Sistemas aislados. Choques

Sistemas aislados. Choques (I)

1.-Una partícula de 5 kg de masa, moviéndose a 2 m/s, choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo. Si el choque es frontal y elástico, hallar la velocidad de cada partícula después del choque.

Solución

2.-Un núcleo U en reposo se divide en dos fragmentos con masas de 140 y 90 u.m.a. La Q de la reacción es de 190 MeV. (un mega M es 106 veces). Datos: 1 u.m.a.=1.66 10^-27 kg, 1eV=1.6 10^-19 J.

Hallar las velocidades de cada uno de los dos fragmentos.

Solución

1.-Conservación del momento lineal

$0 = m_{1} \vec{v_{1}} + m_{2} \vec{v_{2}}$

Los fragmentos m₁ y m₂ salen en la misma dirección pero en sentido contrario. La relación entre los módulos de las velocidades es
m₁v₁=m₂v₂

2.-Balance energético de la colisión La energía “potencial” nuclear se convierte en energía cinética de los fragmentos

$Q = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2}$

Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas v₁ y v₂

$v_{2} = \sqrt{\frac{Q}{m_{2} (\frac{m_{2}}{m_{1}} + 1)}} v_{1} = \frac{m_{2}}{m_{1}} v_{2}$

v₂= 7 154 447 m/s, v₁=11 129 140 m/s

3.-Un cuerpo de 5 kg de masa se mueve sobre una mesa lisa con velocidad de 10 m/s y choca contra otro cuerpo de 10 kg de masa, que se desplaza en dirección perpendicular al anterior con velocidad de 5 m/s. Ambos bloques después del choque quedan unidos y se desplazan juntos. Calcular:

La velocidad de ambos después del choque.
La dirección de su velocidad.
La pérdida de energía cinética en el choque

Solución

4.-Una partícula de masa 0.2 kg moviéndose a 0.4 m/s choca contra otra partícula de masa 0.3 kg que está en reposo. Después del choque la primera partícula se mueve a 0.2 m/s en una dirección que hace un ángulo de 40º con la dirección original.

Hallar la velocidad de la segunda partícula.
La Q del proceso.

Solución

Se aplica el principio de conservación del momento lineal

Masa (kg)	V. antes del choque	V. después del choque
0.2	$0.4 \hat{i}$	$0.2 \cos 40 \cdot \hat{i} + 0.2 \sin 40 \cdot \hat{j}$
0.3	0	$\vec{v}$

$\begin{array}{l} 0.2 (0.4 \cdot \hat{i}) = 0.2 (0.2 \cos 40 \cdot \hat{i} + 0.2 \sin 40 \cdot \hat{j}) + 0.3 \vec{v} \\ \vec{v} = 0.164 \hat{i} - 0.086 \hat{j} m/s \end{array}$

Módulo: v=0.186 m/s, ángulo θ=-27.5º

Balance energético

$Q = \frac{1}{2} 0.3 v^{2} + \frac{1}{2} 0.2 \cdot {0.2}^{2} - \frac{1}{2} 0.2 \cdot {0.4}^{2} = - 6.84 \cdot 10^{- 4} J$

5.-Una partícula de masa 4 kg y velocidad 2 m/s choca contra otra de 3 kg que está en reposo. La primera se desvía –45º respecto de la dirección inicial y la segunda 30º.

Calcular las velocidades de ambas partículas después del choque.
¿Es elástico?

Solución

Se aplica el principio de conservación del momento lineal

Masa (kg)	V. antes del choque	V. después del choque
4	$2 \hat{i}$	$v_{1} \cos 45 \cdot \hat{i} - v_{1} \sin 45 \cdot \hat{j}$
3	0	$v_{2} \cos 30 \cdot \hat{i} + v_{2} \sin 30 \cdot \hat{j}$

$4 (2 \hat{i}) = 4 (v_{1} \cos 45 \cdot \hat{i} - v_{1} \sin 45 \cdot \hat{j}) + 3 (v_{2} \cos 30 \cdot \hat{i} + v_{2} \sin 30 \cdot \hat{j})$

Tenemos el sistema de ecuaciones

8= 4v₁·cos45+3v₂·cos30
0=-4v₁·sin45+3 v₂·sin30

La solución del sistema es: v₁=1.04 m/s, v₂=1.95 m/s

Balance energético

$\frac{1}{2} 4 \cdot 2^{2} + Q = \frac{1}{2} 4 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 3 v_{2}^{2} Q = - 0.14 J$

6.-Tres partículas A, B y C de masas m_A = m_B = m y m_C = 2m, respectivamente se están moviendo con velocidades cuyo sentido se indica en la figura y de valor v_A = v_B = v y v_C = 2v.

