El ascensor espacial

Supongamos un punto situado sobre la superficie de la Tierra en el ecuador y una línea cuya dirección es radial y que parte de dicho punto. La línea rotaría con la misma velocidad angular que la Tierra. Supongamos que la línea es un cable que está sujeto a dicho punto sobre la superficie de la Tierra.

Ambas fuerzas afectan a todas las partículas del cable, la fuerza que prevalecerá depende de la longitud del cable. Si el cable es muy largo prevalecerá la fuerza centrífuga y el cable permanecerá tenso sujeto a la superficie de la Tierra.

Veremos que el cable deberá tener sección variable que se eleva desde un punto en el ecuador de la Tierra hasta una altura por encima de la órbita geoestacionaria, donde termina en un contrapeso. Si se hiciese esta gigantesca obra alguna vez, tendría un fuerte impacto en la humanidad. En esta página, se describe las características del cable y algunas de sus aplicaciones.

Órbita geoestacionaria

La Tierra tarda en dar una vuelta alrededor de su eje en 24 h, su velocidad angular de rotación es

ω= 2π 24·60·60 =7.272· 10 5 rad/s

Un satélite artificial que describe una órbita circular con el mismo periodo que la rotación de la Tierra se denomina geoestacionario. Un observador situado en la línea que une el centro de la Tierra y el satélite lo vería inmóvil en la misma posición.

Si r es el radio de la órbita circular del satélite, aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme, la masa del cuerpo m por la aceleración normal ω2r es igual a la fuerza F de atracción que ejerce la Tierra sobre el satélite.

m ω 2 r=G Mm r 2 r 3 = GM ω 2 r 3 = 6.67· 10 11 ·5.98· 10 24 ( 2π 24·60·60 ) 2 r=42250km

Desde el punto de vista del observador NO inercial, el astronauta que viaja en el satélite, éste se mantiene en equilibrio bajo la acción de la fuerza de atracción y la fuerza centrífuga.

Un cable que se eleva radialmente desde el ecuador.

Vamos a calcular las características que tiene que tener un cable (longitud y sección) hecho de un determinado material que se eleve radialmente desde un punto situado en el ecuador y que gira sincrónicamente con la Tierra, para que su peso se equilibre con la fuerza centrífuga.

La fuerza de atracción sobre cada elemento del cable decrece con el cuadrado de la distancia. Debido a la rotación del cable con velocidad angular ω, la fuerza centrífuga sobre un elemento del cable se incrementa linealmente con la distancia.

Si el cable fuese suficientemente largo, cuyo extremo esté bien por encima de la órbita geoestacionaria, el peso del cable se podría equilibrar con la fuerza centrífuga.

Vamos a estudiar dos situaciones: un cable de sección constante y un cable de sección variable, veremos las ventajas de esta último.

Cable de sección constante

Las fuerzas sobre un elemento de cable de masa dm situado a una distancia r del centro de la Tierra son

La masa dm del elemento de cable de longitud dr es ρAdr. Siendo ρ la densidad del material del que está hecho el cable.

(T+dT)A+dm· ω 2 r=TA+G M·dm r 2 dT=ρ( G M r 2 ω 2 r )dr 0 T dT= R r ρ( G M r 2 ω 2 r )dr T=ρ( G M R + ω 2 R 2 2 G M r ω 2 r 2 2 ) T=ρ R 2 g( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 )

g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g=GM/R2 y Rg es el radio de la órbita geoestacionaria.

R g 3 = GM ω 2 = g R 2 ω 2

El esfuerzo T se hace máximo, para una distancia r al centro de la Tierra tal que dT/dr=0

G M r 2 ω 2 r=0

Es decir cuando r=Rg, el radio de la órbita geoestacionaria. El valor del esfuerzo en esta posición es

T=ρ R 2 g( 1 R + R 2 2 R g 3 3 2 R g )

El esfuerzo T se hace cero para una distancia r al centro de la Tierra que es la raíz de una ecuación cúbica. Una de las raíces es r=R, calculamos la otra raíz

1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 =0 r 3 ( 2 R g 3 R + R 2 )r+2 R g 3 =0 (rR)( r 2 +rR2 R g 3 R )=0 r= R 2 ( 1+8 R g 3 R 3 1 )

El radio de la Tierra es R=6370 km y el radio de la órbita geoestacionaria es Rg=42 250 km, obtenemos r=150 732 km.

