración a₀=0, el bloque no se mueve, cuando

$\frac{m_{1}}{m_{2}} = \frac{\sin θ_{2}}{\sin θ_{1}}$