Se dirigen hacia el origen del sistema de coordenadas al que llegan en el mismo instante. Al colisionar A y B quedan adheridas y salen en la dirección indicada con velocidad v/2.

Determinar:

La velocidad y dirección sale la partícula C.
¿Es un choque elástico?. Razona la respuesta

Solución

Conservación del momento lineal

Masa (kg)	V. antes del choque	V. después del choque
m	$- v \hat{i}$	$- (v / 2) \sin 60 \cdot \hat{i} - (v / 2) \cos 60 \cdot \hat{j}$
m	$v \hat{i}$	$- (v / 2) \sin 60 \cdot \hat{i} - (v / 2) \cos 60 \cdot \hat{j}$
2m	$- 2 v \hat{j}$	$\vec{v_{c}}$

$\begin{array}{l} m (- v \hat{i}) + m (v \hat{i}) + (2 m) (- 2 v \hat{j}) = (2 m) (- \frac{v}{2} \sin 60 \cdot \hat{i} - \frac{v}{2} \cos 60 \cdot \hat{j}) + (2 m) \vec{v_{c}} \\ \vec{v_{c}} = v \frac{\sin 60 \cdot \hat{i} + (- 4 + \cos 60) \hat{j}}{2} = v \frac{\sqrt{3}}{4} \hat{i} - v \frac{7}{4} \hat{j} {\begin{cases} v_{c} = \frac{\sqrt{13}}{2} v m/s \\ θ = - 76.1 º \end{cases} \end{array}$

Balance energético

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (2 m) {(2 v)}^{2} + Q = \frac{1}{2} m {(\frac{v}{2})}^{2} + \frac{1}{2} m {(\frac{v}{2})}^{2} + \frac{1}{2} (2 m) v_{C}^{2} \\ Q = - \frac{3}{2} m v^{2} \end{array}$

7.-Las esferas de la figura tienen masas m_A = 20 g, m_B = 30 g y m_C = 50 g. Se mueven hacia el origen sobre una mesa sin fricción con velocidades v_A = 1.5 m/s y v_B = 0.5 m/s. Las tres esferas llegan al origen simultáneamente.

¿Cuánto tiene que valer $\vec{v_{c}}$ (módulo y dirección) para que las masas queden en el origen, sin moverse, después del choque?

¿Se ha perdido energía cinética en el choque? Si es así, cuánta

Solución

Conservación del momento lineal

Masa (kg)	V. antes del choque	V. después del choque
0.02	$- 1.5 \hat{i}$	0
0.03	$- 0.5 \cos 60 \cdot \hat{i} - 0.5 \sin 60 \cdot \hat{j}$	0
0.05	$\vec{v_{c}}$	0

$\begin{array}{l} 0.02 (- 1.5 \hat{i}) + 0.03 (- 0.5 \cos 60 \cdot \hat{i} - 0.5 \sin 60 \cdot \hat{j}) + 0.05 \vec{v_{c}} = 0 \\ \vec{v_{c}} = 0.75 \cdot \hat{i} + 0.15 \sqrt{3} \hat{j} {\begin{cases} v_{c} = 0.79 m/s \\ θ = 19.1 º \end{cases} \end{array}$

Balance energético de la colision

$\frac{1}{2} 0.02 \cdot {1.5}^{2} + \frac{1}{2} 0.03 \cdot {0.5}^{2} + \frac{1}{2} 0.03 \cdot v_{c}^{2} + Q = 0 Q = - 0042 J$

8.-Una partícula de 5 kg de masa moviéndose a 2 m/s choca contra otra partícula de 8 kg de masa inicialmente en reposo.Si la primera partícula se desvió 50º de la dirección original del movimiento. Hallar la velocidad de cada partícula después del choque. Se supone que el choque es elástico

