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El escalón de potencial (E>E₀)

En el capítulo Movimiento Ondulatorio vimos que una onda luminosa o mecánica al atravesar la superficie de separación de dos medios de distintas propiedades ópticas o mecánicas, una parte se refleja y otra se transmite. La proporción de la intensidad de la onda incidente que se transmite se denomina coeficiente de transmisión, y la proporción de la intensidad de la onda incidente que se refleja se denomina coeficiente de reflexión.

Cuando una partícula atraviesa la frontera entre dos regiones de distinto potencial, no se divide en dos (lo que confirma que una partícula no es una onda clásica), sino que bien puede reflejarse o bien transmitirse. No podemos predecir de antemano la conducta de una partícula individual, sino la mayor o menor probabilidad de que se refleje o se transmita.

Descripción

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una región unidimensional cuya energía potencial viene descrita por la función E_p(x) es

${\displaystyle \frac{-{\hslash }^2}{2m}\frac{d^2\Psi }{d{x}^2}+E_p(x)\Psi =E\Psi }$

Donde E es la energía total de la partícula de masa m

${\displaystyle E=\frac{p^2}{2m}+E_p(x)}$

La solución de la ecuación de Schrödinger Ψ(x) se denomina función de onda.

La probabilidad de encontrar la partícula descrita por dicha función de onda en el intervalo x, x+dx es |Ψ(x)|²·dx. Naturalmente,

${\displaystyle {\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\int }}{\left|\Psi (x)\right|}^{2}dx=1}}$

En otras palabras, la probabilidad por unidad de longitud (o densidad de probabilidad) de encontrar la partícula en x es |Ψ(x)|² .

Si tenemos N partículas idénticas, N·|Ψ(x)|² , nos dará el número de partículas que hay en la unidad de longitud. Si todas las partículas se mueven con la misma velocidad v, el flujo de partículas será N·v|Ψ(x)|² . Se denomina densidad de corriente de probabilidad a la cantidad J=v|Ψ(x)|² que es el producto de la velocidad de las partículas por la densidad de probabilidad.

Partícula libre

El caso más simple es el de una partícula libre. La energía potencial E_p(x)=0

La ecuación de Schrödinger se escribe

${\displaystyle \frac{d^2\Psi }{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}\Psi =0}$

Ecuación diferencial análoga a la de un movimiento armónico simple, su solución la expresaremos de otra forma equivalente

${\displaystyle \Psi (x)=A\exp (ikx)+B\exp (-ikx)k^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}}$

Escalón de potencial

El escalón de potencial consiste en una región x<0 en la que la energía potencial es nula, seguida de una región x>0 en la que la energía potencial es constante y de valor E₀.

La función E_p(x) presenta por tanto, una discontinuidad en x=0.

Se pueden presentar dos casos

• Que la energía de la partícula sea mayor que la del escalón E>E₀.
• Que la energía de la partícula sea menor que la del escalón E<E₀.

En este apartado trataremos el primer caso, dejando el segundo caso, algo más complejo, para el siguiente.

Planteamos la ecuación de Schrödinger en cada una de las regiones y hallamos su solución de forma semejante al de la partícula libre. En la siguiente tabla se resumen los resultados.

Región x<0, Ep(x)=0	Región x>0, Ep(x)=E0
${\displaystyle \frac{d^2{\Psi }_1}{d{x}^2}+\frac{2mE}{{\hslash }^2}{\Psi }_1=0}$	${\displaystyle \frac{d^2{\Psi }_2}{d{x}^2}+\frac{2m(E-E_0)}{{\hslash }^2}{\Psi }_2=0}$
${\displaystyle {\Psi }_1(x)=A{e}^{ikx}+B{e}^{-ikx}{k}^2=\frac{2mE}{{\hslash }^2}}$	${\displaystyle {\Psi }_2(x)=C{e}^{ik\text{'}x}k{\text{'}}^2=\frac{2m(E-E_0)}{{\hslash }^2}}$

En el punto x=0, la función de onda Ψ debe ser continua y también lo debe ser su derivada primera.