La longitud del cable es H=r-R=144 362 km

Cable de sección variable

El cable experimentará un esfuerzo T (fuerza por unidad de área) constante en todos sus puntos.

Las fuerzas sobre un elemento de cable de masa dm situado a una distancia r del centro de la Tierra son:

La masa dm del elemento de cable de longitud dr es ρAdr. Siendo ρ la densidad del material del que está hecho el cable.

Si el elemento está en equilibrio, tendremos

T(A+dA)+dm· ω 2 r=TA+G M·dm r 2 dA A = ρ T ( G M r 2 ω 2 r )dr A s A dA A = R r ρ T ( G M r 2 ω 2 r )dr A= A s exp( ρ T ( G M R + ω 2 R 2 2 G M r ω 2 r 2 2 ) ) A= A s exp( ρg R 2 T ( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 ) )

Donde As es la sección del cable en la superficie de la Tierra r=R, g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g=GM/R2 y Rg es el radio de la órbita geoestacionaria.

La sección del cable A toma un valor máximo para una distancia al centro r tal que dA/dr=0. El máximo de la función exponencial equivale al máximo del argumento

1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3

derivando con respecto a r, e igualando a cero

1 r 2 2r 2 R g 3 =0r= R g

La sección del cable en la órbita geoestacionaria r=Rg vale

A g = A s exp( ρg R 2 T ( 1 R + R 2 2 R g 3 3 2 R g ) )

Calculamos el cociente Ag/As para distintos materiales

Material Máximo valor de T ·109 N/m2 Densidad ρ (kg/m3) Ag/As
Acero 5.0 7900 1.667·1033
Kevlar 3.6 1440 2.574·108
Carbón, nonotubos 130 1300 1.623

Solamente con un material de baja densidad ρ y con un alto valor de esfuerzo máximo T se pueden alcanzar cocientes Ag/As razonables para la construcción de dicho cable.

La sección del cable es máxima en la órbita geoestacionaria, después disminuye y se vuelve a hacer igual a As a la distancia r del centro

A s = A s exp( ρg R 2 T ( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 ) ) ρg R 2 T ( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 )=0

Como en el apartado anterior, dicha distancia es la raíz de una ecuación cúbica. Una de las raíces es r=R, y al otra raíz es

r= R 2 ( 1+8 R g 3 R 3 1 )

El radio de la Tierra es R=6370 km y el radio de la órbita geoestacionaria es Rg=42 250 km, obtenemos r=150 732 km.

La longitud del cable es H=r-R=144 362 km

Actividades

En el siguiente programa interactivo se representa el área de la sección del cable con la distancia r.

Se introduce

Se pulsa el botón titulado Dibuja

El cociente densidad/esfuerzo máximo para el material Carbono nanotubos es

k 1300 130· 10 9

Si el factor k fuese uno, la situación más favorable, la sección del cable en la órbita geoestacionaria sería Ag/As=1.623, valor mínimo esperable si se pudiese producir en el futuro este material en grandes cantidades. Si por razones de seguridad el esfuerzo máximo se reduce a la mitad, T=65·109 N/m2, una situación algo más realista, el factor tomaría el valor k=2. El área de la sección del cable Ag en la órbita geoestacionaria sería mayor.

Por ejemplo, si la densidad del material fuese ρ=1500 kg/m3 y el máximo esfuerzo admisible fuese de T=50·109 N/m2 el factor k para este hipotético material valdría

1500 50· 10 9 =k 1300 130· 10 9 k=3

El programa interactivo nos muestra que un pequeño incremento del cociente densidad/esfuerzo máximo ρ/T equivale a un aumento muy grande del cociente Ag/As, ya que dicho cociente entra como argumento de una exponencial.