Solución

Se aplica el principio de conservación del momento lineal

Masa (kg)	V. antes del choque	V. después del choque
5	$2 \hat{i}$	$v_{1} \cos 50 \cdot \hat{i} + v_{1} \sin 50 \cdot \hat{j}$
8	0	$\vec{v_{2}}$

$5 (2 \hat{i}) = 5 (v_{1} \cos 50 \cdot \hat{i} + v_{1} \sin 50 \cdot \hat{j}) + 8 \vec{v_{2}}$

Si el choque es elástico, Q=0, la energía cinética inicial es igual a la final

$\frac{1}{2} 5 \cdot 2^{2} = \frac{1}{2} 5 \cdot v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 8 \cdot v_{2}^{2}$

Despejamos el vector $\vec{v_{2}}$ en la primera ecuación, hallamos su módulo v₂ y lo introducimos en la segunda.

$\begin{array}{l} \vec{v_{2}} = \frac{(10 - 5 v_{1} \cos 50) \hat{i} - (5 \cdot v_{1} \sin 50) \hat{j}}{8} \\ v_{2}^{2} = \frac{{(10 - 5 v_{1} \cos 50)}^{2} - {(5 \cdot v_{1} \sin 50)}^{2}}{64} \\ 20 = 5 v_{1}^{2} + \frac{100 + 25 v_{1}^{2} - 100 v_{1} \cos 50}{8} \\ 65 v_{1}^{2} - 100 \cos 50 \cdot v_{1} - 60 = 0 {\begin{cases} v_{1} = 1.575 m/s {\begin{cases} v_{2} = 0.974 m/s \\ θ = - 50.7 º \end{cases} \\ v_{1} = - 0.586 m/s {\begin{cases} v_{2} = 1.512 m/s \\ θ = 10.7 º \end{cases} \end{cases} \end{array}$

9.-La figura muestra el resultado del choque entre dos discos de masas m y 2m. El primer disco lleva una velocidad de 2 m/s y el segundo está inicialmente en reposo. Calcular las velocidades (módulos) v₁ y v₂ de los discos después del choque. Comprobar si es o no elástico.

Solución

Sistema aislado $\vec{F_{e x t}} = 0$ de dos partículas que interactúan. Se aplica el principio de conservación del momento lineal

$\begin{array}{l} \vec{p_{i}} = m \cdot 2 \hat{i} \\ \vec{p_{f}} = m \cdot (v_{1} \cos 103.8 \cdot \hat{i} + v_{1} \sin 103.8 \cdot \hat{j}) + 2 m \cdot (v_{2} \cos (- 23.6) \cdot \hat{i} + v_{2} \sin (- 23.6) \cdot \hat{j}) \\ \vec{p_{i}} = \vec{p_{f}} {\begin{cases} 2 = v_{1} \cos 103.8 + 2 v_{2} \cos 23.6 \\ 0 = v_{1} \sin 103.8 - 2 v_{2} \sin 23.6 \end{cases} \end{array}$

El resultado es: v₁=1.008 m/s, v₂=1.2224 m/s

Balance energético

$\begin{array}{l} E_{i} = \frac{1}{2} m 2^{2} = 2 m \\ E_{f} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 2 m v_{2}^{2} = 2 m \end{array}$

La energía inicial y final son iguales, el choque es elástico

10.-Una bala de 50 g de masa se empotra en un bloque de madera de 1.2 kg de masa que está suspendido de una cuerda de 2 m de larga. Se observa que el centro de masa del bloque y la bala se eleva 40 cm. Encontrar el módulo de la velocidad de la bala.

Solución

11.-Una bala de 50 g de masa atraviesa un bloque de madera de 1 kg de masa, que está suspendido de una cuerda de 2 m de larga. Se observa que el centro de masa del bloque se eleva 50 mm.

Encontrar el módulo de la velocidad de la bala cuando sale del bloque, sabiendo que el módulo de su velocidad antes de impactar fue de 500 m/s.

Despreciar la pérdida de masa del bloque debido al orificio producido por la bala.

Solución

12.-Una bala de 20 g cuya velocidad es de 600 m/s, choca contra un bloque de 1kg, que pende de un hilo sin peso de 1m de longitud, empotrándose en el bloque. Calcular:

La velocidad inmediatamente después del choque, del conjunto bloque – bala.
La tensión del hilo cuando el conjunto pasa por la parte más alta de su trayectoria (si es que pasa).