${\displaystyle {\Psi }_1(0)={\Psi }_2(0){\frac{d{\Psi }_1}{dx}|}_{x=0}={\frac{d{\Psi }_2}{dx}|}_{x=0}}$

Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que nos permiten expresar los coeficientes B y C en función del coeficiente A.

${\displaystyle B=\frac{k-k\text{'}}{k+k\text{'}}AC=\frac{2k}{k+k\text{'}}A}$

Veamos ahora el significado físico de los distintos términos de la solución de la ecuación de Schrödinger. En la primera región x<0 tenemos partículas incidentes y reflejadas, pero en la segunda región x>0 solamente tenemos partículas transmitidas. La función de onda tiene dos términos en la primera región y un solo término en la segunda.

Partículas	Función de onda	Probabilidad	Flujo
incidentes	${\displaystyle {\Psi }_i=A{e}^{ikx}}$	${\displaystyle {\left|{\Psi }_i(x)\right|}^2={\left|A\right|}^2}$	${\displaystyle J_i=v{\left|{\Psi }_i(x)\right|}^2}$
reflejadas	${\displaystyle {\Psi }_r=B{e}^{-ikx}}$	${\displaystyle {\left|{\Psi }_r(x)\right|}^2={\left|B\right|}^2}$	${\displaystyle J_r=v{\left|{\Psi }_r(x)\right|}^2}$
transmitidas	${\displaystyle {\Psi }_t=C{e}^{ik\text{'}x}}$	${\displaystyle {\left|{\Psi }_t(x)\right|}^2={\left|C\right|}^2}$	${\displaystyle J_t=v\text{'}{\left|{\Psi }_t(x)\right|}^2}$

Se denomina coeficiente de reflexión a la proporción de partículas incidentes que se reflejan

${\displaystyle R=\frac{J_r}{J_i}=\frac{v{\left|B\right|}^2}{v{\left|A\right|}^2}=\frac{{\left(\sqrt{E}-\sqrt{E-E_0}\right)}^2}{{\left(\sqrt{E}+\sqrt{E-E_0}\right)}^2}}$

Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de partículas incidentes que se transmiten.

${\displaystyle T=\frac{J_t}{J_i}=\frac{v\text{'}{\left|C\right|}^2}{v{\left|A\right|}^2}=\frac{4\sqrt{E}\sqrt{E-E_0}}{{\left(\sqrt{E}+\sqrt{E-E_0}\right)}^2}}$

Como puede fácilmente comprobarse R+T=1

Podemos ver aquí, una analogía con el movimiento ondulatorio, una onda incidente al atravesar dos medios de distinta naturaleza (densidad, índice de refracción, etc., dependiendo del tipo de onda) da origen a una onda reflejada que se propaga en el primer medio, y a una onda transmitida que se propaga en el segundo medio.

Actividades

• Se introduce la energía de la partícula mayor que uno

• Se pulsa en el botón Empieza, para que las partículas incidentes se reflejen o se transmitan. En la parte izquierda del applet se contabilizan el número de partículas incidentes y el número de partículas reflejadas.
  
• Se desactiva la casilla titulada Ver movimiento, si no estamos interesados en ver el movimiento de la partícula, sino tan sólo en la proporción de partículas incidentes que se reflejan, para cada valor de la energía E que introducimos.

• Observar que no podemos predecir la conducta de una partícula individual, si se va a reflejar o se va a transmitir.

• Completar la siguiente tabla, calculando el cociente entre el número de partículas reflejadas y el número de partículas incidentes en la cuarta columna.

• Compararlo con el coeficiente de reflexión deducido a partir de la ecuación de Schrödinger

${\displaystyle R=\frac{{\left(\sqrt{E}-\sqrt{E-E_0}\right)}^2}{{\left(\sqrt{E}+\sqrt{E-E_0}\right)}^2}}$

Energía	Partículas incidentes	Partículas reflejadas	Cociente reflej./incidentes	Coef. reflexión (teórico)
1.1
1.2
1.3
1.4

Curso Interactivo de Física en Internet © Ángel Franco García