Contrapeso

Se puede reducir la longitud del cable, poniendo un contrapeso en su extremo superior. La distancia al centro de la Tierra del contrapeso será  r>Rg. El contrapeso experimenta una fuerza centrífuga mayor que la fuerza de atracción.

El contrapeso describe una órbita circular de radio r, bajo la acción de la fuerza de atracción y la fuerza que ejerce el cable. O desde el punto de vista del observador no inercial que viaja con el contrapeso, la fuerza de atracción y la acción del cable se equilibran con la fuerza centrífuga

GM m c r 2 +A(r)T= m c ω 2 r GM m c r 2 +T· A s exp( ρg R 2 T ( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 ) )= m c ω 2 r m c = T· A s R 2 g exp( ρg R 2 T ( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 ) ) r R g 3 1 r 2

Cuando r→Rg la masa del contrapeso mc→∞

La masa total del cable se calcula mediante la integral

m E =ρ R r A(r)·dr

La integral definida se calcula empleando procedimientos numéricos.

Ejemplo:

Sea la densidad del hipotético material del que está hecho el cable ρ=1500 kg/m3 y el máximo esfuerzo admisible T=50·109 N/m2. Supongamos que el área de la sección del cable en la superficie de la Tierra As=1.5·10-7 m2, que equivale a una cable de sección circular de 0.22 mm de radio y situamos el contrapeso en r=100 000 km

La masa del contrapeso sería mC=37 368.5 kg, y la masa del cable mE=74 882.6 kg

Aplicaciones

Subir o bajar cargas al espacio

El cable se puede utilizar para subir y bajar cargas a grandes distancias. Sería como un “puente hacia las estrellas”. Cuando deslizamos un cuerpo a lo largo del cable hemos de tener en cuenta que si su distancia r al centro de la Tierra es:

Solamente hemos de suministrar energía para elevar el cuerpo desde la superficie de la Tierra hasta la órbita geoestacionaria, después no es necesario suministrar ninguna energía al cuerpo que asciende por el cable.

Supongamos que un cuerpo de masa m desliza por el cable desde la superficie de la Tierra hasta una distancia r de su centro. El trabajo realizado por la fuerza centrífuga es

W 1 = R r m ω 2 r·dr= 1 2 m ω 2 ( r 2 R 2 )

es un trabajo positivo, puesto que la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido

El trabajo realizado por la fuerza de atracción es

W 2 = R r G Mm r 2 dr=G Mm r G Mm R

es un trabajo negativo, puesto que la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios.

Para elevar una carga desde la superficie de la Tierra hasta una  distancia r de su centro es necesario suministrar la energía por unidad de masa

E m = ( W 1 + W 2 ) m =g R 2 ( 1 R + R 2 2 R g 3 1 r r 2 2 R g 3 )

Esta expresión aparece en el exponente de la fórmula que nos proporciona el área de la sección del cable con la distancia radial r.

El máximo de E/m aparece en la órbita geoestacionaria. Es energéticamente más rentable elevar cargas a mayor distancia. La energía se hace cero para la distancia al centro de la Tierra r=150 732 km, que ya hemos calculado anteriormente, podemos por tanto, elevar una carga a esta posición sin consumo de energía, gracias al movimiento de rotación de la Tierra. Más allá de este punto podemos producir incluso energía.

Lanzamiento desde el extremo del cable

En la gráfica se ha representado la energía cinética (color azul), potencial (rojo) y la energía total (negro) de un cuerpo de masa m situado sobre el cable a una distancia r del centro de la Tierra.

Para una cierta posición re la energía cinética del cuerpo que asciende a lo largo del cable se hace igual a la energía potencial, la energía total es cero, el cuerpo alcanza la velocidad de escape

E= 1 2 m ( ωr ) 2 G Mm r =0 r 3 = 2GM ω 2 =2 R g 3 r e = 2 3 R g

El cable tiene que tener una longitud mayor que H=re-R=46 862 km para que pueda ser utilizado con el propósito de lanzar naves espaciales a otros planetas.