Solución

13.-Una bala de 200 g choca con un bloque de 1.5 kg que cuelga de una cuerda, sin peso de 0.5 m de longitud, empotrándose en el bloque. A este dispositivo se le denomina péndulo balístico.

Responder a las siguientes cuestiones:¿Cuál debe ser la velocidad de la bala para que el péndulo se desvíe 30º?
Determinar la tensión de la cuerda en el punto más alto de la trayectoria circular, cuando la velocidad de la bala es de 45 m/s.
¿Describirá el bloque un movimiento circular cuando la velocidad de la bala es de 40 m/s?. Razónese la respuesta. En caso negativo, determinar su desplazamiento angular.

Solución

Conservación del momento lineal (o conservación del momento angular)

0.2·v₀=(1.5+0.2)v

Después del choque el conjunto bloque-bala se eleva 40 cm, aplicamos el principio de conservación de la energía.

$\frac{1}{2} 1.7 \cdot v^{2} = 1.25 \cdot 9.8 \cdot (0.5 - 0.5 \cdot \cos 30) v = 1.15 m/s$

v₀=9.74 m/s

Choque. Conservación del momento lineal

0.2·45=1.7·v,

v=5.29 m/s

Después del choque, el conjunto bloque-bala asciende 1 m, principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} 1.7 v^{2} = 1.7 \cdot 9.8 \cdot 1 + \frac{1}{2} 1.7 v_{1}^{2} v_{1} = 2.90 m/s$

Dinámica del movimiento circular uniforme

$T + 1.7 \cdot 9.8 = 1.7 \frac{v_{1}^{2}}{0.5} T = 11.99 N$

Choque. Conservación del momento lineal

0.2·40=1.7·v,

v=4.70 m/s

Después del choque, el conjunto bloque-bala asciende 1 m, principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} 1.7 v^{2} = 1.7 \cdot 9.8 \cdot 1 + \frac{1}{2} 1.7 v_{1}^{2} v_{1} = 1.60 m/s$

Dinámica del movimiento circular uniforme

$T + 1.7 \cdot 9.8 = 1.7 \frac{v_{1}^{2}}{0.5} T = - 8.0 N$

No describe una trayectoria circular.

El ángulo máximo de desviación θ se obtiene cuando T=0. Aplicamos el principio de conservación de la energía para obtener la velocidad v₂ en esta posposición

$\begin{array}{l} 1.7 \cdot 9.8 \cos (180 - θ) = 1.7 \frac{v_{2}^{2}}{0.5} \\ \frac{1}{2} 1.7 v^{2} = 1.7 \cdot 9.8 \cdot (0.5 - 0.5 \cdot \cos θ) + \frac{1}{2} 1.7 v_{2}^{2} \end{array}$

Desplazamiento angular del conjunto bloque-bala θ=147.1º

14.-El péndulo simple de la figura consta de una masa puntual m₁=20 kg, atada a una cuerda sin masa de longitud 1.5 m. Se deja caer desde la posición A. Al llegar al punto más bajo de su trayectoria, punto B, se produce un choque perfectamente elástico con otra masa m₂=25 kg, que se encuentra en reposo en esa posición sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Como consecuencia del choque, la masa m₁ rebota hasta alcanzar la posición C a altura h del suelo. Determinar

La velocidad de m₁ al llegar a la posición B antes del choque y la tensión de la cuerda en ese instante.
Las velocidades de m₁y m₂después del choque.
La altura h al que asciende la masa m₁ después del choque

Solución

Principio de conservación de la energía

$20 \cdot 9.8 \cdot 1.5 = \frac{1}{2} 20 v^{2} v = 5.42 m/s$

Dinámica del movimiento circular uniforme

$T - 20 \cdot 9.8 = 20 \frac{v^{2}}{1.5} T = 588 N$

Choque elástico

Conservación del momento lineal (o angular). En un choque elástico no hay pérdida de energía cinética

$\begin{array}{l} 20 \cdot v = 20 \cdot v_{1} + 25 v_{2} \\ \frac{1}{2} 20 v^{2} = \frac{1}{2} 20 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 25 v_{2}^{2} \end{array}$

v₂=4.82 m/s, v₁=-0.60 m/s

Principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} 20 v_{1}^{2} = 20 \cdot 9.8 \cdot h h = 0.02 m$

15.-Dos bolas de marfil de masas m y 2m respectivamente están suspendidas de dos hilos inextensibles de 1 m de longitud.

