Alejamiento de la Luna

Mediciones muy precisas del tiempo de vuelo de los pulsos LASER emitidos desde la Tierra y reflejados en espejos colocados en la Luna, muestran que la distancia Tierra-Luna aumenta a razón de 3.8 cm/año.

La disminución de la velocidad angular de rotación de la Tierra y, en consecuencia, el paulatino aumento de la distancia entre la Tierra y la Luna se debe a la enorme disipación de energía que se produce por la fricción del flujo y reflujo de las mareas oceánicas con los fondos marinos.

Dado que la masa de la Tierra es considerablemente mayor que la de la Luna y que la distancia entre sus centros es mucho mayor que cualquiera de sus radios, podemos considerar la Luna como una partícula de masa M_L=7.35·10²² kg que describe una órbita circular de radio d alrededor de la Tierra.

Supongamos que la Tierra es esférica de masa M_T=5.98·10²⁴ kg y radio R=6.37·10⁶ m y gira sobre sí misma con su eje de rotación perpendicular al plano de la órbita de la Luna

Aplicamos la dinámica del movimiento circular uniforme para describir el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra

$G \frac{M_{L} M_{T}}{d^{2}} = M_{L} ω^{2} d ω = \sqrt{G \frac{M_{T}}{d^{3}}}$

Consideremos que el sistema Tierra-Luna es aislado, su momento angular se conserva, lo que significa que el momento angular respecto del centro de la Tierra en la actualidad debe ser igual que tendrá dentro de muchos millones de años.

$\begin{array}{l} \frac{2}{5} M_{T} R^{2} Ω + M_{L} d^{2} ω = \frac{2}{5} M_{T} R^{2} Ω_{1} + M_{L} d_{1}^{2} ω_{1} \\ \frac{2}{5} M_{T} R^{2} Ω + M_{L} d^{2} \sqrt{G \frac{M_{L}}{d^{3}}} = \frac{2}{5} M_{T} R^{2} Ω_{1} + M_{L} d_{1}^{2} \sqrt{G \frac{M_{L}}{d_{1}^{3}}} \\ \sqrt{G M_{L}^{3}} (\sqrt{d_{1}} - \sqrt{d}) = \frac{2}{5} M_{T} R^{2} (Ω - Ω_{1}) \end{array}$

El momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto del eje de rotación que pasa por su centro es 2mR²/5, y el momento de inercia de una partícula de masa m que dista d del eje de rotación es md²

Actualmente la distancia entre la Tierra y la Luna es d=384.4·10⁶ m y la velocidad angular de rotación de la Tierra es $Ω = \frac{2 π}{24 \cdot 60 \cdot 60} rad/s$

Suponiendo que la velocidad de alejamiento de la Luna v=0.038 m/año permanece constante, dentro de 400 millones de años la distancia Tierra-Luna habrá aumentado 384.4·10⁶+0.038·400·10⁶=399.6·10⁶ m

Despejamos la velocidad angular de rotación de la Tierra Ω₁en dicha época futura.

$\sqrt{6.67 \cdot 10^{- 11} \cdot {(7.35 \cdot 10^{22})}^{3}} (\sqrt{399.6 \cdot 10^{6}} - \sqrt{384.4 \cdot 10^{6}}) = \frac{2}{5} 5.98 \cdot 10^{24} {(6.37 \cdot 10^{6})}^{2} (\frac{2 π}{24 \cdot 60 \cdot 60} - Ω_{1})$

Ω₁=7.21·10^-7 rad/s, y el periodo o tiempo que tarda dar una vuelta completa P₁=2·π/Ω₁=87171 s=24.2 horas.

Referencias

Problema teórico 1. Un calendario fósil. XVII Olimpiada Española de Física. Teruel