Para que sirva de comparación mencionaremos, que la energía de un cuerpo situado sobre la superficie de la Tierra es

E= 1 2 m ω 2 R 2 G Mm R =0.11· 10 6 m62.62· 10 6 m=62.51· 10 6 mJ

Por tanto, para lanzar un cuerpo al espacio exterior  liberándose de la atracción de la Tierra necesitamos invertir un mínimo de 62.5 MJ/kg de energía.

Supongamos que lanzamos una nave espacial desde el extremo del cable a una distancia r0>re del centro de la Tierra. Después de ser soltado, la nave espacial se aleja de la Tierra siguiendo una órbita elíptica en uno de cuyos focos se encuentra el Sol.

Sea  vT la velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol y ωr0 la velocidad de la nave espacial que se suelta del extremo del cable. Supongamos que se suelta la nave cuando ambas velocidades tienen la misma dirección y sentido (figura de la izquierda), por lo que la velocidad de la nave espacial respecto del Sol sería vT+ωr0.

Sea rT la distancia entre la Tierra y el Sol y Ms la masa del Sol. Aplicando la constancia del momento angular y de la energía total (la fuerza de atracción del Sol sobre la nave espacial es central y conservativa) tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de las cuales despejamos las incógnitas r1 y v1

m r T ( v T +ω r 0 )=m r 1 v 1 1 2 m ( v T +ω r 0 ) 2 G M s m r T = 1 2 m v 1 2 G M s m r 1 r 1 = r T 2 ( v T +ω r 0 ) 2 2G M s r T ( v T +ω r 0 ) 2

Ejemplo.

La Tierra describe una órbita aproximadamente circular alrededor del Sol de radio rT=149.6·106 km=1 UA. Aplicando la dinámica del movimiento circular uniforme, calculamos la velocidad vT de traslación de la Tierra alrededor del Sol. La masa del Sol es Ms= 1.98·1030 kg

m v T 2 r T =G M s m r T 2 v T = G M s r T = 6.67· 10 11 ·1.98· 10 30 149.6· 10 9 =29712m/s

Supongamos que la distancia del punto de lanzamiento situado en el extremo del cable al centro de la Tierra es r0=107 000 km, y que la velocidad de traslación de la Tierra vT  alrededor del Sol y la velocidad de la nave espacial ωr0  en el momento del lanzamiento, tienen la misma dirección y sentido

La máxima distancia de alejamiento de la nave espacial (afelio) es r1=5.84·1011 m=3.906 UA, no llega a la órbita de Júpiter 5.203 UA

Supongamos ahora, que la velocidad de la Tierra vT  y la velocidad de la nave espacial ωr0  tienen la misma dirección y sentido contrario

Entonces, el punto del lanzamiento será el afelio, la distancia de mínimo alejamiento de la nave espacial al Sol (perihelio) será

r 1 = r T 2 ( v T ω r 0 ) 2 2G M s r T ( v T ω r 0 ) 2

Con los datos anteriores r1=0.56·1011 m=0.374 UA, llega hasta la órbita de Mercurio 0.387 UA.

Actividades

El cable por el cual van a ascender las naves espaciales que se van a lanzar al espacio tiene 150 000 km.

El punto del lanzamiento se puede cambiar introduciendo una distancia mayor que 53233 km que es la posición que corresponde a una energía aproximadamente nula de la nave espacial.

Se pulsa el botón titulado Nuevo

Observamos la Tierra muy pequeña de color azul y un largo cable girando  sincrónicamente con la Tierra. La circunferencia de color azul corresponde a la órbita geoestacionaria.

Cuando los dos vectores tienen la misma dirección y sentido, la nave espacial se aleja más del Sol. Cuando tienen sentidos opuestos el alejamiento es mínimo.

Pulsamos el botón Empieza

Observamos el movimiento de la Tierra alrededor del Sol y el movimiento de la nave espacial describiendo una órbita elíptica uno de cuyos focos es el Sol.

El eje horizontal está dividido en intervalos iguales de 1 UA=149.6·109 m

Referencias

Aravind P. K. The physics of the space elevator. Am. J. Phys. 75 (2) February 2007, pp. 125-130

Artukovic R. The space elevator. www.zadar.net/space-elevator/