Separamos la bola de masa m de su posición de equilibrio 60º, manteniendo el hilo extendido y en el mismo plano vertical que el otro hilo. La soltamos y choca elásticamente con la bola de masa 2m.

Se pide calcular:

La velocidad de ambas bolas inmediatamente después del choque.
Las máximas alturas a las que ascenderán después del choque.

Solución

Velocidad antes del choque. Principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} m v^{2} = m \cdot 9.8 \cdot (1 - 1 \cdot \cos 60) v = \sqrt{9.8} m/s$

Choque elástico. Conservación del momento lineal. La energía cinética no cambia

${\begin{cases} m v = m v_{1} + 2 m v_{2} \\ \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 2 m v_{2}^{2} \end{cases}} {\begin{cases} v_{1} = - \frac{1}{3} v \\ v_{2} = \frac{2}{3} v \end{cases}$

Alturas que alcanzan después del choque. Principio de conservación d ela energía

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = m g h_{1} h_{1} = 0.056 m θ_{1} = 19.2 º \\ \frac{1}{2} 2 m v_{2}^{2} = 2 m g h_{2} h_{2} = 0.222 m θ_{2} = 38.9 º \end{array}$

16.-Una bala de masa 0.3 kg y velocidad desconocida choca contra un saco de 4 kg suspendido de una cuerda de 0.5 m de larga y en reposo. Después del choque el saco se eleva hasta que la cuerda hace un ángulo de 30º con la vertical, mientras tanto la bala describe una parábola, estando el punto de impacto a 20 m de distancia horizontal y 1.5 m por debajo. Calcular:

La velocidad del saco y la de la bala inmediatamente después del choque
La velocidad de la bala antes del choque y la energía perdida en el mismo
La tensión de la cuerda cuando esta hace 10º con la vertical

Solución

Después del choque la bala se mueve con velocidad v₁

La bala después del choque describe una parábola

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 9.8 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v_{1} \\ v_{y} = - 9.8 \cdot t \end{cases} {\begin{cases} x = v_{1} t \\ y = 1.5 + \frac{1}{2} (- 9.8) t^{2} \end{cases}$

Cuando llega al suelo y=0, x=20,

Calculamos v₁=36.14 m/s

El saco después del choque describe un arco de circunferencia

Principio de conservación de la energía

$\frac{1}{2} 4 v_{2}^{2} = 4 \cdot 9.8 \cdot (0.5 - 0.5 \cos 30) v_{2} = 1.15 m/s$

Tensión de la cuerda cuando θ=10º

Fuerzas sobre la partícula
Peso, 4·9.8

Tensión de la cuerda, T

$T - 4 \cdot 9.8 \cdot \cos 10 = 4 \frac{v^{2}}{0.5}$

La velocidad v se calcula aplicando el principio de conservación d ela energía

$\frac{1}{2} 4 v_{1}^{2} = 4 \cdot 9.8 (0.5 - 0.5 \cos 10) + \frac{1}{2} 4 v^{2} v = 1.08 m/s$

La tensión de la cuerda vale

T=47.92 N

Choque entre la bala y el saco. Conservación del momento lineal

0.3·v=0.3·v₁+4·v₂

v=51.43 m/s

Balance energético

$\frac{1}{2} 0.3 v^{2} + Q = \frac{1}{2} 4 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 0.3 v_{2}^{2} Q = - 198.06 J$

17.-Una granada se mueve horizontalmente con respecto al suelo a 8 km/s explota dividiéndose en tres fragmentos iguales. Uno sale en dirección horizontal (la misma que llevaba la granada) a 16 km/s. El segundo sale hacia arriba formando un ángulo de 45º y el tercer fragmento, hacia abajo formando un ángulo de 45º.

Hallar la velocidad del segundo y del tercer fragmento
Hallar la Q de la explosión (Q=ΔE_c)
Sabiendo que la granada se encontraba a 100 m del suelo cuando se produce la explosión, hallar el alcance de cada uno de los fragmentos.

