El cuerpo negro. Ejemplos

Variación de la temperatura de un pequeño cuerpo situado en el interior de una cavidad

esfera.gif (1832 bytes) Supongamos un pequeño cuerpo esférico de radio r, suspendido en el interior de una gran cavidad en la que se ha hecho el vacío y cuyas paredes se encuentran a la temperatura T₀. Si la temperatura inicial de la bola esférica es T al cabo de un cierto tiempo, se habrá alcanzado el equilibrio en el que la temperatura de la esfera será la misma que la de las paredes de la cavidad.

Como hemos visto al estudiar las propiedades de la superficie de un cuerpo, el valor del coeficiente de absorción a está comprendido entre 0 (para un reflector perfecto) y 1 (para una superficie idealmente negra). En vez de a, se suele emplear la denominada emitancia relativa e de la superficie que es numéricamente igual a a.

Energía radiante emitida por el pequeño cuerpo

La cantidad de energía radiante emitida por unidad de área y por unidad de tiempo desde la superficie de un cuerpo a temperatura T, viene dada por la expresión

$I = e σ T^{4} {W/m}^{2}$

La ley de Stefan-Boltzmann es también válida para cualquier otro cuerpo (gris) cuya superficie tenga un coeficiente de absorción (o emitancia) independiente de la longitud de onda.

Multiplicando por el área de la superficie del pequeño cuerpo, obtenemos la energía P_e que pierde el cuerpo en la unidad de tiempo debido a la emisión de la radiación.

$P_{e} = e σ T^{4} 4 π r^{2}$

Energía radiante absorbida por el cuerpo

También incide energía radiante sobre la superficie del cuerpo. Una parte de la energía incidente es absorbida P_a que se obtiene multiplicando la intensidad de la radiación por el área de su superficie, por la fracción a de la energía incidente que es absorbida. Como hemos dicho, este factor a es numéricamente igual a e.

$P_{a} = e σ T_{0}^{4} 4 π r^{2}$

Variación en la temperatura del cuerpo con el tiempo

La cantidad de energía neta por unidad de tiempo (perdida o ganada) es igual a la diferencia entre la energía radiante absorbida y la emitida .

$\frac{d Q}{d t} = P_{a} - P_{e}$

La cantidad de energía radiante ganada (perdida) se emplea en aumentar (disminuir) la temperatura del cuerpo. Si la masa del cuerpo es m, y su calor específico del cuerpo es c_v, escribimos

$d Q = m c_{v} d T$

La temperatura del cuerpo varía con el tiempo hasta que se establece el equilibrio térmico a la temperatura T₀ de las paredes de la cavidad.

$\frac{d T}{d t} = \frac{3 e σ}{ρ c_{v} r} (T_{0}^{4} - T^{4})$

donde hemos sustituido la masa m por el producto de la densidad ρ por el volumen de la pequeña esfera de radio r.

Actividades

El programa interactivo, nos permite investigar los factores de los que depende el tiempo que tarda una bolita de radio r, densidad ρ , calor específico c_v, y emisividad e, en alcanzar el equilibrio térmico con una cavidad grande cuyas paredes se mantienen una temperatura constante T₀.

Investigaremos con cuatro materiales cuyas propiedades se proporcionan en la siguiente tabla

	Densidad kg/m³	Calor específico J/(kg·K)
Hierro	7880	450
Aluminio	2700	880
Plomo	11350	130
Sodio	975	1300

Se elige el material, en el control de selección Material.

Se introduce

la emitancia, un número entre 0 y 1, en el control de edición titulado Emitancia.
la Temperatura de las paredes de la cavidad en grados centígrados.
la Temperatura inicial del cuerpo en grados centígrados.
el radio de la bolita se ha fijado en 10 cm.

Se pulsa en el botón titulado Empieza.

Se representa la temperatura del cuerpo en función del tiempo. En el eje vertical se mide la temperatura en grados centígrados, y en el eje horizontal se mide el tiempo en minutos.

A la izquierda del applet se representa la intensidad de la radiación emitida por la esfera (en color rojo) y la intensidad de la radiación absorbida por el pequeño cuerpo (en color azul). La primera es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo (cambia con dicha temperatura) y la segunda, es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta de la cavidad (no se modifica).

El cuerpo aumenta su temperatura cuando la cantidad de energía absorbida en la unidad de tiempo es superior a la emitida, y disminuye su temperatura cuando la cantidad de energía emitida en la unidad de tiempo es superior a la absorbida. Cuando se alcanza la situación de equilibrio, ambas cantidades son iguales.