Solución

Conservación del momento lineal

$\begin{array}{l} m (8000 \cdot \hat{i}) = \frac{m}{3} (16000 \cdot \hat{i}) + \frac{m}{3} (v_{1} \cos 45 \cdot \hat{i} + v_{1} \sin 45 \cdot \hat{j}) + \frac{m}{3} (v_{2} \cos 45 \cdot \hat{i} - v_{2} \sin 45 \cdot \hat{j}) \\ \begin{array}{l} \begin{array}{l} {\begin{cases} 8000 = \frac{1}{3} 16000 + \frac{1}{3} v_{1} \cos 45 + \frac{1}{3} v_{2} \cos 45 \\ 0 = \frac{1}{3} v_{1} \sin 45 - \frac{1}{3} v_{2} \sin 45 \end{cases} \end{array} \end{array} \end{array}$

v₁=v₂=5656.8 m/s

Trayectorias de los fragmentos:

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 9.8 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = 16000 \\ v_{y} = - 9.8 \cdot t \end{cases} {\begin{cases} x = 16000 t \\ y = 100 + \frac{1}{2} (- 9.8) t^{2} \end{cases}$

Llega al suelo, y=0, x=72.3 km

$\begin{array}{l} {\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 9.8 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v_{1} \cos 45 \\ v_{y} = v_{1} \sin 45 + (- 9.8) \cdot t \end{cases} {\begin{cases} x = v_{1} \cos 45 t \\ y = 100 + v_{1} \sin 45 \cdot t \frac{1}{2} (- 9.8) t^{2} \end{cases} \\ {\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 9.8 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = 4000 \\ v_{y} = 4000 + (- 9.8) \cdot t \end{cases} {\begin{cases} x = 4000 t \\ y = 100 + 4000 \cdot t \frac{1}{2} (- 9.8) t^{2} \end{cases} \end{array}$

Llega al suelo, y=0, x=3265.4 km

$\begin{array}{l} {\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 9.8 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v_{1} \cos 45 \\ v_{y} = - v_{1} \sin 45 + (- 9.8) \cdot t \end{cases} {\begin{cases} x = v_{1} \cos 45 t \\ y = 100 - v_{1} \sin 45 \cdot t \frac{1}{2} (- 9.8) t^{2} \end{cases} \\ {\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 9.8 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = 4000 \\ v_{y} = - 4000 + (- 9.8) \cdot t \end{cases} {\begin{cases} x = 4000 t \\ y = 100 - 4000 \cdot t \frac{1}{2} (- 9.8) t^{2} \end{cases} \end{array}$

Llega al suelo, y=0, x=100 m

18.-Una bala de 10 g se incrusta en un bloque de 990 g que descansa sobre una superficie horizontal sin fricción, sujeto a un resorte de constante k=800 N/m, tal como se ve en la figura. El impacto comprime el resorte 15 cm.

Calcular

La velocidad del conjunto bloque + bala justo después del choque
La velocidad de la bala antes del choque.

Solución

19.-Una bala de masa 0.2 kg y velocidad 50 m/s choca contra un bloque de masa 10 kg, empotrándose en el mismo. El bloque está unido a un resorte de constante 1000 N/m, y el coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano horizontal es de 0.1. Calcular:

La velocidad del conjunto bala - bloque inmediatamente después del choque.
La máxima deformación del muelle.

Solución

20.-Un bloque de masa m₁= 1 kg choca contra otro bloque que se encuentra en reposo de masa m₂ = 2 kg, situado en la posición indicada en la figura. La velocidad del primer bloque inmediatamente antes del choque es v₁= 5 m/s.

Sabiendo que el choque es elástico y que podemos considerar las masas como puntuales, calcular la velocidad de las dos masas inmediatamente después del choque.

Teniendo en cuenta que el coeficiente de rozamiento entre el plano y los cuerpos es μ = 0.1, calcular:

La máxima compresión del muelle (de constante k = 1000 N/m) producida por m₂.
La distancia que recorre m₁ hasta detenerse

Solución

Choque elástico. Conservación del momento lineal. La energía cinética no cambia

${\begin{cases} 1 \cdot 5 = 1 v_{1} + 2 v_{2} \\ \frac{1}{2} 1 \cdot 5^{2} = \frac{1}{2} 1 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 2 v_{2}^{2} \end{cases}} {\begin{cases} v_{1} = - \frac{5}{3} v \\ v_{2} = \frac{10}{3} v \end{cases}$

Movimiento del primer bloque después del choque

$\begin{array}{l} {\begin{cases} N = 1 \cdot 9.8 \\ F_{r} = μ N = 0 - 1 \cdot 1 \cdot 9.8 = 0.98 \end{cases} \\ - F_{r} x_{1} = \frac{1}{2} 1 {(\frac{5}{3})}^{2} x_{1} = 1.42 m \end{array}$

Movimiento del segundo bloque después del choque

$\begin{array}{l} {\begin{cases} N = 2 \cdot 9.8 \\ F_{r} = μ N = 0.1 \cdot 2 \cdot 9.8 = 1.96 \end{cases} \\ - F_{r} (1 + x) = \frac{1}{2} 1000 x^{2} - \frac{1}{2} 2 {(\frac{10}{3})}^{2} x = 0.133 m \end{array}$

El desplazamiento del segundo bloque es x₂=1+x=1.133 m

21.-Una bala de 0.2 kg y velocidad u=50 m/s choca contra un bloque de 9.8 kg empotrándose en el mismo. El bloque está unido a un muelle de constante k=1000 N/m. Calcular.

La velocidad v₀ del conjunto bala-bloque después del choque.
La amplitud, periodo, fase inicial del MAS que describe el conjunto bala-bloque.

Solución

Conservación del momento lineal

0.2·50=(0.2+9.8)v

v=1 m/s

Movimiento armónico simple

$\begin{array}{l} x = A \sin (ω t + φ) ω = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{1000}{0.2 + 9.8}} = 10 rad/s \\ v = \frac{d x}{d t} = A ω \cos (ω t + φ) \end{array}$

Condiciones iniciales: en el instante t=0, x=0, v=1 m/s

${\begin{cases} 0 = A \sin φ \\ 1 = A \cdot 10 \cdot \cos φ \end{cases}} {\begin{cases} A = 0.1 m \\ φ = 0 \end{cases}$

De otra forma. La amplitud es la máxima deformación del muelle. La energía cinética del conjunto bala-bloque se convierte en energía potencial elástica del muelle.

$\frac{1}{2} (0.2 + 9.8) 1^{2} = \frac{1}{2} 1000 A^{2} A = 0.1 m$

22.-Una bola de masa M=0.2 kg está situada sobre una columna a 5 m de altura sobre el suelo. Una bala de m=0.01 kg que se dispara horizontalmente con velocidad de 500 m/s y atraviesa el centro de la bola. La bola cae al suelo a una distancia de 20 m de la columna. (g=10 m/s²)

¿A qué distancia impactará la bala en el suelo después del choque?
¿Cuánta energía cinética de la bala se ha convertido en calor mientras la bala atraviesa la bola?

Problema propuesto en la I Olimpiada Internacional de Física. Varsovia, 1967

Solución

Conservación del momento lineal

Como no actúa una fuerza horizontal en el sistema formado por la bola y la bala. La componente horizontal del momento lineal se conserva en el choque.
mv₀=mv+MV
donde v y V son las velocidades de la bala y de la bola después del choque, respectivamente.

Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad

Después del choque, la bola y la bala describen trayectorias parabólicas

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - g \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = v \\ v_{y} = - g t \end{cases} {\begin{cases} x = v \cdot t \\ y = h - \frac{1}{2} g t^{2} \end{cases}$

Calculamos el tiempo t que tarda en llegar al suelo y=0, y su desplazamiento horizontal x

$t = \sqrt{\frac{2 h}{g}} x = v \sqrt{\frac{2 h}{g}}$

Estas ecuaciones son válidas tanto para la bala como para la bola después del choque.

Sabemos que para la bola x=20 m, luego V=20 m/s.

Aplicamos la conservación del momento lineal para despejar la velocidad v de la bala después del choque.
0.01·500=0.01·v+0.2·20,
por lo que, v=100 m/s

La energía inicial de la bala es $\frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

La energía final de la bola y la bala es $\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2}$

La energía disipada Q es

$Q = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} M V^{2} - \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$

Q=-1160 J

Código MATLAB, para trazar las trayectorias de la bala y la bola después del choque

t=linspace(0,1,100);
x=20*t;
y=5-5*t.^2;
x1=100*t;
plot(x,y,x1,y)
 
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Tiro parabólico')

23.-Una granada de masa m se dispara con una velocidad de 600 m/s haciendo un ángulo de 60° con la horizontal. Al llegar a la altura máxima la granada hace explosión dividiéndose en dos fragmentos iguales. Uno de estos fragmentos cae verticalmente.

Determinar el alcance del segundo fragmento

Solución

Trayectoria del centro de masas

${\begin{cases} a_{x} = 0 \\ a_{y} = - 10 \end{cases} {\begin{cases} v_{x} = 600 \cdot \cos 60 \\ v_{y} = 600 \cdot \sin 60 + (- 10) t \end{cases} {\begin{cases} x = 300 \cdot t \\ y = 300 \sqrt{3} t + \frac{1}{2} (- 10) t^{2} \end{cases}$

Alcance, y=0

$t = 60 \sqrt{3} s x = 18000 \sqrt{3} m$

Altura máxima v_y=0

$t = 30 \sqrt{3} s y = 13500 m$

Al explotar la granada de masa m con velocidad horizontal de 300 m/s, uno de los fragmentos de masa m/2 cae verticalmente, el otro fragmento de masa m/2, se moverá con velocidad horizontal de 600 m/s

La trayectoria del primer fragmento es recilínea

${\begin{cases} x = 9000 \sqrt{3} \\ y = 13500 - \frac{1}{2} 10 t^{2} \end{cases}$

La trayectoria del segundo fragmento es parabólica

$\begin{array}{l} {\begin{cases} x = 9000 \sqrt{3} + 600 \cdot t \\ y = 13500 - \frac{1}{2} 10 t^{2} \end{cases} \\ y = 0, t = 30 \sqrt{3} s, x = 27000 \sqrt{3} m \end{array}$

hold on
fplot(@(t) 300*t, @(t) 300*sqrt(3)*t-5*t.^2,[0,60*sqrt(3)])
fplot(@(t) 9000*sqrt(3)+600*t, @(t) 13500-5*t.^2,[0 30*sqrt(3)])
line([9000*sqrt(3),9000*sqrt(3)],[0,13500], 'color','r')
hold off
grid on
axis equal
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Explosión de una granada')

24.-Se lanza un bloque de 3 kg que descansa sobre un plano horizontal mediante un muelle de constante k=750 N/m. Se comprime el muelle 15 cm y se suelta, el bloque se desplaza 60 cm y choca elásticamente contra otro bloque de 5 kg. El coeficiente cinético entre los bloques y el plano horizontal es μ=0.2.

Determinar la velocidad de los bloques inmediatamente después del choque.
Calcula y dibuja la posición final de los bloques cuando se detienen

Solución

El trabajo de la fuerza de rozamiento a lo largo de los 60 cm es igual a la diferencia entre la energía final (cinética del bloque) y la inicial (muelle comprimido)

$\begin{array}{l} W = E_{f} - E_{i} \\ N = 3 \cdot 9.8 \\ - 0.2 \cdot N \cdot 0.6 = \frac{1}{2} 3 v^{2} - \frac{1}{2} 750 \cdot {0.15}^{2} v = 1.81 m/s \end{array}$

Choque elástico, conservación del momento lineal y la energía cinética inicial es igual a la final, Q=0

$\begin{array}{l} {\begin{cases} 3 v = 3 v_{1} + 5 v_{2} \\ \frac{1}{2} 3 v^{2} = \frac{1}{2} 3 v_{1}^{2} + \frac{1}{2} 5 v_{2}^{2} \end{cases} \\ v_{2} = \frac{3}{4} v = 1.36 m/s, v_{1} = - 0.45 m/s \end{array}$

Posición final de los bloques. Su energía cinética se invierte en trabajo de la fuerza de rozamiento

$\begin{array}{l} - F_{1} x_{1} = 0 - \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} \\ - F_{2} x_{2} = 0 - \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} \\ x_{1} = 0.052 m, x_{2} = 0.470 m \end{array}$

25.-Se lanza un proyectil de masa m con velocidad horizontal v, hacia un dispositivo de masa M que contiene un muelle de constante k y que descansa sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Calcular la máxima deformación x del muelle.

Solución